魏首柳，柯小玲，陈翔
（闽江学院数学系，福建福州350108）
摘要：“复变函数论”课程是高等学校数学专业和相关理工科专业的一门重要的必修或选修基础课程。笔者结合自身的教学实践，从“复变函数论”的主要内容与特点、教学窘境以及教学模式等三个方面探讨了该课程的教学改革。
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关键词 ：“复变函数论”；教学改革；教学窘境；多媒体
DOI：10.16083/j.cnki.22-1296/g4.2015.07.024
中图分类号：G642.0文献标识码：A文章编号：1671—1580（2015）07—0051—03
基金项目：闽江学院教改项目（MJUA2013004）、福建省中青年教师教育科研项目（JA13254）和育苗科技项目（YKY13001）。
收稿日期：2015—01—10
作者简介：魏首柳（1978— ），男，福建大田人。闽江学院数学系，副教授，博士，研究方向：图论及其应用。
柯小玲（1981— ），女，福建连城人。闽江学院数学系，副教授，研究方向：图论及其应用。
陈翔（1980— ），男，福建连江人。闽江学院数学系，讲师，硕士，研究方向：代数环论。
“复变函数论”课程是高等学校数学专业和相关理工科专业的一门十分重要的必修或选修基础课程，特别是数学各个专业学生学习完“数学分析”和“解析几何”之后的一门不可缺少的后继专业课。它的基本理论和研究方法不仅普遍渗透到算子理论、解析数论、多复变函数论和复分析等数学的其他分支，［1］而且还在自然科学的众多领域中有着重要的应用，比如理论物理学、流体力学、弹性力学、电磁学与自动控制论等不同的课程。由于高等学校的教育体制和教学改革进行得越来越深入，很多教学工作者十分重视“复变函数论”的教学模式和方法的改革与研究。事实上，众多主讲教师已经对其进行了科学、合理和深入的教学改革，使学生能够更好地掌握它的基本内容、基本方法和重要应用。笔者作为该门课程的主讲教师，根据课程的内容特点以及目前的教学窘境，结合自身的教学实践和体会，对“复变函数论”课程教学模式的改革提出了一些看法。
一、“复变函数论”课程的主要内容与特点
众所周知，不同编者或不同出版社的“复变函数论”教材的章节安排以及章节之间的内容顺序安排均存在一定的差异，但是魏尔斯特拉斯的级数理论、柯西的积分理论及黎曼的几何理论是它们主要包含的三部分内容。“复变函数论”是分析学的一个重要分支，并且自始至终都以解析函数作为该课程的一个首要研究对象。例如：从积分的角度来理解解析函数的柯西积分理论；从级数的观点来解读解析函数本质的魏尔斯特拉斯级数理论；从几何的视角把解析函数形象地视为一类保形的变换的黎曼几何理论。虽然“复变函数论”研究解析函数的上述三种观点的出发点各不相同， 但它们的目的和内涵是完全一样的， 都深刻地剖析了解析函数的本质。［1］
“复变函数论”课程不仅是高等学校数学系本科各专业的一门重要基础必修课，而且是专业基础课“数学分析”的后继课程，同时也是各高等院校的硕士研究生复分析方向的基础课，如“多复变函数论”和“复分析”等课程的先修课程。［2］因此，“复变函数论”课程的教与学不管是在知识结构的可持续性还是对学生思维能力的培养与提高等方面都有着举足轻重的作用。［3］有关复变函数的知识理论和实变函数方面的理论有许多相同的地方，但是它们之间的知识体系又有不少的分歧之处。在平时的授课与学习过程中，学生总是认为复变函数的定义比实变函数的相关内容更加抽象，而且原理和规律也更加复杂、难理解。
二、“复变函数论”课程的教学窘境
就以闽江学院来说，“复变函数论”从成立数学系以来就一直被确定为该系数学与应用数学专业和信息与计算科学专业本科生的必修基础课程。一般安排在二年级开始开设这门课程，选用的教材是由钟玉泉教授编写的第三、四版的《复变函数论》（从2012级起使用第四版教材），其是被数学系广大师生认可的一本实用且较为经典的教材，一般每周需要安排至少五个学时才能在一学期内完成教学任务。但是，在全国上下各个高等院校或教育机构所施行的高等教育和课程教学改革中，为了适应应用型人才培养的需要，各个专业都不同程度地增加了一些新的课程，而原来比较传统的一些专业基础课程的课时却不断被压缩。［4］所以，不少高等学校压缩了“复变函数论”的课时，比如：闽江学院数学系的“复变函数论”总课时为48学时，导致授课教师在平时的教学实践环节中对部分知识内容略讲或者干脆让学生完全自学，使得学生很难跟上授课进度。针对“复变函数论”课程的上述特点，为了确保部分学生进行更深入的学习，同时满足大部分学生毕业后从事各项工作（特别是中小学教学）的需要，在授课过程中基本不能动摇“复变函数论”课程的三部分主要内容。同时，由于各大高等院校不断增加招生指标，导致学生的学习能力良莠不齐，传统的千篇一律的授课方式必然引起“优秀学生感觉过于简单，而落后学生又甚感困难”的现象。［5］
三、“复变函数论”课程教学改革的模式
（一）合理安排教学内容
教学改革是为了适应高等学校扩大招生规模后提高教学质量的一大举措。［1］由于“复变函数论”课程始终是以解析函数作为首要研究对象，因此该课程的章与章、节与节之间均相互联系和渗透。近年来，各个高等学校招生规模不断扩大，高校学生人数迅速增加，专业教师的教学模式与学生的学习方法无疑应该进行相应的改变和革新，那么势必要求在实践过程中主讲教师的教与学生的学必须营造一个较为活跃的互动课堂氛围。［1］在前期课程中已经学习过的相关内容（如复数的定义、表示方法和运算性质以及极限、连续、导数、积分和级数等）可以略讲或不讲，适当地留给学生作为课后自学或研讨内容，主讲教师只要通过练习和作业检查学生对这一方面内容的学习和掌握程度即可。［3］因此，任课教师在讲授教材中的第一章“复数与复变函数”时，可以只重点讲解复数的模与辐角、复数在几何上的应用、Jordan曲线以及复球面与无穷远点；在讲授第二章“解析函数”时，可以只重点讲解解析函数的定义、充要条件与初等多值函数，而略讲导数与微分、初等解析函数；在讲解第三章“复变函数的积分”时，往往略去柯西古萨基本定理的证明等。当然，由于课时的限制和专业特点，我们的教学大纲也略去了“解析延拓”和“调和函数”两章的全部内容。
为了提高并促进学生对该课程的学习兴趣和树立远大的学术志向，主讲教师在课堂教学中应该结合自己或他人的科研工作，适当地将与其相关的前沿研究成果以及在相关领域中的实际应用情况介绍并推广给学生。［1］例如：主讲教师在讲授解析函数的零点概念和幂级数展开式的内容时，可以分别描述著名的Riemann猜想产生的背景知识和Bieberbach猜想以及它最后被DeBrange解决的经过；［1］在讲解亚纯函数的概念时，可以介绍我国著名数学家杨乐和张广厚对其所做出的卓越贡献以及在国际上所处的地位；［6］在讲解重要的辐角原理内容时，可以简单介绍它在物理学的电学中的广泛应用。同时，可以偶尔介绍“复变函数论”课程中的一些定理由来或数学家的相关奇闻异事以及有关背景小故事，［1］以提高学生的学习兴趣。如在讲授柯西积分定理时，可指出定理的整个发展过程；在上课之余，可以介绍“无理数的由来”以及“数学黑洞”的含义，等等。
（二）合理运用类比联想法进行教学
在实践教学过程中，如果主讲教师能恰当地运用类比联想法教学方式，能够在一定程度上培养学生使用旧知识的能力和提高学生探索新知识的积极性。由于“复变函数论”课程主要是以解析函数（类似于实变函数中的区域内的导数）为研究对象，并且系统地研究了解析函数的基本性质、定理及其相关应用，同时又因为“复变函数论”作为“数学分析”的后继课程，其中的许多概念、性质和定理都与“数学分析”中相应的概念、性质和定理相似，因此在平时的授课或者指导学生学习“复变函数论”课程的过程中，可以先通过对“数学分析”中的实变函数的有关知识进行回顾，合理运用联想类比法教学，对“数学分析”中对应的知识内容进行进一步解释或提升，从而引出“复变函数论”课程的相关新内容，以便学生充分地理解并掌握知识方法及其应用。比如：该课程中复变函数与实变函数的二元函数的极限概念的形式基本一样；复变函数和实变函数中一元函数的连续与导数定义在形式上是一致的，可见微分学中大部分求导基本公式都可以平行推广到复变函数上，但也要特别注意自身发展的不同之处；复变函数和实变函数的函数项级数的概念也没有太大的变化。当然，“复变函数论”课程还有很多知识内容能够从“数学分析”中的相应知识内容加以平移或推广。另一方面，“复变函数论”课程自身的内容之间也同样可以通过类比或联想法来加以有效学习，以便学生能够更加整体地把握好这门课程的主要内容。比如：作为“复变函数论”课程主要研究对象的解析函数，在整个授课过程中至少给出六个充要条件；解析函数的泰勒（Taylor）展式是其洛朗展式的一种特殊情形，但是解析函数的无穷可微性已经把洛朗级数的展开条件减弱了许多；柯西积分公式也是留数理论的一种特殊情形，因此很多复变函数的积分问题既可以用柯西积分公式来计算，也可以用留数理论进行计算。
教学实践结果表明，运用类比的教学过程能够培养学生的创造性思维，通过联想的教学过程能使学生复习并巩固“数学分析”的重要基础知识，同时也能掌握复变函数与实变函数不一样的地方，进而激发学生探索新知识的主动性与积极性。［7］
（三）合理运用多媒体教学手段，提高课堂教学效率
为了提高课堂教学效率，在具体的实践环节中应该合理并充分地运用多媒体作为辅助教学手段。由于通过传统的板书讲解会浪费很多的课堂时间，与目前课时相对较少的普遍情况相冲突，而如果整个课堂均用多媒体进行教学演示，那么多数学生会跟不上教学进度，因此多媒体和板书相辅相成、有机结合，既能使教师在有限的课时内完成基本内容的教学，又能尽量使学生的思维基本与上课进度保持一致。如一些结论性或纯文字性的内容（包括概念和定理等）或者需要通过图形讲解的知识就应该用多媒体的形式显示，而传统的板书教学方式主要是应用在那些具体证明或者详细演算方面，既保证了上课的质量，又提高了学生的学习积极性和课堂教学效率。［5］因此，“复变函数论”课程的主讲教师在教学实践环节中应合理且更有针对性地补充几个常用的数学软件（如Matlab、Mathematica等），更形象生动地展示教学内容并激发学生学习该课程的积极性。借助Matlab和Mathematica等常用软件的强大功能，可以画出复变函数的清晰图像，让学生通过图像更直观地理解相关的知识。
此外，随着信息技术的不断发展，各高等学校的网络教学平台也相继建立使用并逐步完善。因此，教师在具体授课过程中也可以利用现代网络技术，在学院的网络教学平台上充分建设“复变函数论”的网络课程，将教学大纲、教学日历、教学课件及其相关内容等学习资料上传到网络教学平台的课程网站上，供学生访问学习，从而建立更广泛的师生互动交流平台。
四、结束语
教育部对新升本科院校的办学路线以及发展形式的重新定位，对课程教学模式的改革提出了越来越严峻的挑战。笔者作为“复变函数论”课程的主讲教师，综合学生的学习特点、课程内容以及自身的教学实践，对“复变函数论”课程教学模式的改革提出了几点建议，以期提高“复变函数论”课程的教学质量和课堂效率，［5］使学生掌握比较扎实的专业知识并且灵活加以应用，为当前所提倡的应用型人才的培养添砖加瓦。
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参考文献］
［1］刘小松.高师院校《复变函数》课程的教改［J］.湘潭师范学院学报（自然科学版）， 2007（4）.
［2］马立新.“复变函数论”教学改革的探索［J］.廊坊师范学院学报（自然科学版），2011（3）.
［3］张继兵，高云柱.关于“复变函数论”课程教学改革的思考［J］.吉林农业科技学院学报，2013（4）.
［4］谷群辉，郑洲顺，何勇等.本科应用数学专业复变函数课堂教学方法的改革与实践［J］.数学理论与应用，2002（4）.
［5］郭秀凤.复变函数课程教学改革探讨［J］.科技信息，2014（8）.
［6］唐笑敏，刘太顺，胡璋剑.高师院校复变函数课程教学改革的探索［J］.大学数学，2011（1）.
［7］李志艳，严树林.《复变函数与积分变换》的几点教学思考［J］.佳木斯教育学院学报，2012（6）.
［8］钟玉泉.复变函数论（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2013.