浙江杭州市大关苑第一小学（３１００１４） 王 利
“数学是思维的体操”，而要让数学课堂最大限度地开发学生的思维，笔者以为很大程度上取决于学习材料的合理选择与有效使用。我们选用的学习材料，要有利于学生主动地进行思维、猜测、探索、验证和推理等数学活动，让学生经历观察、分类、统计、抽象、概括等数学思维环节，发现数学问题，真正体验“数学地思维”。以下是本人在实际教学中，从研究不同类型的学习材料入手，提升学生数学地思维的一些做法。
一、活用实物图片类的学习材料，培养儿童直观性的数学思维
刚进入小学的儿童对数已有一定的基础，儿童在这一阶段能理解加法，但这并不表示必须通过一定的训练让学生巩固加法计算的方法，并一直到能快速说出得数为止。最应该做的是要想办法让孩子保持主动探索的精神，在数学启蒙的课堂上，不应只重视结果，而忽略了计算结果如何获得的过程。
如：在第一册教学加法“３＋２”时，老师可以事先准备好有数量“３”和“２”的两部分东西，或者提供相应的图片，也可以让孩子自己事先准备，给他们足够多的时间，足够丰富的学习材料，充分思考“３＋２”如何得到“５”。
对于这些学习材料的运用，可以不仅仅停留在看的基础上，还可以进一步发展为摆摆、移移、甚至画画。或者有的孩子会先记得数量３，然后接着往下数２个。这些方法其实都是一种直观地思维，是数学学习里经常会用到称之为“构造事实”的过程，也就是直观形象地思维。但是更多的时候，老师采用的是提取事实，即“提取记忆”的方法来进行的，结果直接凭记忆获得。这样儿童在学习加法的课堂上，由于没有足够的形象支撑，或是实物演示，或是凭借手指，对加法的意义、符号的理解就不会深刻，长此以往不利于学生数学思维的培养和提升。
二、活用游戏活动类的学习材料，让儿童充分感受抽象性的数学思维
对于刚入学的儿童来说，其思维具有从具体到抽象的过程。老师在面对教学一些较为简单的知识点时，要学会对教材进行更深地挖掘拓展。同时可以通过有趣的游戏活动设计让儿童在不知不觉中，充分感受数学的抽象思维。
例如，在第一册教学“１０的认识”时，其实一些知识点，如１０以内数的顺序及大小、１０的基数和序数意义、读写１０，对孩子们来说难度并不大，挑战性不高。对此我进行了如下的设计：
课堂开始，我让孩子相互汇报了事先搜集的关于１０的一些资料，经过一番交流后，让孩子们感受到数学就在身边，和孩子们情感交融。紧接着：
师：同学们，老师这里有一把神奇的尺子，想不想看呢？
生：想！
师：好，看仔细哦，变变变，尺子没有了，变成了什么呢？（展示课件）
生：是箭头。老师，我还发现这个箭头上的数是从小到大排起来的，空格里应该填４、８、９、１０。
师：你观察得真仔细，我们一起来填一填空格中的数。
师：让我们从１０开始往左倒着数一数。１０、９、８……你有什么发现吗？
生：越往左数越小了。
师：是呀，从左往右看，数越来越大；反方向，从右往左看，数变得越来越小了。
那这个１０＞（）；反之，１０＜（）。
（生答略）
将孩子手中的普通尺子抽象为数轴，让孩子在数轴中初步体会越往右数字越大，越往左数字越小的特点。同样，在教学１０的组成这一环节时，可以借助小红花进行分一分，但是孩子的汇报一定是零乱的。这时老师就要引导孩子，每次往一边多移一朵，就不会遗漏且有顺序地将分法思考完毕。然后再让孩子通过抽象记忆，熟记１０的分法。
“挖掘教材”，不是把知识加深加难，而是让学生对知识的理解加深，使学生对数学的思维活动加深。对这个年龄段的孩子来说，数学抽象性的过程是一个逐步要渗透的过程，对他们来说也是富有挑战性的过程。对儿童抽象性数学思维中的一些有序思维、完整思维等品质培养，都要在一定的环节中设计出来，尽量达到“润物细无声”的效果。
三、活用问题类学习材料，引导儿童对数学问题研究从现象到本质的“数学地思维”
在孩子入小学前，学前测试里一般会有类似这样的考题：有两杯一样多的水，现将其中一杯水倒在一个更长的杯子里，请问现在哪杯水多？这道题在大孩子眼里也许觉得非常简单，但是对一个学前儿童，由于他对问题的思考往往受表象干扰，对问题实质的思考能力弱，所以他往往会以直观的结果作为判断结果，同时“哪杯多”的提问也会让他产生一定是其中某一杯多的思维定式。
又如，在第四册第六单元《千克和克》的教学中，有这样一个问题：让孩子们判断１千克的铁和１千克的棉花，谁重？看似非常简单的数学问题，可孩子们的错误率却非常高。在问题开始时，大部分孩子会认为铁重。这样的错误也说明孩子在考虑问题时，是非常肤浅的，会受一些与问题无关的因素干扰。
我认为在数学启蒙课堂里，要引导孩子去除问题表象的东西，真正培养孩子能透过现象看本质的数学性思维。
四、活用习题类学习材料，帮助学生获得多元性“数学地思维”
１．通过主题图培养善于发现和提问的数学思维
发现问题和提出问题也是一种数学思维活动，它要求学生尝试在面对不同的现象（包括数学的和非数学的）时“从数学的角度提出问题”，换言之，初步具有一种数学的眼光，能够识别存在于数学现象或者日常的、非数学的现象与问题中的数学问题或者数学关系，并将他们提出来，这是重要的数学思维过程。
如：第六册《解决问题》中，教学乘法两步计算解决问题时，可以设计这样三个练习：
（１）一个方阵有多少人？ （２）三个方阵一行有多少人？（３）三个方阵共有多少人？这些不同的数学问题的提出，可以让学生经历数学关系提炼的过程，可以培养学生的思维。
２．构建解题模型，培养学生模型化的数学思维
在以往的教学中，我们时常能听到家长这样说：“我的孩子只要遇到稍有变化的题，就无从下手，一点办法也没有。”我们也时常能从同事那里听到诸如“这个孩子什么时候才能开窍”的话，这个“开窍”过程真的那么难吗？其实深究原因，完全是孩子还没有真正掌握这些不同类型题的基本模型所至。如果学会构建解题模型，就能很好地帮助学生提高解题水平。
如教学第八册《数学广角》的“植树问题”时，我们在学生初步得出三种植树方案（两头都种、只种一端、两端都不种）的最基本的模型后，老师可以引导学生进行题组变式训练，目的就是要巩固三种类型题的解题策略。
（１）同学们在全长１００米的小路两旁植树，每隔５米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？
（２）同学们沿着直跑道一侧植树，每隔５米种一棵，一共种了２１棵。从第１棵到最后一棵的距离有多远？
（３）同学们在教学楼和科技楼两楼之间全长１００米的小路一旁植树，两头都不栽共栽了１９棵（每两棵树之间距离相等），每两棵树之间距离几米？
解题前可以和学生一起探讨三题分别属于哪种模型，引导学生说一说从哪些字眼可以分析出来，可以通过红色字体凸显。后又通过题组对比，去发现每道题是否都可以直接运用模型中的数量关系进行解决，从而又对模型中的数量关系进行完善，即可以求总长和棵距。紧接着通过三题之间存在的共同点，即得到全长相同、棵距相同这两个关键元素，让学生真正理解植树问题每种模型的内在联系与区别。那么，学生以后碰到相关联的数学问题时，自然就会进行构建联系，从而顺利解题，提高数学解题思维水平。
３．在问题解决中体验解决问题策略的多样性，发展创新的数学思维
《数学标准》提出：“要鼓励学生解决问题策略的多样化，不同的学生有不同的思维方式、不同的兴趣爱好以及不同的发展潜能。”在问题解决的教学中，我们要鼓励学生选择多样化的思维方式来解决问题。
例如，在《小学数学整体实验教材》第六册学习完长方形和正方形的面积后有这样一道思考题：一个正方形花坛（如右下图所示），四周是用小石子铺成的小路，计算小路的面积。想一想有几种计算方法？
生１：最简单的思考就是用大正方形的面积减去小正方形的面积，即８×８－６×６＝２８（平方米）。
生２：我把小路分成４块长方形，它的长和宽分别是８米和１米，４块面积和是８×１×４＝３２（平方米），然后再算出４个角上的面积１×１×４＝４（平方米），最后用３２减去４，就算出了小路的面积也是２８平方米。
生３：我把小路分成了４块长方形和４个小正方形，它们的面积和是：６×１×４＋１×１×４＝２８（平方米）。
生４：我会梯形面积的计算，所以我是把小路分成了４个梯形，所以小路的面积是：（６＋８）×１÷２×４＝２８（平方米）。
……
学生的能力是不容低估的，这道题解决问题的难度不大，主要是要训练学生策略选择的多样化，充分挖掘学生创造性的解题思维水平。
“数学地思维”内涵非常广泛，数学课堂对“数学地思维”培养可谓任重道远。当代科学证明人类的潜在能力是巨大的，在正常情况下工作的人，一般只使用了其思维能力的很小一部分。同样的，我们对于学生“数学地思维”的开发和引领也仅仅是一个开始，有待于进一步深入地研究，不断补充和获得新的认识。
（责编 罗 艳）