商艳① SHANG Yan；陈华② CHEN Hua；许波① XU Bo；唐宝利① TANG Bao-li；刘鑫① LIU Xin
（①内蒙古大学鄂尔多斯学院，鄂尔多斯 017000；②内蒙古鄂尔多斯市东方路桥集团，鄂尔多斯 017000）
（①Department of Civil Engineering，Ordos College of Inner Mongolia University，Ordos 017000，China；
②Dongfang Road-bridge Group Shares Limited Company，Ordos 017000，China）
摘要：本文用边界元法建立了非线性理想数值波浪水槽，求解边界积分方程模拟了波浪的生成、传播、变形，并用线性元法对积分方程进行离散求解，得到波浪水槽不同时刻整个波浪场的状态。对计算值和理论解进行了验证，结果表明二者吻合较好，为后续在波浪水槽中模拟极端波浪奠定了基础。
Abstract： In this paper， nonlinear ideal numerical wave flume is established by the Boundary Element Method， the wave generation， transmission， deformation are simulated by solving the boundary integral equation， then，integral equations are dispersed and solved by linear element method， the state of the whole wave field of wave flume in the different time is obtained. The calculated value and the theoretical solution is verified， and the results are in good agreement with each other. There is a good foundation that extreme waves can be simulated in wave flume for further research.
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关键词 ：边界元法；数值波浪水槽；数值模拟；极端波浪
Key words： boundary element method；numerical wave flume；numerical simulation；extreme wave
中图分类号：TV139.2+5 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）18-0176-02
课题项目：内蒙古自治区高校科研项目（NJZY14010）。
作者简介：商艳（1976-），女，山东德州人，在读博士，讲师，土木工程系副主任，主要从事土木工程系教学、科研和管理工作以及道路桥梁的教学和科研工作。
0 引言
目前，深水波浪与结构物之间的相互作用研究越来越受到研究者们的关注，尤其是波浪对深水结构物作用力即波浪力的研究。波浪力研究的方法有理论分析法、物理模型试验法、现场观测法、数值计算法。随着计算机技术的迅速发展，越来越多的人应用数值计算方法模拟波浪运动以及波浪与结构物之间的相互作用[1]。数值波浪水槽是对波浪自由表面运动和波浪与浮体相互作用的数值算法的总称[2]。数值波浪水槽与物理模型试验在理论上和功能上基本一致，但数值波浪水槽能避免物理模型试验的局限性和尺度效应，同时能节约人力、物力、财力，便于使用、改造，精确度高，基于此，现为研究者使用。
1 数值波浪水槽模拟方法比较分析
1.1 有限差分法（FDM）
FDM是历史上最早、最经典的数值方法，通过使用这种方法，能够对非定常的Navier-Stokes方程（N-S方程），直接求解，不过，在使用FDM进行数值模拟时，需要很多假设。另外，由于FDM的网格点增长很快，所以一般需要用运算能力较强的计算机。值得注意的是，FDM在模拟动边界和不规则边界方面效果不是很好。
1.2 有限元法（FEM）
FEM能够比较自由地控制网格点的枢密程度，划分相对容易，并且在解决动边界方面，也有一定优势。FEM能够有效解决不规则区域的计算，但是对计算机的性能要求也很高。
1.3 边界元法（BEM）
边界元法（BEM）是根据微分方程的基本解将其转化为边界处的积分方程，然后求解积分方程从而得出微分方程的解。BEM的优点远远多于FEM，边界元法是在闭合的区域中满足Laplace方程，Green函数基本解的存在意味着在区域内任一点的值能够从边界处的值获得。该种方法的缺点主要是它的应用范围受限，具体来说是以存在相应的微分算子基本解为基础，对非均匀的介质难以应用。
1.4 有限体积法（FVM）
有限体积法（FVM）是一种新的研究Navier-Stokes方程的数值计算方法，目前在流动、传热、福射等问题中应用的很广泛。它是将计算域划分为一系列的控制体，每个控制体的特征都用形心处的一个节点来代表，通过对控制体的节点处建立通量守恒方程建立离散形式的控制方程。
基于以上方法的比较，本文选用边界元法对数值波浪水槽进行数值模拟。
2 边界元法（BEM）模拟数值波浪水槽
2.1 边界元法（BEM）简介
数值法基本分为两类：区域型和边界型[3]，边界元法（BEM）属于边界型的数值方法。在应用BEM时，需要将区域内的微分方程变换成边界上的积分方程，再把边界方程离散成代数方程。
边界元法分为直接法和间接法两种[4]。直接法用物理意义明确的变量来建立积分方程，积分方程中的未知函数就是所求物理量在边界上的值；间接法用物理意义不一定明确的变量来建立积分方程。积分方程式是边界元方法的理论基础。
2.2 建立边界积分方程
边界元法的基本控制方程式拉普拉斯（Laplace）方程。由于波浪具有自由表面，且流体是不可压缩的，因此，波浪的运动满足Laplace方程：
2.3 数值波浪水槽模型
假想一数值波浪水槽[4]，如图1所示，SF为自由水面，SB、SV为底面，SS、S2为侧边界，SF、SB、SS、S2组成计算域，计算域左端为造波板边界，右端为海绵层吸收边界。在线性理论的基础上，给出造波板的冲程、速度和加速度后，在造波板边界通过求解边界积分方程来模拟波浪的生成、传播和变形。吸收边界采用Sommerfeld边界条件和海绵层吸收边界条件相结合的方法来吸收波浪。
2.4 边界积分方程数值解
边界积分方程的离散采用线性元离散。将边界分割成N个边界单元，整个边界上的积分以N个边界单元上的积分和来表示。
设在边界上有N个节点，任意一个单元J包括节点j和j+1，边界上的变量用Γ表示，边界积分方程可离散为：
离散后的边界积分方程与自由表面动力学边界条件结合，可计算出任何边界上的势函数及其导数值。在此基础上进行有限差分格式时间步进，即在每一个时间步长内，求解关于速度势的边界值，得到波浪水槽不同时刻整个波浪场的状态。
3 数值波浪水槽的验证
为了验证建立的数值波浪水槽模拟非线性波浪的可行性、正确性和精确性，可通过数值波浪水槽生成波浪的计算结果和波理论解比较，如图2，发现计算值和理论界吻合较好，表明以上建立的数值波浪水槽模拟非线性波浪可行。
4 结论
本文用边界元法建立了理想的数值波浪水槽，通过求解边界积分方程模拟了波浪的生成、传播和变形，通过线性元方法对边界积分方程进行了离散，求解边界值得到不同时刻波浪水槽波浪场的整个状态，并对波浪的计算值和理论解进行了验证，结果表明二者吻合较好。这说明边界元法建立的数值波浪水槽能很好地模拟非线性数值波浪，为后续的在波浪水槽中模拟极端波浪的研究奠定了良好的基础。
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参考文献：
[1]辛颖.Fluent UDF方法在数值波浪水槽中的应用研究[D].大连理工大学硕士学位论文，2013，6.
[2]Katsuji Tanizawa. The state of the art on numerical wave tank [J]. Proceeding of 4th Osaka Colloquium on Seakeeping Performance of Ships，2000：95-114.
[3]王元淳.边界元法基础[M].上海：上海交通大学出版社，1988，9.
[4]庞红犁.极端波浪作用下海上结构物高频共振响应的数值模拟研究[D].天津大学博士学位论文，2003，6.