江苏海安县教师进修学校附属小学（２２６６１１） 王向红
［摘 要］“面积”教学主要涉及面积和面积单位的概念与意义，及长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形等平面图形面积的计算，是小学中年级数学进行几何初步知识教学、建立空间观念的重要内容，具有特别重要的承上启下的建构意义。因此，教师要在教学中创新设计，提高学生学习和掌握知识的水平，促进他们空间观念高效、快速、可持续的发展。
［关键词］数学教学 面积 创新 举措
［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（201５）08-048
“面积”教学是小学中年级数学进行几何初步知识教学、建立空间观念的重要内容，是由长度一维向两维发展的转折点，是对于面作数值计量的重要体现，为立体空间的考察、研究奠定基础。因此，“面积”的教学具有特别重要的承上启下的建构意义，需要教师在教学中创新设计，强化基础知识教学的落实。
“面积”教学主要涉及面积和面积单位的概念与意义，长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形以及圆形等平面图形面积的计算。它以点、线、角的知识为基础，与图形的对称、旋转、平移、密铺等运动变化的知识相交织。
一、强化“面积”概念的理解性教学
应当承认，学生初次接触“面积”概念时，一般都不容易理解“面积”是怎么一回事，这是由于“面”的概念是个基础性概念不需要说，而且也不易说清楚。加之，“面积”定义中主要指的是平面——可无限延展，但不排斥有限范围的物体的表面——曲面，因为需要包容和兼顾其后涉及圆柱侧面积、圆锥漏斗等展开的面的计算，所以定义“面积不涉及曲面”，将会使后面的圆柱体、圆锥体等表面和侧面的面积计算不能自圆其说。所谓“面积”，其实就是有限部分面的大小。衡量面的大小，并用数值表达衡量的结果就是其面积。
在“面积”表述的这个“面”中，含有两种情况：一是物体的表面与平面封闭图形有限部分的面；二是有长度、宽度，无厚度。在实际教学中，不少教师把握不住“面积”这一实质，往往过多地让学生进行手摸物体表面、比较两个物体表面大小的操作探究活动，以此来代替对“面积”的意义抽象、概括和归纳的解读思维。加之，有的教材不出现“面积”定义的明确结语，师生在教学中缺乏依据及多数课堂忽视“面积”定义形成的思维过程，导致学生对于“面积”概念不甚了解。
课堂教学中，教师可以让学生多举出对于面的理解的实例，然后运用多媒体投影，生动形象地呈现这些生活现象，如卷席子、剥橘皮、擦黑板、扫地面、泼墨涂色、观察水面、铺地砖、刷墙壁、压路机压路面等，以此强化学生对于面的感知，使他们积累生活经验，夯实知识基础，牢固支撑对于面和面积的理解。在“面积”教学中，教师要安排学生强化“面积”单位意义的体验，这需要一个有序的发展过程。
１．让学生产生“面积”单位这一概念的自我需要
课堂教学中，教师可以让学生对给出的一个个待测范围有限的面，自己直接说出其大小，使之发现和运用中介替代物来计量。如教师提供方桌、文具盒、芭蕉扇、磁盘和邮票等常用物品，让学生想办法说出这些物品表面的大小。学生纷纷回答：“黑板有一或两个方桌面的大小。”“黑板面有教室门般的大小。”“课桌面有七八本课本封面的大小。”“课桌面有一二十个信封的大小。”“书本面约有三四块瓷砖面的大小。”“书本封面有几十张邮票面的大小。”……
２．让学生关注自己所说进行优劣的比较评价
通过群体评价，使学生明白以下三点：（１）覆盖排列时应当正好密铺——不重叠、不留空隙，就像点数物体个数一样，要依次不重复、不遗漏地有序数过；圆形、芭蕉扇面作为比照对象不可取，不可能实现密铺。（２）长方形作为比照对象时，在两条相邻的边上衡量的单位长度不一致，实际使用不方便，只有正方形最合适。（３）在确定单位面积的形状后，引导学生明确面积单位与基本长度单位之间的联系，由此根据基本长度单位厘米、分米、米，推导出面积单位可以分别用边长为１厘米、１分米、１米的正方形来衡量，并分别出现１平方厘米、１平方分米和１平方米的面积单位名称。
３．认识“面积”计量由动手摆量走向动脑计算
也就是说，通过分别测量长度，了解竖直方向与水平方向可摆多少个面积单位，再计算出它们的乘积，以此得知一共可以摆满多少个面积单位，就得知待测面积有多大了。这就实现面积计量策略的根本性转变，由摆铺面积单位的手“量”走向了脑“算”，使得面积计量过程变得便捷、简单。另外，课堂教学中，教师可让学生观看革命斗争影视片，重点让学生观察土改分田工作组拿步弓和算盘丈量土地、测算土地面积的画面。
二、显露“面积”计算的共同性关联
１．显露“面积”计算中的基本算法思想
因为图形面积的计量不论形状如何，其实都是算出竖直方向和水平方向各有多长来求其积。课堂教学中，教师要把这一思想贯彻于各种图形面积计算之中，这样不管是长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形，还是圆形，都要想方设法在面积不变的情况下，转化成长方形（正方形）的面积计算方法，即二维长度求其积，其基本的计算方法都是乘法。在各种图形面积计算教学中，这一思想应当一以贯之的凸显。
２．凸显计算公式中共同的乘法运算
教师应当从几种图形面积计算公式的不同表达中，让学生找出和发现公式中基本是乘法运算这一共同点。如要把三角形和梯形面积计算公式中出现的加法与“除以２”，都作为在某一方向（比如水平方向）求取确认数值，通过取均值，以获得正如我国古人所说的“半广”和“半高”。最终，这些图形面积公式基本的计算方法仍然是运用两维长度相乘求积。圆形也一样，实际上是将半径与半周相乘求积。
３．揣测“面积”概念和名称的来龙去脉
课堂教学中，教师可通过对图形的剪拼、割补来实现图形的等积变形，帮助学生理解“面积”概念的实质。同时，正因为面积计量都是借助二维长度算其乘积，这就规定了共同的基本计算方法是乘法，结果都是积，是对于面大小的计量数值，所以叫做“面积”。这样教学，既引导学生加深对“面积”概念及其命名来由的理解，又使学生掌握了其中的来龙去脉，用以突出对各种图形面积计量中共同点的把握，提高课堂教学的效率。
三、突出图形“面积”的发展性延伸
平面图形面积计算的教学，需要引领学生的知识学习和空间观念建立不断拓展，在面积计算中积极实现发展性延伸，以获得可持续的发展。这就要求教师从改革创新教学出发活用教材，抓好“面积”计算教学中的几个改进性举措。
１．密铺知识教学适当前置
教学“面积”的计量，起初需要让学生用具有一定面积作为单位的替代物来度量待测面的面积。“面积”度量操作时应当实行密铺，使得每次摆放与下一次摆放都能覆盖待测面，要求不重叠、不遗漏，这与点数计数不重复、不遗漏的要求其实是相通的。而小学数学中的“密铺”概念在这之前并未出现过，虽然学生凭生活经验可以接受和理解，但是从知识安排的序列逻辑要求出发，还是应当事先予以交代，做好铺垫为宜，这是“面积”度量操作学习中存在的一个小小缺失。因此，“密铺”教学可以提前到“面积”概念出现前，至少要在教材中做好渗透处理，免得出现时学生觉得突然。而且，在这里安排“密铺”教学，才会让学生体会到学习密铺知识的实际意义。教师可于此适时提及，也可在后来再教学密铺知识，免得学生感觉知识出现突如其来，不知就里。
２．等积变形操作务求落实
我们知道，关于图形面积计算方法的推导教学，一般课堂对投影课件演示图形变化很是注重，这往往是把学生放在观察者的地位上。其实，课堂教学中，教师应当加强学生对图形变化的自主操作，强化其切身体验。因此，图形计算的推导应当坚持让学生亲自动手操作，通过折纸、剪割、拼摆等方式，让学生独自进行图形等积的变化。学生在自己动手中必然会思考“如何动手”“为什么要这样做”“出现的图形有何变化”“说明了什么”等问题，这就是自悟面积公式的推导过程，促进学生加深体验和理解。笔者以为，课堂教学中的课件投影虽然其观赏性较强，但是它显示的是教师的工夫，是工具形式的新颖，论起它对学生的接受效果而言，远非亲自操作所能比较的。因此，在“面积”教学中，教师应注重培养学生图形变化运动的操作技能，不应当把工夫花在提高课堂教学的观赏性上。
３．图形转化思路多途打通
在多种平面图形面积的计算推导教学中，教材往往是先安排长方形、正方形的面积计量，再安排平行四边形的面积计算，推导中将平行四边形转化成长方形，然后以平行四边形为基础，将三角形、梯形转化为平行四边形，最后将圆形转化为平行四边形或长方形。笔者以为，中间设置的平行四边形面积计算可以略化，突出长方形面积的计量，三角形和梯形都可以转化成长方形来完成面积计算的推导。而且，进行了如此的有序推导后，教师要在阶段复习中着意安排学生进行自我探究，任其随意推导，探究新的推导思路。比如，将各种平面图形都转化为三角形或者梯形，推导出各自的面积计算公式，这里教师可以放手让学生自由探究。又如，可以引导学生通过折三角形纸片，将三个内角拼成一个平角，这样三角形纸片就变为双层的小长方形了，其中的长和宽分别是原三角形底与高的一半，面积的推导就不难借助算式变形实现了。事实上，各种基本平面图形都是可以相互转化的，教师要让学生通过动手操作，实行多通道、多途径的图形灵活转化，而不是局限于教材的一种固定思路，这对培养学生思维的灵活性、独创性很有价值。同时，这样教学，可大大深化学生对面积计算方法的理解，提升学生对数学知识的掌握水平。
４．公式理解运用灵活发散
对于各种基本平面封闭图形的面积计算公式的理解，其核心是乘法，是两维长度求其积。要让学生真正理解这一点，教师可以在几个教学环节中精心凸显一些细节的安排。如：（１）圆形可以写成半径与半周相乘的形式。（２）对三角形和梯形面积计算公式中的“加法”与“除以２”，相对于基本核心计算的乘法而言，属于另类计算。这里要说明是为了取得一个方向上长度的平均值，属于基本核心计算方法的先导和辅助部分。（３）对于公式中“除以２”的部分，应当引导学生突破固化的理解。“除以２”，不总是理解为将平行四边形面积除以２，可以是将底长除以２，为求底的一半，即“半底”（古人称为“半广”）；或者是将高除以２，求高的一半，即“半高”。“除以２”这一部分，在公式中可以前后灵活移动的。（４）要通过对公式中“除以２”部分的灵活移动变形，赋予意义的灵活理解，再现实际对应的图形形象，以强化图形的运动和变化观念，培养学生的空间观念。
如果平面图形面积果真能够如此教学，将会大大提高学生对知识的掌握水平，促进他们空间观念高效、快速、可持续的建立与发展。
（责编 蓝 天）