基于创意平板折叠桌数学模型的分析

敬思惠杨光芳林隆龙

摘要：本文针对创意平板折叠桌的问题，通过非线性拟合、线性加权求和等方法，综合分析了创意平板折叠桌的动态变化过程、最优设计加工参数的讨论和创意平板折叠桌设计软件，建立了动态变化模型、多目标规划模型，运用MATLAB和LINGO等软件进行编程求解问题。最后，将模型的结果与实际相结合，展示了几种折叠桌的动态过程示意图，对模型的误差进行了分析，给出了模型的优缺点，在此基础上结合实际阐述了模型的推广。

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关键词：平板；折叠桌；模型；分析

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。

问题一：给定长方形平板尺寸为120cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。建立模型描述折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的设计。

问题二：折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。

问题三：给出数学模型，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

一、模型的建立与求解

（一）问题一的分析与求解

1.对问题的分析

本问题需要建立模型描述折叠桌的动态变化过程，并在此基础上给出折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。

2.对问题的求解

（1）模型I的准备。①桌腿木条上点的约定。在木条上约定4类点为Ai ，Bi ，Ci ，Di 分别表示为：桌面边缘点、开槽的最高点、开槽的最低点和桌腿边缘点，如图1所示。

②木条开槽长度。桌子折叠前（长方形平板)，钢筋位于每根木条开槽的最顶端，因此，图1 点的约定图钢筋所处的位置即是每根木条（除四条接地的桌腿）开槽的顶端位置；当桌子折叠后，钢筋位于每根木条开槽的最底端。故：开槽长度＝开槽顶端到桌脚边缘距离－开槽底端到桌脚边缘距离

（2）模型I的建立。首先建立三维坐标系（如图2），将折叠桌的动态变化过程放在坐标系中研究。以桌子的圆心为原点O，平行于钢筋的轴为x 轴，平行于桌子且与x轴垂直的轴为y 轴，向下垂直桌子表面的轴为z 轴，建立桌面的方程：

折叠前，连接桌腿木条的钢筋与木条的交点为开槽的最高点；折叠后，钢筋与木条的交点为开槽的最低点。故第i 根木条开槽的最低点坐标

Step5：桌脚边缘线的数学描述。

桌脚边缘线由两个直纹曲面相交而成。一是桌子两边的外形直纹面，根据前面的叙述，桌子两边外形构成的直纹面可由三组数据：圆弧桌面边缘点、钢筋上面的点和桌脚边缘点确定；另一个是由每条桌腿顶点与最外侧的两个接地桌脚连线上对应均匀分布的各点形成的直纹面，即由两组数据确定。因此我们可以很方便地通过MATLAB拟合出这两个曲面，并由此得到桌脚边缘线的方程。综上所述，折叠桌的动态变化过程可由如下的数学模型进行描述：

由此模型可知，在制作这种圆形桌面折叠桌时的各种加工参数的数学描述分别是：

（3）模型I的求解。

①对于尺寸为120cm×50cm×3cm 的木板，每根木条宽2.5cm，以此来制作折叠桌，共需n=20根木条，每根木条的桌腿长度Li 如表1所示，由于圆的对称性，我们只给出了1/4圆弧的每根木条长度。

②每根木条中段（即桌面）的长度li如表2所示，同样，由于圆的对称性，我们只给出了半圆的每根木条中段长度。

③对于每条桌腿的开槽长度，由前面的模型，利用MATLAB编程，先计算出每根木条桌面边缘点坐标、木条与钢筋的交点和每根桌腿边缘点坐标，然后利用模型公式即可求出开槽长度，计算结果如表3所示。

④对于桌脚边缘线，如前所述，首先，根据圆弧桌面边缘点、钢筋上面的点和桌脚边缘点通过MATLAB拟合出桌子外形的直纹曲面，曲面方程为：

然后，找出桌脚边缘线与钢筋在地面上对应的均匀分布点，其与桌脚边缘点构成的直纹曲面方程为：

（二）问题二的分析与求解

1.对问题二的分析

根据引言要求，对于“稳固性好”，通过文献[2-3]知，桌面稳固性最好时，桌脚与地面所成角度应当在[60°，90°]之间。对于“加工方便”，主要涉及的因素是木条开槽和木条分段，所以“加工方便”应当理解为各木条开槽尽可能短。

对于“用材最少”，在保证桌子高度和圆形桌面直径的条件下，桌面本身用材不能减少。因此，用材最少即是要求桌腿的长度最短，只需考虑桌子边上的接地桌腿最短。

（2）模型Ⅱ的建立。如上所述，建立一个以桌子中间木条开槽最短、最边上的接地桌腿最短的多目标规划模型来设计折叠桌的加工参数。

①决策变量。本模型的决策变量有两个，一是最边上的接地桌腿长度，另一个是中间木条的开槽长度，从题意及模型Ⅰ知，木条开槽长度取决于桌面高度、木条的桌腿长度和钢筋位置等因素，因此，我们的模型用p 作第二个决策变量。②约束条件。（a）钢筋位置的约束。由于钢筋位置的其中一个极限为钢筋刚好与圆桌相切，另一个极点是放在桌脚，于是应有下列约束条件：（其中r 为圆桌的半径，为第n/2根木条的桌腿长度，p 为钢筋固定在最外侧木条距离桌面边缘点为整个木条的p 倍）

（b）最外面木条长度的约束。由于稳固性将桌子接地脚与地面的角度控制在[60°，90°]，当角为90°时，最短，即桌脚长度等于桌子的高度h；当角为60°时，最长，此时为。由于的变化是连续的，于是应有下列约束条件：（其中，h 为折叠为桌子后桌子的净高度）

（c）中间木条的槽长约束。针对于中间木条，需满足桌腿开槽最短。在折叠成桌后，钢筋刚好位于中间木条的底部，于是应有下列约束条件：（其中，T1 为第i根木条的桌腿开槽的长度）③目标函数。（a）用材最少，即是要让平板的长最短，根据前面的分析，也就是要让最短，因此，该目标函数可以表示为：。（b）加工方便，即保证中间木条的槽长最短，根据模型Ⅰ，中间木条的开槽长度可以表示为：

故该目标函数为：minw2 =T1 。

综上所述，最优设计加工参数问题模型为如下的多目标规划模型：

（3）模型的讨论。①对于这个多目标规划模型，可以知道当稳定性的角度为90°时，最短，此时满足了用材最少，但这样导致了中间木条的槽不会是最短的，所以这两个目标函数不可能同时达到最优，那么我们通过线性加权求和法[4]，将多目标规划模型转化为单目标规划模型，从而求解出多目标规划模型。分析在对不同的折叠桌高度h 和圆形桌面半径r的情况下，权值的变化对目标函数的值的影响。②由于不同的权值λ 反映的是对目标函数的偏向度，将两个目标加权后函数变为：minF =λ ×f1 +(1-λ)×f2 ，定义偏向度如表4。