文/李芳芳
数列是自变量为正整数的函数，是反映自然规律的基本数学模型。数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法，例如函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转换等等，是高考考查考生数学综合素养的良好素材。数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合。其中数列与不等式的综合问题是考查的热点内容，该类问题具有命题操作过程简单，构造技巧强的特点。考查方式主要有以下三种：
一是判断数列问题中的一些不等关系
典例1：设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若a1<0,S2009=0.
（1）求Sn的最小差及此时n的值；
（2）求n的取值集合，是an≥Sn.
点评：有关数列类问题可以利用数列相关性质求解，如此题中的方法一，等差数列前n项和的最值可利用性质求出正负转折项求解，（2）问就直接表示出an，Sn解不等式。又因为数列通项公式就相当于函数解析式，所以我们也可以用函数的观点来研究数列，比如方法二，等差数列an可看作一次函数，等差数列Sn可看作二次函数，利用其单调性来研究最值或利用图象解不等式。但是要注意数列只能看作是自变量为正整数的函数，在解决问题时要注意这一特殊性。
二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题
点评：本题的难点是探求bk+1>bk，即(k+1)ak+1lga>kaklga成立时a的取值范围。求解这类问题的一般方法是分离参数法，通过求函数f(k)的最值得a的取值范围。在分离参数的过程中，还需要对a进行分类讨论，这既是本题的难点，也是易错点。在分离参数得到a>f(k)或a<f(k)后，所得到的问题即是不等式恒成立问题。
三是考查与数列问题有关的不等式的证明问题
典例3：已知曲线C：f(x)=x2,C上的点A0,An的横坐标分别为1和an(n∈N*)，且a1=5，数列{xn}满足xn+1=tf(xn-1)+1(t>0且t≠1/2,t≠1),设区间D=[1，an](an>1)，当x∈Dn时，曲线C上存在点Pn(xn,f(x))，使得点Pn处的切线与直线A0An平行。
（1）证明：{logt(xn-1)+1}是等比数列；
只能证明其小于1，这个放缩标准不合适，这时就要调整放缩的尺度，所以要考虑n>3，2n-1≥n+1和式中前三项不动，从第四项开始放缩。所以说对于数列型不等式的证明问题，重要的是选择恰当的放缩尺度，有时也可以合理地利用函数的性质，如利用函数的单调性求函数的最值等，这都是求解问题的方法和技巧。
（作者单位：浙江龙泉一中）