王 翠
(江苏省南京市力学小学，210024)
“解决问题的策略”体系的编排是苏教版小学数学教材的一大特色。一般地，在解决问题的过程中，学生需要经历两个转化：一是从纷乱的问题情境中获取有用的信息，抽象成数学问题；二是分析其间的数量关系，利用数学方法求解，并回到实际中检验。但在教学中，却存在着种种误区：有的割裂了这两个转化，使得整理信息与分析数量关系“各自为阵”；有的过多地关注信息的收集、整理，弱化了数量关系的形成、分析，等等。
作为一线教师，我们更希望教材在“解决问题的策略”的编写中能有所突破，有效架构“整理信息”和“分析数量关系”之间的桥梁。2014年，苏教版小学数学教材进行了全面的修订。以四年级上册“解决问题的策略——整理”为例，新教材从数学本源问题出发，厘清、摆正了整理策略的本末，从“有形的列表”到“无形的整理”，从“强调列表的策略”逐步走向“凸显整理的策略”，让学生在经历实际问题解决的过程中建构、生成对策略的认识，最终切实领悟并真正拥有策略。
一、问题情境从“简单”到“丰富”，策略需求从“外部输入”到“内部产生”
问题情境的实质是一种“有目的但不知如何达到”的心理困境，一种“接触到的学习内容与其原有的认知水平不和谐、不平衡时，亟需解决疑难问题”的心理状态。所以，在“解决问题的策略”教学中，必须为学生创设典型、适切的问题情境，促使他们产生寻找策略的需求。而对问题情境的编写，新旧教材之间就有很大的变化。
旧教材中呈现的问题情境（如图1）相对简单。而且，由于对“归一问题”中隐含的数量关系掌握得比较好，多数学生不列表也能解决，很多学生甚至会在心里嘀咕：“我都会做了，干吗列表格？”学生没有列表整理信息的内在需求，觉得列表只是老师要求的、强加的，多此一举。这样，不仅体现不出列表整理信息的重要性和优越性，更难以让学生感悟策略的作用和价值。为了解决这一难题，很多教师在新授教学时会大费周折，通过改变图示或者利用录音等方式呈现教材例题中的信息。
新教材中呈现的问题情境（如图2）则有以下三个特点：一是已知条件较多；二是条件之间的直接联系比较清楚；三是要选择有关条件来解决所求问题。学生在初步读题时就能感受到这些特点，会想办法整理题目中的条件。面对这样的问题情境，学生能感受到条件与条件、条件与问题之间关系的复杂，处于一种难以展开思维活动的心理困境中，就会想办法筛选条件中的信息，并让这些信息变得形象、直观，引导顿悟。由此，学生对于整理信息的需求是由内而外自发的，策略意识也自然而然地被催生出来。
二、整理方法从“单一”到“多维”，数量关系从“人为割裂”到“自觉关联”
整理信息的目的是理解题意，而按条件之间的直接联系进行整理，便于数量关系的分析。它让学生通过对已经习惯的、用图画与文字讲述的问题呈现方式进行必要的信息加工，排除（或淡化）无关的内容，保留有价值的信息，并把分散的重要数据重新组织起来，在头脑中表征它们的相互关系，从而为问题的解决作出准备。整理的方法有很多种，如直接在题目上勾勾画画、摘录信息、箭头表示对应关系、列表等，虽然形式不同，但本质却是统一的，都是把有关联的信息整合在一起去分析数量关系，都是对应关系的具体演绎，都是为了将整理的方法和数量关系的分析有效地加以融通。而在整理方法的呈现上，新旧教材之间也有很大的差别。
旧教材中呈现的整理方法只有“列表”这一种（如图3）。于是，很多教师就单一地认为整理就是列表，从而把课堂的重心变为引导学生体会列表整理信息的简洁性、条理性，再引领学生简化列表整理信息的方法，这就使得分析数量关系与列表整理信息完全割裂了开来。虽然课堂上也会有数量关系的分析，但往往都是在列式计算时才进行。所以，学生不能透彻地领会完整的列表策略，也很难把解答与列表融合在一起。其实，列表只是整理的一种外显的形式，而无论是勾勾画画，或是摘录信息，或是画图，都是整理的方式。如果我们只注重了表格的“形”，而割裂了数量关系，则显然是不妥当的，更不利于学生对策略的感悟。
新教材则准确把握了学生认知的实情，呈现了学生最容易想到的两种整理的方法：第一种是按果树的种类整理条件，第二种是根据问题选择有关的条件并利用表格整理（如图4）。其中，有横着整理的，也有竖着整理的；有“有框”的表格形式，也有“无框”的表格形式。这几种方法虽然有外在的差异（形式不同），但都有共同的属性——把相关联的条件整理在一起，利用条件之间的直接联系进行整理，既可以采用表格形式，也可以采用非表格形式。
学生通过整理，感受到行数与每行棵数是相关的两个条件，利用条件能够分别算出桃树、梨树、杏树的棵数；要想求出桃树和梨树一共有多少棵，就需要知道桃树和梨树分别的棵数。这些感受是从条件向问题的推理和从问题向条件的推理，是分析数量关系的策略，是产生解决问题的计划与步骤的过程。其实，当学生的思维发展到一定的阶段，他们甚至还可以从有形的整理（列表或画图），到直接勾画相关联的条件，再到无形的整理（把表或图想在脑中）。这样的编排顺应了学生认识的“藤”，也真实反映了学生对信息整理的客观认识水平——为什么要整理，有效地在“整理信息”和“分析数量关系”之间架构了桥梁。
三、检验环节从“无”到“有”，数量关系把握从“零散总结”到“全面聚焦”
及时检验答案是一种良好的学习习惯，不仅能保障解决问题的正确结果，更重要的是能促进学生更好地把握实际问题中的数量关系，发展推理能力。检验通常有三种方法：(1)再算一次，看两次得到的结果是否相同。这种检验本质上是计算的检验，而很难发现解题思路的错误。(2)用另一种方法解题，看两次解题的结果是否相同。不过，如果问题本身只有一种解法。就无法采用。(3)把求得的结果作为一个已知条件，而把原来的某个条件改成问题，编出一道新的实际问题，解答编出的问题。如果结果和原来的条件相同，表明解题正确；否则，就是错误的。这种检验解答了与原来问题不同的另一个问题，不仅检验了原题答案，而且因为解题时学生需要把握新的数量关系，从而有效地发展了逆向思考能力。相比旧教材，新教材在检验环节有了非常大的突破。
旧教材没有明确设计检验环节。而且，大多数教师对检验的理解也很肤浅，很少有教师把检验和把握数量关系联系在一起。在实际教学中，很多教师对学生检验的过程要求也不一样：有的教师可能会忽略检验这一环节，让学生仅仅止步于做出答案；一些经验丰富的教师虽然会让学生再次检验，但往往会忽略方法的指导，导致学生的检验流于形式，多数只是再算一遍。如此之下，学生对数量关系的把握是零散的、单一的，仅仅局限于“归一问题”和“归总问题”的顺向思考，不会举一反三。
新教材则凸显了检验的环节（如图5）。比如，例1只有一种解法，所以应该采用上述的第三种检验方法。在求出桃树和梨树一共41棵以后，可以改编成求桃树每行多少棵的问题，即：3行桃树和4行梨树一共41棵，梨树每行5棵，桃树每行多少棵？当然，改编成求梨树每行多少棵的问题，或者求桃树有几行、梨树有几行的问题也是可以的。学生在变化的问题情境中加深了对数量关系的理解，增强了举一反三的能力；在验证的反推中运用了新的数量关系——这时数量关系的分析较之原题可能还要复杂一些，但学生正是在反刍推理中全面把握了实际问题中的数量关系。其实，数量关系承载着学生认知的由表及里、由浅入深的飞越，只有积累基本的数量关系和结构，掌握基本的分析、综合的方法，并进行正向分析和反向推理，学生的知识体系才能逐渐地完整。
四、反思步骤从“残缺”到“完整”，策略感悟从“蜻蜓点水”到“提升内化”
策略的有效形成必然伴随着对解题行为的反思。这就要求教师组织学生回顾解决问题的全过程，进行恰当的总结、归纳，使学生更清晰地体会整理策略的完整过程，并把整个过程有机地融合在一起。相比旧教材，新教材在回顾反思环节也有了较大的突破。
旧教材中没有回顾反思的环节。于是，反思成了学生和教师遗忘的角落。其实，多数学生真实的心理状态是：在面对问题情境时，只关注具体问题的解决，倾力于寻找解决问题的具体思路、方法、答案，以找到正确的答案为终极目标。一旦找到了正确的答案，便有了大功告成的满足感，而很少自觉地再去就解决问题的思路与方法作策略性的理性反思、再认与升华。如此之下，解决问题的意义和价值基本还是定位在具体问题的解决上，学生虽然有对策略潜在的、零散的、无意识状态的心理体验，但终究还是难以形成策略的认识与意识。
新教材就特别注重回顾反思环节(如图6)。在学生解题后，教材让学生反思如下两个问题：(1)解决问题主要经历了哪些步骤？(2)分析数量关系可以采用哪些方式？学生在反思第一个问题时，就会不自觉地将自己解决问题的整个脉络清理一遍：整理条件一分析数量关系一列式解答一检验一回顾反思。这与著名数学家波利亚在“解题表”中提出的“弄清问题、拟定计划、实现计划、回复反思”的步骤不谋而合，使学生的探究过程趋于完整。对于数量关系的反思，学生会回顾在分析数量关系时所进行的推理和使用的方法，既能从条件出发向问题推理，也能从问题出发向条件推理，甚至可以将两种推理相结合。对这两个问题的反思，将学生从单一的解题状态中解放了出来，从解题技法的掌握走向了策略的生成与升华。学生在回顾反思中不断积累经验，体验策略的价值，触摸策略的本质，达到对策略的深度理解，最终实现策略的升华。
经过对新旧教材的深入剖析，我们可以感受到，新教材有宏观的视野和整体的思维，整体把握和架构了策略教学，把“整理信息”和“数量关系的分析”无缝连接，促使学生对策略的领悟更丰厚、更深刻。因此，教学时，我们要深刻把握新教材的要领，让数量关系这朵“羞答答的玫瑰”盛艳艳地开，也让学生真正触摸到数学的本质。