四川省泸县二中(646106)熊福州
四川省汶川中学(623100)张龙跃
在教学中，认真读了文\[1\]P111阅读与思考《笛卡尔与解析几何》中的一段：他(笛卡尔)曾计划写一本书《思想的指导法则》，在书中他大但地提出了一个解决一切问题的方案：把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程。可能不久他自己发现这个设想过于大胆，根本无法实现，这本书没写完就搁下了（在他去世后人们将它出版），他的这个方案虽然失败了，但确有很多问题可以用列方程的方法来解决。
在读这段话以前,已在一些期刊上见过相似的叙述,如文\[2\]的表述:“一切问题都可数学化,化归为数学问题,一切数学问题都可化归为代数问题,一切代数问题都可化归为方程问题，有了方程理论就可解决一切问题”,于是顺着这个理论,根据自己在数学教学中的探究,得出了文\[3\]的结论,即把笛卡尔的“最后得到关于一个未知数的方程”推广为“最后得到关于一个未知数或多个未知数的方程”,那么,笛卡尔的解题理论至少在中学数学是正确而不失败的。因此,数学教学应返朴归真于基本的方程中。
实际上,在中学数学中,任何表示实数的字母(未知数)进入方程(组)或不等式(组),其取值(实解)范围就是自然确定了的,只要能解出一个字母(分离变量)就得到一些显函数(显函数就是代数式,即多元方程实解的表达式),求显函数的定义域(列不等式(组)解不等式(组),好想不好做)或值域(直接求代数式值的范围,好做不好想)就可求得字母的取值范围,也就可判定方程有无实解,有多少实解,实解的分布等,反映在与之等价的图像(方程的图像就是方程解集的另一等价表现形式)上,就是平行于x轴的直线与图像有无交点，有多少交点，交点分布的那部分函数值域问题,因此,数学问题的本质是方程的解集,在坐标系上就是方程的图像。其它的都是方程解集的衍生物,如均值不等式等。
例1(2011年全国高考浙江文16)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是。
分析:本题是三个未知数两个方程,未知数多于方程个数,但次数不高,易消元化为两个未知数的方程,就可求出解集(取值范围)。
解:由a+b+c=0得c=－(a+b),代入a2+b2+c2=1得a2+b2+(a+b)2=1,即2b2+(2a)b+2a2－1=0,解得b=－a±2－3a22,求定义域得2－3a2≥0,解得－63≤a≤63。
注:判别式法实质是求分离变量得到的函数的定义域。
例2(2011年全国高考浙江理16)设x,y是实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是。
分析:本题的基本思路是从4x2+y2+xy=1中解出一个未知数如y=－x±4－15x22，代入2x+y得2x+y=2x+－x±4－15x22,求这两个函数的值域之并,很繁难,换元2x+y=t得方程组4x2+y2+xy=1，
2x+y=t，则问题就为三个未知数两个方程,消去一未知数就是两个未知数一个方程,利用换元产生的方程,代入消元就变得简单易行。
解法1:令2x+y=t,则y=t－2x代入4x2+y2+xy=1得4x2+(t－2x)2+x(t－2x)=1，
即6x2－3tx+t2－1=0,解出x=3t±24－15t212,求定义域得24－15t2≥0,解得－2105≤t≤2105。
解法2:令2x+y=t,4x2+y2+xy=1为(2x+y)2－3xy=1,即(2x+y)2－32(2xy)=1,
即(2x+y)2－32·(2x+y)2－(2x－y)24=1,即5(2x+y)2+3(2x－y)2=8,即5t2+3(2x－y)2=8,即3(2x－y)2=8－5t2,∵3(2x－y)2≥0,∴8－5t2≥0,解得－2105≤t≤2105。
注:此解法2就是均值不等式法,柯西不等式法等的源。
例3关于x的方程x2+(m－3)x+m=0的二实根满足下列条件,分别求m的取值范围。
(1)有二正根;(2)有二负根;(3)有一正根一负根;(4)二根都小于1;(5)二根都大于12;
(6)一根大于1一根小于1。
分析:一元二次方程实根的分布一般都有四个解法,二次函数图像性质法;根与系数关系法;分离主元法和分离参数法(通称分离变量法,分离变量后就求是函数定义域和值域问题)。二次函数图像性质法最好做,但不好想,要注意数与形的等价,或熟悉常见分布结论;根与系数关系法比较麻烦,既不好想,也不好做,也要注意等价；分离主元法,最好想,但要解无理不等式,不好做,但只要会解无理不等式也好做,分离参数就既好想,也好做,下面用分离参数法解。
解:由x2+(m－3)x+m=0解出m=3x－x2x+1=5－(x+1+4x+1),作出图像(如图1),
由图1得(1)0<m≤1;(2)m≥9;(3)m<0;(4)m≥9;(5)56<m≤1;(6)m<1。
图1图2
例4解关于x的不等式(a－1)x2－4x+a－1>0。
解:方程(a－1)x2－4x+a－1=0的根为x=2±3+2a－a2a－1(a≠1),解出a>4xx2+1+1,令f(x)=4xx2+1+1,其图像如图2,由图像知：
(1)当a≤－1时,解集为?;
(2)当－1<a<1时,解集为
(2+3+2a－a2a－1,2－3+2a－a2a－1);
(3)当a=1时,解集为(－∞,0);
(4)当1<a<3时,解集为(－∞,
2－3+2a－a2a－1)∪(2+3+2a－a2a－1,+∞);
(5)当a=3时,解集为(－∞,1)∪(1,+∞);
(6)当a>3时,解集为(－∞,+∞)。
例5（2013年全国高考湖北理13）设x,y,z∈R，且满足x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14,则x+y+z=。
解：设x+y+z=t，与x+2y+3z=14，联立解出x=z+2t－14,y=2z+t－14，消去x,y得
(z+2t－14)2+(2z+t－14)2+z2=1，即6z2+(8t－614)z+(2t－14)2+(t－14)2－1=0，
z=
614－8t±(8t－614)2－24［(2t－14)2+(t－14)2－1］2×6
=314－4t±－14(t－3147)26，由－14(t－3147)2≥0得(t－3147)2≤0，所以t=3147，即x+y+z=3147。
注:换元使问题进入方程(组),消元使问题在一个尽量少元的方程中,在中学一般是一元方程或二元方程,一个元的方程一般是求值（有限解集）,两个元的方程一般是求取值范围（无限解集）,这是最自然的解题思路。它不但能避免技巧,还能发现技巧。如在例5的解中,当t=3147时，x=1414，y=21414，z=31414，所以已知方程组
x2+y2+z2=1，
x+2y+3z=14等价于三元(x,y,z)方程(x－1414)2+(y－21414)2+(z－31414)2=0，即命题者就是由此设计出例5的，对一般解题者而言，是不易想到这个绝技的。
\[1\]人民教育出版社。普通高中课程标准实验教科书数学②必修，2007,2。
\[2\]陈振宣。解析几何技巧漫话。中学生数理化(高中版),1996,6。
\[3\]熊福州。最基本的数学思想方法—方程思想,换元法。河北理科教学研究（河北）。2000,4。