浅析线性代数教学中的条件反例
李霞
（沈阳理工大学理学院，辽宁沈阳110159）
【摘要】通过几个具体的实例，阐述了反例在线性代数教学中的应用。
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关键词 线性代数；反例；应用
《线性代数》是高等院校工科专业学生必修的一门基础理论课程。它所涉及的处理问题的思想、方法和技巧广泛应用到科技、军事、经济管理等各个领域。但由于《线性代数》具有概念多、抽象程度高、逻辑推理严密的特点，学生们普遍反映《线性代数》抽象、空洞，从而失去了学习的兴趣。笔者在多年的教学实践中认识到提高学生的学习兴趣需遵循抽象理论具体化的原则，而反例教学是把抽象理论具体化的一种行之有效的方法。
1反例可以用于鉴别命题的真假
学生在认识新知识时，往往会把旧知识作为依托，通过挖掘新旧知识的联系，使学生顺利完成新知识的学习，起到事半功倍的效果。但是新知识在形成的过程中往往又具有自身的特点，所以学生在通过类比学习新知识时不可避免地会得出一些错误结论，否定这些谬论，仅仅靠书本的概念、命题是不够的，恰当运用反例是极为有效的方法。
如在学习矩阵线性运算时，通过与实数加减法作比较引出矩阵加减法运算规律与实数加减法运算规律较为一致的结论，学生往往会想当然的认为矩阵乘法也和实数乘法一样满足交换律和消去律。对此，最佳的解决方法是举出简单的反例。
显然，AB≠BA，说明矩阵乘法不满足交换律；AB=AC，A≠O，但B≠C，说明矩阵乘法不满足消去律。同时，该例还可以说明命题“若B≠O且A≠O，则BA≠O”是假命题。
2反例可以帮助学生理解定理，培养思维的严密性
线性代数中有些定理及相关命题单纯从理论上讲很抽象，学生在学习时往往只停留在表象上，使用时不注意条件、适用范围。在教学中针对学生存在的问题，举反例加以说明，学生就会理清定理中的条件与结论间的充分性与必要性。如克莱姆法则：
定理如果线性方程组
的系数行列式不等于零，
即：
时，方程组有唯一解[1]。
该定理需强调当方程个数等于未知量个数且系数行列式不等于零时方程组必有唯一解。反之不真。可举反例：
如方程组
，方程个数多于未知量个数，但却有唯一解。
3反例可以帮助学生理清概念间的关系
线性代数中概念繁多,有些概念之间具有种属关系、有些具有交叉关系，学生不容易掌握,如矩阵教学中，等价矩阵、相似矩阵、合同矩阵三者间的关系，可举反例帮助学生把它们之间的关系区别开来,从而使学生牢固地掌握正确概念。
例2（1）合同矩阵是等价矩阵，反之不一定。
取
显然有B=PAQ，即矩阵A与矩阵B等价。
但矩阵A与矩阵B不合同，否则一定存在可逆矩阵C使得
B=CTAC=CTC，
令
显然ac+bd=1与ac+bd=0不可能同时成立。
（2）相似矩阵是等价矩阵，反之不一定。
仍取上述矩阵等价A与B，二者等价，但不相似，否则存在可逆矩阵C使得B=C-1AC=C-1C=E，矛盾。
（3）合同矩阵不一定是相似矩阵，反之亦然。
取
显然，B=CTAC，即矩阵A与矩阵B合同，但二者不相似。否则，一定存在可逆矩阵C使得B=C-1AC=C-1C=E，矛盾。
同上也可举反例说明相似矩阵不一定合同。
总之，反例是一项积极的创造性思维，在线性代数教学中重视反例的运用，对培养学生思维能力和分析解决问题能力也起到十分重要的作用。
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参考文献
［1］同济大学数学系．线性代数[M]．北京:高等教育出版社,2007．
［责任编辑：汤静］