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几何教学中关于“a=b”型结论的

  • 投稿忆片
  • 更新时间2016-02-22
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  证明线段倍半关系是常见的几何证明.而在初中阶段关于线段倍半关系直接运用的定理有:三角形的中位线定理以及“直角三角形中,30°锐角所对的直角边等于斜边的一半”“直角三角形斜中线定理”等,笔者就初三学生一次单元测试中的两道题目,试图对“线段倍半关系”进行简单探析. 
   案例1:如图,已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线,AE交BC、BD于点E、F,AC、BD相交于点O. 求证:OF= CE. 
   1. 直接利用三角形中位线定理证明 
   证明:过点O做OG∥CE,交AE于点G 
   ∵AO=OC, OG∥CE 
   ∴OG是△ACE的中位线 
   ∴OG= CE 
   又∵∠OGF=∠DAF=∠OFG=67.5° 
   ∴OG=OF 
   ∴OF= CE 
   评价:学生在学习了三角形中位线定理后,结合此题中的“O点是AC的中点”这个条件,最容易想到构造△AEC的中位线OG,转化为证明线段OG=OF即可.
   2. 利用相似三角形的相似比证明 
   证明:∵∠OAF=∠FAB,∠AOF=∠ABE=90° 
   ∴△AOF∽△ABE 
   ∴ = =  ① 
   又∵∠OAF=∠FAB,∠AFB=∠AEC=112.5° 
   ∴△ABF∽△ACE 
   ∴ = = ② 
   ∵BF=BE 
   ∴①×②得 = ,即OF= CE 
   评价:“a= b”型结论的等价结论是“ = ”,可以借助相似三角形的相似比来解决.寻找相似三角形或构造相似三角形是本题的关键. 
   3. 利用线段和差b=a+a证明 
   证明: 
   ∵四边形ABCD是正方形 
   ∴AB=BC=CD=DA,OA=OB=OC=OD 
   ∵∠DAF=∠DFA=67.5° 
   ∴DA=DF 
   同理:BF=BE 
   ∵OF=DF-DO,OF=OB-BF 
   ∴OF+OF=DF-BF 
   ∴OF+OF=BC-BE ∴2OF=CE 
   即:OF=CE 
   评价:“a= b”型结论的等价结论还可以是“b=a+a”,利用线段的和差关系以及线段的等量代换可以证出. 
   案例2:已知: 等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.AF是∠BAC的平分线,交BC于点E,BF⊥AE交AE的延长线于点F.求证:AE=2BF. 
   思路分析:由于此题条件中没有明显的中点条件,因此利用三角形的中位线定理证明比较困难,能否想到利用相似三角形的相似比来证明呢?图中△BFE与△ACE显然相似,但BF是△BFE的直角边,而AE是△ACE的斜边,明显不对应,于是可以想到构造以BF为斜边的直角三角形,这样就可得方法1. 
   1. 利用相似三角形的相似比证明 
   证明:过F点做FM∥CA交BC于L点,交AB于M点. 
   ∵FM∥AC ∴∠MFA=∠1 
   ∵∠1=∠2 ∴∠2=∠MFA 
   ∴MF=MA 
   ∵∠BFA=90° ∴MB=MF=MA 
   ∵FM∥AC,MB=MA 
   ∴BL=LC= BC= AC 
   ∵∠1=∠3,∠FLB=∠C=90° 
   ∴△BFL∽△AEC 
   ∴ = = ,即AE=2BF. 
   2. 利用直角三角形斜中线定理证明 
   证明:做AE的中点M,连接CM.以AB为直径做圆O,则F、C、A、B四点共圆. 
   ∵∠ACB=90°,MA=ME 
   ∴CM= = = AE 
   ∵∠1=∠2 
   ∴FB=FC 
   ∴FB=FC 
   又∵∠CFM=∠FMC=45° 
   ∴CM=CF 
   ∴BF= AE 
   即AE=2BF 
   评价:利用AE是直角ΔACE的斜边,联想到斜中线定理,转化为证明线段BF=CM即可. 
   3. 利用折半方法证明 
   证明:做AE的中垂线交AB于G,交AE于M,连接EG. 
   ∵MG垂直平分AE 
   ∴GE=GA 
   ∴∠GEA=∠2 
   ∵∠1=∠2 
   ∴∠GEA=∠1 
   ∴EG∥CA 
   ∴∠BEG=∠C=90° 
   ∵∠EBG=45° 
   ∴EB=EG 
   ∵∠3=∠1 
   ∴∠3=∠GEM 
   又∵∠F=∠EGM=90° 
   ∴△BFE≌△EMG 
   ∴BF=EM= AE 
   即AE=2BF 
   评价:把较长的线段AE折半,转化为证明线段BF=EM即可. 
   4. 利用加倍方法证明 
   证明:延长BF、AC交于H点. 
   ∵∠1=∠2,∠BFA=∠HFA=90°,AF=AF 
   ∴△ABF≌△AHF 
   ∴FB=FH,即BH=2BF 
   ∵∠3=∠1,CB=CA,∠BCH=∠ECA=90° 
   ∴△BHC≌ΔACE 
   ∴BH=AE 
   ∴AE=2BF 
   评价:此种方法采用的是间接加倍方法,若直接加倍,则“延长BF到H点,使BH=2BF”,此时就要证明A、C、H三点共线,非常棘手,所以用间接加倍方法更有利. 
   教学启示 
   1. 解题教学时应重视常规解题方法的教学 
   教师在几何课证明教学时,应着重于对常规思维方法的分析,努力帮助学生找到最容易想到的、最容易掌握的解题方法,以使学生能突破原有的思维障碍,使教学建立在学生通过一定努力就可能达到的智力发展水平上,并据此确定知识与方法的广度、深度.案例1中利用三角形中位线定理来证明,而案例2则采用加倍或折半的方法更适合学生. 
   2. 不断渗透等价转化等数学思想,培养学生创新思维 
   著名数学家和数学教育学家波利亚曾说:“如果不变化问题我们几乎不能有什么进展.”把求解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题,是数学解题中基本的思想方法之一,即转化的数学思想方法.案例1、2中把“a= b”型结论转化为“ = ”或者把“a= b”型结论转化成“b=a+a”,都是如此. 
   重视常规性解题方法并不是完全否定创新型解法,教师应在使学生扎实掌握好双基的基础上,鼓励学生大胆尝试、勇于创新,不断探索更多、更巧、更妙的方法.例如案例1中的利用相似比来证明和利用b=a+a方法来证明都是学生在单元测试中少数学生的创新解法,案例2中的方法1和方法2也是如此.教师在引导学生与同伴分享不同解题方法后,还需对不同解法进行分析、比较、归纳,以帮助学生选择适合于自己思维水平的方法,进而纳入自己已有的认知系统,以便能形成自我分析问题、解决问题的能力.