湖北省阳新县高级中学(435200)宋其武邹生书
题目设x≥1,y≥1，证明：x+y+1xy≤1x+1y+xy。
这是2011年高考安徽卷理科第19题，本文给出该不等式的两种证法并对不等式进行推广，与大家交流分享。
证法1：右边减去左边得1x+1y+xy－x－y－1xy=y+x+x2y2－x2y－xy2－1xy，将分子以x为主元整理得y(y－1)x2+(1－y2)x+y－1，即(y－1)(x－1)(xy－1)，因为x≥1,y≥1，所以(y－1)(x－1)(xy－1)≥0，故1x+1y+xy－x－y－1xy≥0，即x+y+1xy≤1x+1y+xy，当且仅当x=1或y=1时等号成立。
证法2：设f(x)=1x+1y+xy－x－y－1xy，则f′(x)=－1x2+y－1+1x2y=(y－1)(1－1x2y)。因为x≥1,y≥1，所以f′(x)≥0，所以f(x)在［1,+∞)上单调递增，所以f(x)≥f(1)=0，所以x+y+1xy≤1x+1y+xy成立，当x=1时等号成立，由对称性知当y=1时等号成立，故当且仅当x=1或y=1时等号成立。
将上述高考题变量的个数进行推广可得如下命题：
推广1设x≥1,y≥1,z≥1，证明：1x+1y+1z+xyz≥x+y+z+1xyz。
推广2设xi≥1(i=1,2,…,n,n≥2,n∈N)，则1x1+1x2+…+1xn+x1x2…xn≥x1+x2+…+xn+1x1x2…xn。
读者可用上述两种方法证明推广1，下面我们用数学归纳法来证明推广2。
证明：（数学归纳法）
（1）当n=2时，由上述证法可知1x1+1x2+x1x2≥x1+x2+1x1x2成立。
（2）假设当n=k时，1x1+1x2+…+1xk+x1x2…xk≥x1+x2+…+xk+1x1x2…xk成立。则当n=k+1时，
（法1）1x1+1x2+…+1xk+1+x1x2…xk+1－x1－x2－…－xk+1－1x1x2…xk+1=(1x1+1x2+…+1xk+x1x2…xk－x1－x2－…－xk－1x1x2…xk)+(1xk+1+x1x2…xk+1－xk+1－1x1x2…xk+1－x1x2…xk+1x1x2…xk)≥1xk+1+x1x2…xk+1－xk+1－1x1x2…xk+1－x1x2…xk+1x1x2…xk。
设t=x1x2…xk，则1xk+1+x1x2…xk+1－xk+1－1x1x2…xk+1－x1x2…xk+1x1x2…xk=1xk+1+txk+1－xk+1－1txk+1－t+1t=t－1txk+1+xk+1(t－1)－t2－1t
=(t－1)［tx2k+1－(t+1)xk+1+1］txk+1
=(t－1)(xk+1－1)(txk+1－1)txk+1。
因为xi≥1(i=1,2,…,n,n≥2,n∈N)，所以t=x1x2…xk≥1，txk+1≥1，所以
(t－1)(xk+1－1)(txk+1－1)txk+1≥0。
故1x1+1x2+…+1xk+1+x1x2…xk+1≥x1+x2+…+xk+1+1x1x2…xk+1，当且仅当xi(i=1,2,…,n)至少有一个为1时不等式等号成立。所以当n=k+1时不等式成立。
（法2）设f(xk+1)=1x1+1x2+…+1xk+1+x1x2…xk+1－x1－x2－…－xk+1－1x1x2…xk+1，则f′(xk+1)=－1x2k+1+x1x2…xk－1+1x1x2…xkx2k+1=(x1x2…xk－1)+1－x1x2…xkx1x2…xkx2k+1=(x1x2…xk－1)(1－1x1x2…xkx2k+1)≥0，所以f(xk+1)在［1,+∞)上单调递增，所以f(xk+1)≥f(1)=1x1+1x2+…+1xk+x1x2…xk－x1－x2－…－xk－1x1x2…xk≥0，故1x1+1x2+…+1xk+1+x1x2…xk+1≥x1+x2+…+xk+1+1x1x2…xk+1，当且仅当xi(i=1,2,…,n)至少有一个为1时不等式等号成立。即当n=k+1时不等式成立。
由（1）（2）知，对任意不小于2的自然数n都有1x1+1x2+…+1xn+x1x2…xn≥x1+x2+…+xn+1x1x2…xn。