江苏常州市实验小学（213000） 张祖润
［摘 要］数学教学需要理性把握数学学科的本质，正确引导儿童认识数学内容的真实面目，关注儿童在数学学习中的过程获取，注重儿童在数学思维上的品质提升，让儿童学会数学化的探究方式，学会基本的思维方式，感悟基本的数学思想，感受数学文化的美妙，寻觅数学理性的力量。
［关键词］数学理性 本质 过程 思维 精神
［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（201５）02-008
数学，最为重要的特征就是数学的抽象性，概念、判断、推理是数学学习和研究的最基本的思维形式。对于儿童，理性的数学就是让儿童学会用数学的眼光认识世界，探索数学规律，总结数学方法，形成数学思想，提炼数学精神，并从上述活动中得到经验的累积、思想的深化和心灵的升华。数学教学的内涵比较丰富，主要包括问题、语言、方法、思想等，数学教学需要通过正确的路径引导儿童把握数学学科的本质，让儿童正确理解数学概念，准确领悟数学思想方法，感悟数学特有的思维方式，提升对数学美的鉴赏，进而上升到追求数学的理性精神。也只有这样，才能凸显出数学课程的价值。
回到当下，许多教师在备课时往往先思考这样一个问题：“这节课设计什么活动让学生探究比较合适呢？如何变换教材中的问题情境才能更贴近学生的生活实际呢？”这些教学思考看似将新课程改革理念予以落实，其实容易陷入“只关注数学学习的表面形式，而忽略数学本质的理解”，没有真正关注数学教学的目标价值。数学教学应该依据数学的学习内容和学生学情准确确定教学的目标价值，然后才考虑通过什么样的“探究活动”来实现教学目标。其次，数学学习材料中有大量便于学生进行操作的内容，许多教师便十分关注学生“动手实践、自主探索、合作交流”的活动组织，针对某一知识概念，为操作而操作，为活动而活动，并不计量操作活动的量与度的价值。再者，数学教学的核心价值在于提高儿童的数学素养，这种数学素养主要体现在“基本的数学知识与技能”的掌握与“数学的思考方式”的形成上，且以“数学的思考方式”为重点，许多课堂教学便十分关注某一数学内容在生活中的原型，引入生活现象的支撑，这是必要的，但数学具有理性的内核，数学不等同于生活，浅层次的链接或简单的叠加容易忽略了这一内容在生活中的合理性与真实性，从而淡化了学生对数学理性精神的阅读与理解。
理性的数学课堂需要教师提升对数学本质的理解与把握。因为有什么样的价值观就有什么样的行为方式，有什么样的行为方式就有什么样的行动结果。作为数学内容的本真意义，就需要我们对具体内容进行深入挖掘，层层追问。隐藏在客观事物背后的是什么数学规律？这个数学知识的本质属性是什么？统摄具体数学知识与技能的数学思想方法是什么？让无数次的叩问逼近数学的本质，让教学的张力在本真意义的统领下变得饱满起来。
一、寻觅数学知识中的“理性精神”——向儿童展示数学结果的本真面目
建构主义学习理论认为，学习是儿童主动的建构活动，学习应与一定的情境相联系。基于这种教学理念，很多教师总喜欢在课堂上营造一些数学教学情境，但这种情境一般过于注重数学知识的外在形式，不能触及数学知识的本质。而数学知识的本质，它是一种过程，更是一种创造，是一种积淀，更是一种传承，是一种自由，更是一种矛盾。
【案例】“圆的周长”教学片断
师：“周三径一”是我们祖先在长期的生活实践中总结得出的，现在我们一起去认识它。
师（播放课件）：这幅图中有哪些图形？
生1：圆。
生2：六边形。
生3：正六边形。
……
师：正六边形的周长和直径的比值是几？这和我们刚才所了解的“周三径一”的结论是一样的。比较圆和正六边形的周长，有什么发现？
师：注意观察，现在我们把圆平均分成了多少份？（12份）连接圆上这12个点，会是个什么图形？
生4：正十二边形。（课件展示：连接12个点，成为十二边形）正十二边形的周长和正六边形的周长相比，谁更接近圆的周长？
生5：正十二边的周长更接近圆的周长。
师：如果继续分，得到二十四、四十八边形，又是怎样的？我们就这样一直分下去，你会有什么发现？
生6：分得越多，多边形的周长就越接近圆的周长。
师：那么，正多边形的周长和直径的比值就越来越接近——圆的周长和直径的比值。
（多媒体显示：刘徽用“割圆术”求圆的周长和直径的比值，计算到正九十六边形时，得到这个多边形的周长和直径的比值是3.1416（将板书c/d=3改成c/d=3.141））
师：我们一起来感受一下祖冲之的研究过程，在这样一个大圆里,祖冲之分割出正12288边形。这个多边形每条边的长度是0.852毫米。虽然如此，祖冲之并没有停止，他继续分割,得到正24576边形,每条边的长大约是0.4毫米……这时，多边形和圆会怎么样？
生7：会贴得很紧。
师：求出的多边形的周长和直径的比值就会——
生8：非常接近圆的周长和直径的比值。
师：请同学们大声读出祖冲之的研究成果。
……
儿童阅读数学知识、习得数学技能时，他们是多么渴望知道数学知识的来源，了解数学知识的本来面目，想探索数学知识存在的原因是什么、产生的过程又是怎样的，从而触摸到数学的“理性精神”。因而数学课堂应该极力让儿童触及数学概念的本质，感受来源，体验产生过程，感受数学的博大与前人的情怀。教师借助画图软件呈现刘徽割圆术，用多媒体播放祖冲之的伟大成就，引领学生了解圆周率的探索历程，充实了数学活动的内容，拓宽了学生探索的空间。学生通过观察、联想、猜测、推理，在了解知识的本来面目之后，感受到数学中的极限思想，体悟到数学研究的魅力。感受发现圆内接正多边形的边数越多，正多边形的周长越接近圆的周长，正多边形的周长与直径的比值越接近圆的周长与直径的比值，圆周率的探索活动，既是一种领悟数学思想方法的过程，更是一个体验数学理性精神的过程。
作为小学数学教师，应该深刻理解小学数学的知识体系，能够从数与代数、图形与几何、统计与概率、实践与综合应用等方面通晓小学数学全部的教学内容，逐步了解各部分渗透的数学思想方法，避免顾此失彼。斯苗儿老师曾经说过：“一些课上得不好的原因不在于方法和技巧，而是教师本身的数学功底。”因此，我们应该做到从整体上把握教材，认清教材的特点，理清教材的思路，梳清教材的脉络，从整体上构建教材的数学思想的立体框架。在研读教材时，要多问自己几个为什么，如：怎么样才能引发学生进行深层次的数学思考？如何引导学生主动探究新知识？怎样根据教材的编排意图适时地渗透数学思想方法？……努力让数学课本上看得见的思维结果折射出看不到的思维活动过程，弄清新知识的形成过程，将教材的编排思想内化为自己的教学思想，找准新知识教学的生长点。
二、寻觅过程体验中的“理性精神”——向儿童呈现数学成长的本真价值
数学的理性精神往往沉积、凝聚在数学结论的背后，常常渗透在儿童获得知识和解决问题的过程中。著名数学家波利亚认为，学习任何知识的最佳途径，都是由自己去发现、探究，因为这种理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。我们应该有效地引导儿童经历知识形成的过程，让儿童在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，体验到知识背后所承载的方法、蕴涵的思想。只有如此，儿童所掌握的知识才是鲜活的，这样的学习才是充满智慧的学习，儿童在经历思想观念的过程中去感受和理解数学思想，从而对数学知识的理解超越机械的水平，达到理解和领悟的水平。
【案例】“两位数乘两位数的笔算乘法”教学片断（2014年江苏省小学数学优课评比一等奖）
1.创设情境，产生问题
师：秋天到了，果园丰收了。小熊帮妈妈搬迷你南瓜，你看到了什么？
师：现在一共有多少个南瓜？会说一个算式吗？（ 24乘2等于48个）小熊继续搬，现在有几箱啦？有多少个呢？
师（出示例题图）：小熊还没搬完，它又搬了2箱，现在一共有多少个呢？
师：这个问题怎么解决呢？会列算式吗？我们需要算一算。
2.思考算法，体悟多样
师：你想怎样算？会把自己的想法写下来吗？（展示生的不同算法）
师：给大家介绍一下，你们是怎样算的？（师在生解释的过程中将对应的图圈一圈）
师：同学们真会思考，想到了这么多算法，而且都是转化成以前学过的知识来解决的！
3．主动尝试，建构竖式
师：今天，我们再一起来学习两位数乘两位数的笔算，这个竖式会算吗？先算什么？联系我们以前学过的两位数乘一位数的笔算想一想，再拿出作业纸试一试。
（生尝试继续算，师巡视收集典型的写法）
师：仔细观察，这两个竖式都对吗？
师：第2个竖式对吗？它是怎样算的呢？在小组里讨论。
生1：用10乘24，得到240，再把48和240加起来，得到288。
师：用十位上的1乘24，得到24个十，也就是240。
师：再来看刚才这个有问题的竖式，你知道错误原因是什么吗？
生2：24的位置写错了。
生3：24的位置写错了，用十位上的1乘24，得到的是24个十，这样写变成24个一了！
师：那这个24应该放哪呢？
生4：放在百位和十位。
师：按照大家的建议，我把它往前移，相同数位相加，得到288。（把错误的竖式改正确）现在它表示的也是24个十了。所以这两种竖式的写法都是对的。为了书写简便，这里的0我们一般省略不写。记住这位新朋友了吗？
4．回顾算法，比较沟通
师：回顾一下研究过程，先分三步口算出了24乘12的得数，再用竖式计算出结果。比较一下，你发现了什么？
生5：我发现它们的过程都是一样的，先算出48，再算出240，最后把它们加起来，就是288。
师：是呀，48求的是2箱的个数，24个十求的是10箱的个数，把它们加起来，就是12箱的个数。原来它们的计算道理都是一样的，只不过一个是分步算式，一个是竖式形式，都是求几个几加几个几十。你们觉得哪一种更方便？
生6：用竖式比较方便，口算的三步写起来比较麻烦。
5．联系生活，内化算理
师：好学的小熊也学会了笔算，他还帮妈妈解决了一个问题“妈妈买21瓶蜂蜜，每瓶23元，一共多少元？”
师：小熊不知道自己算得对不对，我们可以帮他验算。（生独立验算）
师：这时候它的小伙伴跳跳虎来了，他可看不懂这个竖式，每一步求的是什么呢？你能跟跳跳虎说说吗？
离开数学本质的数学课堂教学，不管多么华丽，都是形式主义，不仅不利于学生数学素养的养成，更为严重的是会阻碍学生数学思想和数学思考的形成。面对逐渐走向理性化的数学课程，既要让课堂体现生活化、情境化、趣味化，又要让学生学习真正的数学，发展数学思维。案例中，教师放手让学生独立尝试，在尝试的过程中，学生自觉地把新知转化为旧知，自主解决了新问题，逐步感受到用转化解决问题的数学思想方法。让学生联系已有的两位数、三位数乘一位数的笔算经验，自主探究竖式的计算过程，引导学生在交流中去发现、思索、比较、领悟，通过旧知迁移“用个位上的2乘24”，自主生成“用十位上的1乘24”。再通过典型资源的收集，竖式的对错辨析，从而理解第二部分积的定位，帮助学生突破本课的知识难点，在理解算法的基础上，进一步感受竖式的优化。同时在教师的引导下，学生发现了竖式计算与横式计算之间的联系与区别“计算方法相同，计算原理相同，书写形式不同”，既沟通了算法算理的关系，又突出了两位数乘两位数的本质，使学生理解了两位数乘两位数的算理。在巩固练习中，充分利用学生的已有生活经验，再将竖式的计算过程与生活情境联结起来，让学生在情境中加深对两位数乘两位数算理的理解，体会到学习数学的价值。同时也使学生进一步感悟整数乘法的核心要素，培养了学生的数学理解能力。
三、寻觅数学思维中的“理性精神”——向儿童显现数学思考的本真内涵
数学的本质是要学会数学地思维，在数学学习的过程中要引导儿童将思维不断激发、将思考不断深入，应该引导儿童由“学会数学地思维”向“通过数学学会思维”的方向发展，关注儿童数学思维中的“理性精神”，设法改变儿童的思维方式，正确将儿童引向数学思维中的“理性精神”，让学习与思考共随，让方法与精神同存，及时优化思维方式，在思维中体会数学的巨大力量，直抵数学的本质。
比如在一年级教材中，会出现这样的习题：
6－□＞4 12＞4＋□ 6＋□＜ 10
7 ＜15－□ □＋8＜13 10＞5＋□
虽然这些题目只是要求在空格中填进一个合适的数，但教师应该明白，若把□换成x，则上面的题目就变成了不等式，这时x就是一个变元符号，就会有一定的取值范围。这一个“位置占有者”的作用就会凸显出来。因此可以引导学生思考、讨论这样的问题：□内最大能填几？最小呢？最多能填几个数？同样，在此基础上还可以进一步深化：□＋○＜7，可以填些什么数？这样的处理更好渗透了符号变元这一数学本质，教学内容的思维价值也显露出来，能够更深层次地引导学生进行数学思维，从而获得思想的发展与提升。
【案例】“认识整亿数”的教学片断
师：同学们，最后做一个游戏。我们今天来玩一个“变数游戏”，这里有一个数字卡片2，如果放到数位顺序表这个位置，表示多少？
生1：2000000000。（师对准数位顺序表板书）
师：你也能像老师这样放一放，变出一个数吗？看谁变得多。（展示若干不同的数据）思考一下，同样一个2，为什么会变出这么多不同的数？
生2：在不同的数位上表示的大小也不同。
师：数学上一共有10个数字，如果这10个数字放到这么多的数位上，能组成多少个数呢？（无数个数）这正是数字的奇妙之处，也是数学的奥秘所在。
师：刚才放了这么多数，最大的数是200000000000，除了千亿，我们知道还有比它更大的计数单位，但你有没有想过计数单位除了“个”外，会不会还有比“个”更小的计数单位呢？
生3：我觉得应该有，在个位右边应该还有比“个”更小的计数单位。
认数背后有“理性精神”吗？认数的本质是什么？儿童为什么要认数呢？为什么要有计数单位呢？十进制的原理价值在哪？刘加霞老师指出学习自然数的两个核心价值：进制和位值制。同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的“位置值”的值也不同。案例中巧妙的变数游戏让学生初步感受到位值原理的价值，感受到数学的神奇与伟大。计数单位的左延与右拓，给予学生思考的空间，从精神的源头赋予探索的方向，让学生主动将思维的触角指向数学的背后，努力去思考数学知识中所蕴藏的价值力量，感受“认数知识”后的精妙的“理性精神”。
数学有一种“自我生长”的力量，一步步推理，客观、冷峻、严密，仿佛她不依靠人类的探索，而是一直守候在那里，等着被人们发现。我们的数学课堂就应该让儿童去感知数学那特有的眼光和素养，回归到数学的思想、方法、精神等特质上，触摸数学的“理性精神”。微风人独立，蓦然一回首，那数学的“理性精神”将永存儿童心间。
（责编 金 铃）