江苏如皋高等师范学校（２２６５００） 纪 祥
人类拥有极高的智慧和丰富的思维能力。凯尼曼教授和他的同事特维斯基通过调查分析发现，人类并不能时刻保持思维清晰，当面临不确定因素时，人类通常不会先去分析那些信息，或查找相关的数据，相反，他们更倾向于通过自己的直觉去判断所面临的问题，而最终的结果证明他们往往是错的。下面的故事可以充分说明凯尼曼他们的发现。
在一个有５０个学生的班级，美国斯坦福大学商学院的数学教授库珀和他的学生打赌：“我用５美元打赌，你们中至少有两个人同月同日生。有人敢跟我赌吗？”
“我赌！”几个男学生举起手来，另外七八个学生也掏出５美元扔在桌子上。有的学生暗想：一年３６５天，我们班只有５０个同学，同一天生日的可能性也太小了，库珀这不是白送钱吗？
结果怎么样呢？当然是教授赢了。教授用数学方法计算出５０个人中没有两个人同一天生日的概率只有３％，而至少有两个人同一天生日的概率就有９７％，也就是说，教授赢的把握足足有九成以上。
凯尼曼教授最重要的成果是关于不确定情形下，人类如何作决策的研究，他证明了人类的决策行为如何系统性地偏离标准经济理论所预测的结果。那么凯尼曼心理学对概率教学到底有哪些影响呢？
一、代表性启发的偏差
事实上，人们总是不自觉地根据已有经验和规律，为各类事物塑造了它们各自的原型。该原型具有本群体的最典型特征和最大代表性，做决策时，人们往往是将事物与各个原型相对照，一旦对照匹配相似，就将其归入该原型所代表的范畴。由代表性启发法造成的认知偏差基本就表现在以下几个方面：对基率或者先验概率敏感性低；结合效应和小数法则。
凯尼曼教授论证了在不确定情形下，人们在对事物的判断上出现的一个基本偏差就是，人们应用小数法则，把从小样本和大样本中得到的经验平均值赋予相同的概率分布，因此违反了概率论中的大数法则。
经常可以看到学生有以下的错误：在掷硬币活动中，如果前面７次得到的结果都是正面，那么第８次的结果会如何？许多学生会认为结果更可能是反面。这种认识上的偏差就是应用了小数法则简单地认为：８次试验中应该是４次正面和４次反面，现在已经知道前７次是正面，那么第８次出现反面的可能性就大了。其实大数法则是指在随机试验中，每次出现的结果不同，但是大量重复试验出现的结果的平均值却几乎总是接近于某个确定的值。其原因是，在大量的观察试验中，个别的、偶然的因素影响而产生的差异将会相互抵消，从而使现象的必然规律性显示出来。大数法则中强调试验次数的大量性，在很少的几次试验中，规律不一定显现出来，也就是说，８次掷硬币试验中结果未必是４次正面和４次反面。
在教学过程中，教师有时也会不经意用到应用小数法则。例如，为了向学生解释“游戏的公平性”，在课堂上组织了摸球的游戏（学生在装有４个白球、４个黄球的袋子里重复摸球３０次）。１０组学生汇报的白、黄球摸到的结果分别是：（１５，１５）、（１７，１３）、（１２，１８）、（１１，１９）、（１５，１５）、（１６，１４）、（１１，１９）、（１２，１８）、（１７，１３）、（１５，１５）（数据中的前一个数是白球被摸到的次数，后一个数是黄球被摸到的次数）。在最后总结结论时，教师却只将其中的三组（１５，１５）的数据写在了黑板上，并向学生提出问题：“通过这个游戏，你们发现了什么？”有的学生说：“白球和黄球被摸到的次数是相等的。”教师很快地说：“通过游戏得到的结果可以说明这个游戏是公平的。”教师对其他小组的实验结果再没有继续讲解、说明。其实我们应该知道：在这个试验中，重复摸球３０次球，未必一定是１５次白球和１５次黄球，这个实验结果发生的可能性是很小的。
小数法则也使得人们易于从一个短序列（小样本）中过分地推断潜在的大样本的概率分布。我们都有过这样的经验：如果一个人能连续几次预测正确，那么我们就会相信他的判断力，并且认为他下次的预测一定是正确的。
在实际教学过程中，一位三年级教师在讲解“可能性”一课时，把学生分成４人一组，每组有３个黄球和１个红球，每次摸一个球，摸１０次，请学生先进行猜测。学生的猜测结果如下：（６，４）、（５，５）、（８，２）、（９，１）、（７，３）、（１０，０）六种。操作结果情况如下：（８，２）、（７，３）、（８，２）、（７，３）、（５，５）、（７，３）、（８，２）、（５，５）。在课堂实验结束后，教师提出问题：“谁的猜测是对的呢？”显然，有两组实际的结果是（５，５）。在实际数据面前，教师不得不承认（５，５）的估计也是很准的。事实上，教学中所用的实验方法“每人做１０次、２０次，小组不过百次，全班不过千次”，根据大数定律，试验的次数太小，不一定能说明问题，有时反而把学生弄糊涂了。
教学启示：小学数学应该在一定的情况下渗透大数法则的思想。课堂上每组摸球３０次，１０个人合起来也不过３００次，太少了。这时可以用计算机软件解决这样的问题：“要抛多少次才能判断硬币正面朝上接近１／２？”也可以通过数学史上一些著名数学家的掷硬币的试验结果，说明重复实验次数越多，正面、反面的可能性就会趋向相等。
二、可得性启发的偏差
当人们遇到未知事物没有经验可循的时候，通常会根据该事物可想象的难易程度来判定它的发生概率。例如，从一个２１人组成的样本中抽取２人组织评委会和从一个同样大的样本中抽取１９人组织评委会，问这两种情况的组织方式各有多少种？这个问题让两组被试成员对上述两种情况进行直觉判断，他们都认为：第一种情况的结果要远大于第二种情况的结果。而实际上，由任意两人组成的一个评委会的同时，样本中余下的１９人也就相应地形成一个组织，所以这两种情况下的答案应是相同的。而之所以会有这样大的偏差，就是因为两人的组成情况更容易在我们的想象中进行。
全日制普通高级中学教科书（试验本）数学第二册（Ｂ）（必修）第１３６页阅读教材“抽签有先有后，对个人公平吗？”结论是公平的，但其前提条件是“后抽签的人不知道先抽签的人抽出的结果”，若“后抽签的人知道先抽签的人抽出的结果”，情况又如何呢？对于每个人来说还会公平吗？张齐华教师在一次较大规模的教研活动中，以近１００位数学教师为对象，做了如下两个小测试，其中第一个测试是：两张签上分别写有“有奖”与“无奖”，甲乙两人抽签决定谁能得到奖品。问题：（１）如果甲先抽，然后乙再抽，此规则对乙是否公平？（２）如果甲先抽，并在乙抽之前打开了这张签，然后乙再抽，此规则对乙是否公平？（３）如果甲先抽，打开签后还大喊了一声“我中奖啦”，然后乙来抽，规则对乙是否公平？测试结果显示，随着问题不断推进，选择“规则对乙不公平”的教师越来越多。事实上，这三种规则对每一个人都是公平的，那么多教师选择“规则对乙不公平”，是因为他们认为：甲已经知道自己中奖，再让乙抽，显然对乙不公平。犯错误的教师把问题想得太简单了，他们没有更深层次地考虑问题：甲乙两人依次各抽一张彩票，甲中奖的概率为1/2；当已知甲中奖乙再去抽奖，则乙的中奖概率是０，乙好像吃亏了。但绝大多数教师没有想到假如甲没有中奖，乙再去抽奖的中奖概率是于１，乙占了便宜。“甲中奖”和“甲不中奖”是互斥事件，按互斥事件的和事件的概率计算方法可知，这个抽签方案中乙中奖的概率为
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教学启示：学生经常会依靠直觉来解决一些看起来很简单的问题，这是人的正常心理。教师对于看似简单的概率问题，都存有如此“可怕”的错误，况且尚在成长过程中的学生。当学生被告知他们的答案是不正确时，他们的头脑里一定会出现困惑与疑问，此时教师的工作就是让学生经历复杂的数学思考，经历思维和智力的历险，使他们对数学本质的理解更准确、更深入。
三、锚定启发式的偏差
这种效应是凯尼曼和特维斯基早期在进行关于启发式思维和认知偏差的研究中发现的。在他们的研究过程中，先让接受测试者启动未来之轮（一种上面有很多数字的转盘，这些数字是随机的），并看着转盘上的数字，然后估计另外一个事件（比如，加入联合国的非洲国家）的数量。凯尼曼和特维斯基对结果分析后发现，面对着有较小数字的转盘，受试者估计了一个较小的数量，而面对具有较大数字的转盘，受试者估计了一个较大的数量。
“锚定启发式”是我们在作决策和判断时经常采用的一种方法，即先把自己“锚定”在某个事物上，然后再根据事物的特性进行判断。
例如，掷一枚质地均匀的硬币，随着掷硬币次数的增加，出现正面的次数和出现反面的次数恰好相等的概率又是怎样的呢？我们认为随着掷硬币次数的增加，这个概率是增加的，因为这个事件发生的概率“锚定”在“掷硬币次数越多，正反面出现的可能性都趋于二分之一”上。但实际结果却与学生的判断相反，掷硬币２次时出现正反两面各１次的概率是５０％，掷６次硬币时出现正反两面各３次的概率是３１．２６％，而掷１０次硬币时出现正反两面各５次的概率是２４．６２％，当掷１００次硬币时出现正反两面各５０次的概率却只有大约８％。
有这样著名的测试题：给定三间封闭的车库，主持人告知测试对象，其中只有一间车库里有车，只要猜中，这辆车就归测试对象。假如你就是那位被测人，你选择了Ａ、Ｂ、Ｃ三间车库中的Ｂ，而主持人不作判断，只把剩下两个车库中没有车的一间（至少有一间没车）打开，比如说Ａ，此时，你会继续坚持选择Ｂ车库，还是赶紧换选Ｃ车库？为什么９５％以上的数学教师选择“坚持不换”？因为他们把自己“锚定”在“剩下的Ｂ和Ｃ，中奖概率均为５０％，没必要换”这一判断上。事实上，不换，猜中的概率为1/3；换一扇门，相当于选择了Ｂ和Ｃ两扇门，猜中的概率为2/3。
教学启示：人们倾向于根据留在大脑里的最新信息片断对事物做出决定，而不取决于这个信息是否与事件相关。但我们不能根据这些来武断做决定，而要根据事实做分析。这种根据数学方法分析解决实际问题的能力是学生走上社会面对工作所必需的。学生学习概率的目的之一就是意识到概率和确定性数学一样，是科学的方法，能够有效地解决现实世界中的众多问题，从而逐渐树立起新的信念。
总之，概率与确定性数学有许多不同之处，广大教师必须掌握、弄懂有关概率的知识。同时，教师还必须了解相关的心理学知识，如凯尼曼心理学，这样才能更好地开展概率内容的教学与研究，同时让学习概率的心理体验与理性思考成为解决不确定问题的有力武器。
（责编 金 铃）