证明线段倍半关系是常见的几何证明.而在初中阶段关于线段倍半关系直接运用的定理有:三角形的中位线定理以及“直角三角形中,30°锐角所对的直角边等于斜边的一半”“直角三角形斜中线定理”等,笔者就初三学生一次单元测试中的两道题目,试图对“线段倍半关系”进行简单探析.
案例1:如图,已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线,AE交BC、BD于点E、F,AC、BD相交于点O. 求证:OF= CE.
1. 直接利用三角形中位线定理证明
证明:过点O做OG∥CE,交AE于点G
∵AO=OC, OG∥CE
∴OG是△ACE的中位线
∴OG= CE
又∵∠OGF=∠DAF=∠OFG=67.5°
∴OG=OF
∴OF= CE
评价:学生在学习了三角形中位线定理后,结合此题中的“O点是AC的中点”这个条件,最容易想到构造△AEC的中位线OG,转化为证明线段OG=OF即可.
2. 利用相似三角形的相似比证明
证明:∵∠OAF=∠FAB,∠AOF=∠ABE=90°
∴△AOF∽△ABE
∴ = = ①
又∵∠OAF=∠FAB,∠AFB=∠AEC=112.5°
∴△ABF∽△ACE
∴ = = ②
∵BF=BE
∴①×②得 = ,即OF= CE
评价:“a= b”型结论的等价结论是“ = ”,可以借助相似三角形的相似比来解决.寻找相似三角形或构造相似三角形是本题的关键.
3. 利用线段和差b=a+a证明
证明:
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA,OA=OB=OC=OD
∵∠DAF=∠DFA=67.5°
∴DA=DF
同理:BF=BE
∵OF=DF-DO,OF=OB-BF
∴OF+OF=DF-BF
∴OF+OF=BC-BE ∴2OF=CE
即:OF=CE
评价:“a= b”型结论的等价结论还可以是“b=a+a”,利用线段的和差关系以及线段的等量代换可以证出.
案例2:已知: 等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.AF是∠BAC的平分线,交BC于点E,BF⊥AE交AE的延长线于点F.求证:AE=2BF.
思路分析:由于此题条件中没有明显的中点条件,因此利用三角形的中位线定理证明比较困难,能否想到利用相似三角形的相似比来证明呢?图中△BFE与△ACE显然相似,但BF是△BFE的直角边,而AE是△ACE的斜边,明显不对应,于是可以想到构造以BF为斜边的直角三角形,这样就可得方法1.
1. 利用相似三角形的相似比证明
证明:过F点做FM∥CA交BC于L点,交AB于M点.
∵FM∥AC ∴∠MFA=∠1
∵∠1=∠2 ∴∠2=∠MFA
∴MF=MA
∵∠BFA=90° ∴MB=MF=MA
∵FM∥AC,MB=MA
∴BL=LC= BC= AC
∵∠1=∠3,∠FLB=∠C=90°
∴△BFL∽△AEC
∴ = = ,即AE=2BF.
2. 利用直角三角形斜中线定理证明
证明:做AE的中点M,连接CM.以AB为直径做圆O,则F、C、A、B四点共圆.
∵∠ACB=90°,MA=ME
∴CM= = = AE
∵∠1=∠2
∴FB=FC
∴FB=FC
又∵∠CFM=∠FMC=45°
∴CM=CF
∴BF= AE
即AE=2BF
评价:利用AE是直角ΔACE的斜边,联想到斜中线定理,转化为证明线段BF=CM即可.
3. 利用折半方法证明
证明:做AE的中垂线交AB于G,交AE于M,连接EG.
∵MG垂直平分AE
∴GE=GA
∴∠GEA=∠2
∵∠1=∠2
∴∠GEA=∠1
∴EG∥CA
∴∠BEG=∠C=90°
∵∠EBG=45°
∴EB=EG
∵∠3=∠1
∴∠3=∠GEM
又∵∠F=∠EGM=90°
∴△BFE≌△EMG
∴BF=EM= AE
即AE=2BF
评价:把较长的线段AE折半,转化为证明线段BF=EM即可.
4. 利用加倍方法证明
证明:延长BF、AC交于H点.
∵∠1=∠2,∠BFA=∠HFA=90°,AF=AF
∴△ABF≌△AHF
∴FB=FH,即BH=2BF
∵∠3=∠1,CB=CA,∠BCH=∠ECA=90°
∴△BHC≌ΔACE
∴BH=AE
∴AE=2BF
评价:此种方法采用的是间接加倍方法,若直接加倍,则“延长BF到H点,使BH=2BF”,此时就要证明A、C、H三点共线,非常棘手,所以用间接加倍方法更有利.
教学启示
1. 解题教学时应重视常规解题方法的教学
教师在几何课证明教学时,应着重于对常规思维方法的分析,努力帮助学生找到最容易想到的、最容易掌握的解题方法,以使学生能突破原有的思维障碍,使教学建立在学生通过一定努力就可能达到的智力发展水平上,并据此确定知识与方法的广度、深度.案例1中利用三角形中位线定理来证明,而案例2则采用加倍或折半的方法更适合学生.
2. 不断渗透等价转化等数学思想,培养学生创新思维
著名数学家和数学教育学家波利亚曾说:“如果不变化问题我们几乎不能有什么进展.”把求解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题,是数学解题中基本的思想方法之一,即转化的数学思想方法.案例1、2中把“a= b”型结论转化为“ = ”或者把“a= b”型结论转化成“b=a+a”,都是如此.
重视常规性解题方法并不是完全否定创新型解法,教师应在使学生扎实掌握好双基的基础上,鼓励学生大胆尝试、勇于创新,不断探索更多、更巧、更妙的方法.例如案例1中的利用相似比来证明和利用b=a+a方法来证明都是学生在单元测试中少数学生的创新解法,案例2中的方法1和方法2也是如此.教师在引导学生与同伴分享不同解题方法后,还需对不同解法进行分析、比较、归纳,以帮助学生选择适合于自己思维水平的方法,进而纳入自己已有的认知系统,以便能形成自我分析问题、解决问题的能力.