付彧
（北京林业大学理学院，北京100083）
摘要：本文选取2014年上半年上证指数间隔1分钟的高频数据，通过相图、Poincare截面图、功率谱图初步判断股市的混沌特性；基于混沌理论的相空间重构技术，分别用互信息法和G-P算法计算其时间延迟与最小嵌入维数；并在此基础上，利用Wolf算法得到其具有正的最大Lyapunov指数。这一研究结果表明上海证券交易市场具有混沌特性，为中国股票市场的混沌建模和预测奠定了基础。
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关键词 ：股票市场；混沌行为；关联维数；Lyapunov指数
中图分类号：F83 文献标志码：A 文章编号：1000-8775（2015）04-0099-03收稿日期：2015-01-20
基金项目：2014年大学生创新项目“随机数据分析及图形交互GUI系统的设计”（X201410022135）研究成果
作者简介：付彧（1994-），女（满），辽宁葫芦岛人，本科生，主要从事混沌理论研究及其应用。
一、前言
“混沌”一词没有统一的定义，一般认为，混沌就是指在确定性系统中出现的一种貌似无轨则的，类似随机的现象。那么，证券市场的股价波动是否可以用混沌吸引子描述呢？科研工作者们在此方面做了大量的工作，如KE.E.Peters（1996）对S&P500指数的混沌特征进行了研究，得出其相关维值为2.33，认为其具有非线性的特征[1]等。但目前为止，金融学家、经济学家和物理学家对此问题仍未有定论。
二.股市波动混沌特性的初步分析
1.1相图法
相图[2]可以描述系统状态在全部时间内的变化，反映系统吸引子的空间结构。若系统的相空间轨迹通常表现为在有限空间内不断伸长和折叠形成的回复性永不相交的非周期运动，不同于毫无规律的随机运动，但也不是周期函数的重复性运动，此时可以判断系统可能存在奇怪吸引子，该系统可能是混沌的。
1.2Poincare截面法
通过观察Poincare截面[3]上截点的情况可以判断是否发生混沌。当系统的运动为周期运动时，在Poincare截面上简化为n个点（称为周期n运动）；当系统的运动为准周期运动时，在Poincare截面上是一条闭曲线；当系统的运动为非周期的混沌运动时，在Poincare截面上是一些成片的具有分形结构的密集点。
1.3功率谱[4]方法
频率f与相应的功率E（f）之间的指数关系，在一些物理现象的某些频率中是适用的。功率谱的幂函数形式标明，物理系统的观测资料在频率f空间中跨越很宽的尺度，但却有自相似的结构。时间序列的图像看上去是不规则的，但其功率谱却可能呈现出规则性：
1.谱图若具有单峰（或几个峰），则对应于周期（或拟周期）序列。
2.若无明显的峰值或峰连成一片，则对应于混沌序列。
所以，通过直观观察功率谱图像，可初步判断系统是否具有混沌特性。
1.4上证指数三种图像分析
首先，我们将原始数据制成折线图（如图1所示）。这就是我们所要分析的时间序列。
然后，我们绘制指数的上述三种图像，结果如下：
通过上述图像，我们可以直观观察到本时间序列的相图是不断伸长和折叠形成的非周期运动，Poincare截面是由成片的具有分形结构的密集点构成的，功率谱图像具有宽频的特征，符合前文功率谱情况2中描述特征，故我们可以初步判断本证券市场价格波动可能具有混沌特性。
三、重构相空间
重构相空间比较常用的方法是时间坐标延迟法。即用x（t）坐第一个坐标，x（t+τ）做第二个坐标，…，x（t+（m-1）τ）做第m个坐标也是最后一个坐标，以此来构建m维状态矢量Y（t）。显然，首先我们应该先确定时间延迟和吸引子的嵌入维m。
3.1时间延迟τ
本文采用互信息法求时间延迟τ。假设有两系统Q和S，根据信息论，互信息的定义为I（Q，S）=H（Q）+H（S）-H（Q，S），如果把S作为原始数据序列{x（t）}（t=1，2，…，n），Q作为S的时间延迟T数据序列{x（t+τ）}，则由Q和S可得到一个两维的重构图，那么理论上的互信息计算式为：
通过上述办法，计算该时间序列τ=32。
3.2关联维与最小嵌入维
本文采用由Grassberger和Procaccia提出的G-P算法[5]计算关联维（m）与最小嵌入维（D），针对本文所研究的时间序列，我们取τ=32，从尝试嵌入维m=2开始，分别得到下列结果：
观察图5，当m8时，图像趋于平稳；观察图6，我们也可以看出m=8和m=9时，曲线几乎重合。说明D随着m的增长，收敛于稳定值2.4。基于以上判断，我们得出该时间序列的上述计算给出吸引子的嵌入维为8，关联维为D=2.4。
四、lyapunov指数的计算
Lyapunov指数作为沿轨道长期平均的结果，是一种整体特征，其值总是实数，可正可负也可以等于零。在Lyapunov指数λ＜0的方向，相体积收缩，运动稳定，且对初始条件不敏感；在λ＞0的方向轨道迅速分离，长时间行为对初始条件敏感，运动呈混沌状态；λ=0对应于稳定边界，属于一种临界情况。若系统最大Lyapunov指数λ＜0，则该系统一定是混沌的。所以，时间序列的最大Lyapunov指数是否大于零可作为该序列是否为混沌的一个判据。
本篇文章采用wolf方法计算最大Lyapunov指数。这个方法测度了重构相空间中相邻两点之间的距离随时间的发散速率。Wolf算法如下：
对于混沌时间序列x1，x2，…，xn-1，xn，…在取定嵌入维数m，延迟时间τ之后，重构相空间中的m维矢量表达式为：
Y（ti）=（x（ti），x（ti+τ），…，x（ti+（m-1）τ））i=1，2，…，N
取初始点Y（t0），设其与最近邻点Y0（t0）的距离为L0，追踪这两点的时间演化，直到t1时刻，其间距超过某给定值ε>0，L´0=|Y（t1）-Y0（t1）|>ε保留Y（t1），并在Y（t1）邻近另找一个点Y1（t1），使得L1≡|Y（t1）-Y1（t1）|<ε并且与之夹角（Y（t1）和Y1（t1）之间的夹角）尽可能地小，按照与上述相同的方法，在时刻t2计算：L´1≡|Y（t2）-Y1（t2）|>ε，继续上述过程，直至Y（t）到达时间序列的终点N，设追踪演化过程总的步数为M，则最大Lyapunov指数定义为：
基于上述计算步骤，我们选取τ=32，m=8。运用此方法，我们求得这一时间序列的最大Lyapunov指数为0.189。既然Lyapunov指数σ为正：σ>0，因此我们证明了上海证券交易市场股价波动对应于混沌运动，或者说，本时间序列的变化呈现出一个少自由度的确定论性非线性动力学系统所产生的混沌行为。
五、结论
本文通过对2014年1月2日至2014年5月29日这一时期数据进行分析，可以得出如下几点结论：
（1）相图、Poincare截面、功率谱图可以直观体现股市的混沌特性，但准确度有待商榷。
（2）分形维是表征时间序列变化特征的定量指标，时间序列变化越激烈，其分形维越大，反之，序列变化越简单，分形维越小。实证显示，上海证券交易市场的混沌吸引子是存在的，它的时间序列数据对应于一个关联维数为D=2.4的混沌吸引子。此维数反映了此段时间内股票价格波动的复杂程度。关联维数值越大，波动越复杂，其系统越活跃。由分形理论，我国股价指数波动并不是完全随机的随机行走模型，而表现出一定的正相关性（持续性），即当前股指的波动会影响未来的波动。一段时间股指持续增长，而另一段时间持续下跌，具有分形维特征。
（3）通过计算得出上证指数的lyapunov指数大于0，可判断上证交易市场的股价波动存在混沌行为。而在短期内，由于混沌系统运动轨道发散可能较小，所以利用观测资料对股价进行短期预测是可行的。因此，在判定股市存在混沌行为的基础上，我们可以从此结论出发，对股市进行短期预测，从而规避风险，提高投资准确性与可行性。
正确认识我国股价波动的混沌现象，对于政府宏观调控和管理证券市场，使股价指数真正成为经济发展的晴雨表，促进证券市场的健康持续发展，应该是有意义的；对于股民而言，也可以由此方向出发，建立科学的投资观念，从而避免盲目投资。
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参考文献：
[1]PetersEE.Chaosandorderinthecapitalmarket[M].NewYork：JohnWilley&Sons，1996.
[2]陈敏，叶晓舟.混沌时间序列的判定方法.[J].信息技术，2008，（3）：23-25，54.
[3]吕金虎，陆君安，陈士华.混沌时间序列分析及其应用.[M].武汉：武汉大学出版社，2002.
[4]张龙斌.在线实时快速识别混沌的只能方法研究.[D].天津：天津大学研究生院，2006：17-18.
[5]王安良，杨春信.评价奇怪吸引子分形特征的Grassberger-Procaccia算法.[J].北京：物理学报，2002（51）：2719-2729.
（责任编辑：陈丽敏）