禹旺勋① YU Wang-xun；王爱菊② WANG Ai-ju；陈付彬① CHEN Fu-bin
（①昆明理工大学津桥学院工学系，昆明650106；②云南师范大学商学院会计学院，昆明 650106）
（①Department of Engineering，Oxbridge College，Kunming University of science and Technology，Kunming 650106，China；
②Department of Accounting，Yunnan Normal University Bussiness School，Kunming 650106，China）
摘要：本文提出了基于椭圆拟合的圆的摄像机标定方法。该方法的平面模板要求圆内有3组两两正交的直径，从3个或多个不同的方位摄取平面圆模板的图像。通过非线性的最小二乘的椭圆的拟合，得到精确的椭圆边界，从而精确定位模板中的特征点，进一步提高摄像机的标定精度。真实图像实验表明，该方法易于实现，精度较高，稳定性较好。
Abstract： This paper proposes a approach for camera calibration based on conic and ellipse fitting. The approach only requires camera to take a planar template which contains a circle and its any 3 groups orthogonal diameters is used and taken 3 or more figures from different orientations. Through the nonlinear least squares of ellipse fitting gets accurate elliptic boundary， thus locate the feature points in the pattern precisely， further improve the calibration precision of the camera. Computer simulation and real experiment prove the feasibility and the robustness of this approach.
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关键词 ：摄像机标定；椭圆拟合；正交；灭点
Key words： camera calibration；ellipse fitting；orthogonal；vanishing points
中图分类号：TP391.4 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）18-0168-03
基金项目：关于摄像机标定方法的研究（云南省教育厅项目）2013C165。
作者简介：禹旺勋（1982－），男，河南驻马店人，硕士，讲师，主要从事机器视觉方向研究。
0 引言
摄像机标定是从二维图像中提取三维信息一个必不可少的环节，它是机器视觉研究中的一个重要问题[1]。标定技术在于建立二维的图像和世界坐标系下物体之间的几何关系，标定算法是依据图像信息求出摄像机内参数[2]。经典的算法：DLT 标定法、RAC标定法以及张正友的基于平面的标定[4]。总之各标定方法都是基于二维的图像和世界坐标系下物体之间的几何关系，加入约束条件，求出摄像机内参数。比如：文献中基于灭点约束的摄像机标定算法和利用摄影几何中交比不变性的方法[6]，对摄像机做的标定都受到了这种思想的影响，采用该方法可以通过引入一些参数、利用摄影几何中交比不变性需从n幅图中提取点坐标，求出3组两两正交的直线的消失点的坐标[7]，建立3n个方程，如此就可以把内参数求出，但是该方法不仅稳定性差，精度也低。
本文提出一种基于椭圆拟合的圆的摄像机标定方法，该方法通过非线性的最小二乘的椭圆的拟合，得到精确的椭圆边界，从而精确定位模板中的特征点。然后求出直线的灭点，利用灭点定理计算出正交灭点，从而求出内参数[3]。该方法不仅具有很好的稳定性，而且操作简单、精度高。
1 圆的摄像机标定方法
1.1 摄像机模型
摄像机模型为经典针孔模型。设P为任意空间点，图像点齐次坐标和空间点齐次坐标分别为m=(u，v，1)T和M=(xw，yw，zw，1)T。通过透视投影几何关系M与m之间的关系如下：
其中，K=fu s u00 fv v00 0 1为摄像机内参数矩阵；R和T分别为世界坐标系到摄像机坐标系的旋转矩阵和平移向量；λ为比例因子[8]。
1.2 确定灭点坐标
使用平面圆模板，圆内有3组两两垂直的直径。平面圆模板如图1所示，O为平面圆的圆心，AB，CD，EF，A′B′，C′D′，E′F′为平面圆直径，其中AB⊥A′B′，CD⊥C′D′，EF⊥E′F′。6条直径的无穷远点分别是p1∞，p2∞，p3∞，p4∞，p5∞，p6∞。平面圆模板的图像如图2所示，a，b，c，d，e，f，o，a′，b′，c′，d′，e′，f′分别是点A，B，C，D，E，F，O，A′，B′，C′，D′，E′，F′的图像点。6条直径的无穷远点的图像点分别为p1，p2，p3，p4，p5，p6。a，b，c，d，e，f，o，a′，b′，c′，d′，e′，f′的坐标用（ui，vi）T（i=a，b，c，d，e，f，o，a′，b′，c′，d′，e′，f′）表示。
根据射影几何调和共轭和交比不变的性质[5]，可求出无穷远点的图像点p1，p2，p3，p4，p5，p6的坐标为：
由于实际图像中获得到的是椭圆，需要检测椭圆的边界。对图像进行二值化、边缘检测得到边界点，然后对数据点进行拟合得到精确的边界。拟合的方法是利用找到一组椭圆边界点使其到拟合点的欧氏距离在非线性最小二乘意义下最小[10]。
由于椭圆的边界点（xi，yi）相对应的拟合点（x，y）在同一条直线上，则拟合点与边界点的距离为
则问题归结为一个以D为目标函数的优化问题，令D取最小值，则可得与数据点在非线性最小二乘意义下拟合最好的椭圆。
为了保证拟合的速度和精度，应该在拟合之前选择精确的椭圆参数设定初始值。
2 真实图像实验
在真实图像实验中，采用佳能数码相机，图像分辨率为640×480，用激光打印机打印有3组两两垂直的直径且半径为20cm的平面圆模板。从不同的方位拍摄平面圆模板获得实验所需的图像。用图3中的四幅图像标定摄像机的内参数。用本文的算法对摄像机进行标定，实验结果如表1。实验结果表明，该方法简单、有效。
3 结论
本文提出了一种基于椭圆拟合的圆的标定方法。该方法需要有3组两两正交的直径的平面圆模板，从3个或多个不同的方位摄取模板的图片。通过非线性的最小二乘的椭圆的拟合，精确定位模板中的特征点，从而提高了摄像机的标定精度。然后求出直线的灭点，利用灭点定理计算出正交灭点，从而求出内参数。实验结果表明：仅需要使用3幅图像就可以得到稳定精确的标定结果。所以本文的方法易于实现、精度较高、稳定性好，可以在实际应用中使用。
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参考文献：
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