摘 要：空间方向关系是空间关系的重要组成部分，广泛应用于城市智能交通管控、环境资源检测、防灾减灾等诸多领域，日益成为地理信息系统、空间数据库、人工智能、模式识别等领域研究的热点问题。近年来诸多空间方向关系表达与推理模型被提出，对现有的模型进行了综合分析和梳理。针对二维空间对象，从单目标对象、群组目标对象等方面详细介绍了当前二维空间方向关系表达与推理模型的研究进展，依据描述对象的不同进行分类，对每类模型的特性及适用范围进行了定性分析比较。针对三维空间对象，从点到区域依次分析了当前三维空间方向关系表达与推理模型的特点、优势和不足。针对不确定性对象，从确定性空间方向关系模型的扩展模型、基于不确定性集合理论模型两个方面阐述了不确定性方向关系模型的研究现状，并对每类模型的优缺点、适用领域等进行分析总结。最后，阐明了当前工作存在的不足，展望了未来通过自动推理技术、空间关系的联合表达以及群组目标对象的深入研究提高模型的实用性和智能预测，从而在空间区域获得更为精准的空间信息，为进一步的研究提供借鉴和参考。
关键词:方向关系;空间关系;空间数据库;方向关系模型;群组目标对象;不确定性集合理论;
Survey of Research on Models for description and reasoning with Direction Relation
DONG Xingxing GAO Jixun WANG Xiaotong LI Song
Department of Computer science and Technology, Henan Polytechnic University College of
Computer Science, Central South University College of Computer Science and Technology, Harbin
University of Science and Technology
Abstract：As an indispensable part in spatial relation, the spatial direction relation is widely used in many fields, such as urban intelligent traffic control, environmental resource detection, disaster prevention and reduction, and it has increasingly become a hot and difficult issue in the fields of geographic information systems, spatial database, artificial intelligence, pattern recognition and so on. In recent years, many models for description and reasoning with direction relations have been proposed one after another. The characteristics and applicable scope of each model are qualitatively analyzed and compared now. Firstly, The research progress of the current models for direction relations between objects in two dimensional space are introduced in detail from the aspects of single target object and group target object respectively. In addition, The characteristics, advantages and disad-vantages of the current models for direction relations in three dimensional space are analyzed from point to block. In addition, we expound the research status of the models with uncertainty direction relations from two aspects such as the extended models based on the models with precision object for direction relations and the models based on uncertainty set theory for uncertain objects, and then discusses the advantages, drawbacks and the applicable fields for each type of model. Finally, the weaknesses of the current work in the future are clarified, and it is expected to improve the practicability and intelligent prediction of the model through automatic reasoning technology, joint expression of spatial relationships, and the research on group target objects, so as to obtain more accurate space in the spatial area. Provide reference and reference for the further research.
Keyword：
direction relation; spatial relation; spatial database; direction relation model; group target object; uncertain set theory;
0 概述
空间方向关系是定性空间推理和日常应用中的重要属性，用于表示空间对象间的序关系，近年来一直是空间信息建模、查询、推理和多尺度表达中的关键问题[1,2]。空间方向关系广泛应用于空间数据库、模式识别、地理信息系统、防灾减灾、城市管网配置等诸多领域，备受关注，成为了当前研究的热点，其中空间方向关系表达与推理模型发挥着极其重要的作用[3,4]。
基于坐标的GIS[5]违背了人们对于空间方向关系的感知习惯，而基于地标的定性参照系[6]在空间对象间方向关系的描述上更加贴近大众的实际生活和日常需求，自然语言中空间关系表达途径比GIS更加丰富，但存在较大的歧义和不确定性[7]。目前二维空间方向关系模型已有较为成熟的研究成果，从单目标空间对象到群组目标空间对象，逐渐出现了锥形模型、双十字模型、方向关系矩阵模型等，形成了比较完善的理论体系。然而，现实世界是三维立体空间，空间对象更加复杂，无法用二维空间方向关系模型去表达，因此迫切需要研究三维空间方向关系表达与推理模型。此外，空间对象存在不确定性，例如人们认知的不确定性、位置信息的不确定性等，使得针对不确定性的研究尤为重要，应当发展不确定性空间方向关系表达与推理模型，而该领域的研究成果相对薄弱，现有的工作大致分为两类，一是基于确定性方向关系模型的改进，二是利用模糊集、粗糙集等理论工具处理不确定性空间对象，比如蛋黄模型、粗糙集模型、线性Vague时间段关系模型等。随着空间方向关系的研究内容不断深入，迫切需要对复杂空间对象的空间方向关系描述进行研究。
本文对现有工作进行全面地梳理、分析和总结，从二维单目标对象、二维群组目标对象、三维空间对象、不确定性空间对象方向关系表达与推理模型等几个方面阐述了空间方向关系表达与推理模型的研究进展，并针对现有模型进行比较分析，总结归纳出了各种模型的特性及适用范围，指明了当前空间方向关系模型存在的不足以及未来发展的方向，为进一步的研究提供借鉴和参考。
1 二维空间对象方向关系表达与推理模型
近年来，二维空间对象方向关系模型日渐趋于成熟和完善，广泛应用于查询和推理[8,9]。依据描述对象的不同将二维方向关系模型分为三类，即单目标点对象方向关系模型、单目标区域对象方向关系模型和群组目标方向关系描述模型。
1.1 单目标点对象方向关系模型
单目标点对象方向关系模型将空间对象抽象为点，适用于小比例尺空间，具有代表性的点对象方向关系模型是锥形模型。
锥形模型以参考对象为中心，对空间区域进行划分，通过考查目标对象所在的方向区域来描述空间方向关系。锥形模型包括四方向锥形模型、八方向锥形模型等，如图1所示，四方向锥形模型和八方向锥形模型以参考对象为中心，分别将空间区域细分为四个方向区域和八个方向区域。
锥形模型在描述空间方向关系时，将空间对象抽象为点，描述相距较近的空间对象时会出现差错，如图2（a）所示，四方向锥形模型描述的方向关系是B在A的东面，而实际所感知的方向关系是B在A的东南面，八方向锥形模型存在同样的问题，与实际所感知的方向关系存在偏差，总体来看，锥形模型简单、易于理解，但偏离实际。
基于投影的点对象方向关系模型将点代数引入到空间方向关系的形式化描述中，以参考对象为中心，利用垂直和水平直线将空间区域划分为8个方向区域，如图3所示，W、S、N、E是指射线上的方向区域，NE、SW、SE、NW是指四个象限的方向区域，并给出了基本方向关系合成推理表。
双十字方向关系模型针对空间区域的划分更加细化，将整个空间区域细分为15个方向区域，如图4所示，该模型更加符合人们的认知习惯。
丹晓飞[10]在2021年基于锥形模型和投影模型，提出了针对于点对象的相对方向关系模型和相应的空间表达和推理规则,并且以栅格形式表达基于此模型的空间方位关系。总体上来说，诸多单目标点对象方向关系模型中，锥形模型简单便捷、易于理解，基于投影的点对象模型描述精度更高，理论上比锥形模型更容易实现，双十字模型更符合人们的认知习惯。
1.2 单目标区域对象方向关系模型
为了进一步满足实际应用的需求，应当顾及空间对象自身特性带来的影响，符合人们的认知习惯[11]。目前具有代表性的单目标区域对象方向关系模型有基于投影的模型、基于方向关系矩阵模型的改进模型、基于Voronoi的模型等。
（1）基于投影的模型
基于投影的MBR模型利用最小外包矩形(MBR)描述空间方向关系，整个空间区域被最小外包矩形细分为九个方向区域，通过考查目标对象的位置表达两者间的关系。虽然该模型考虑了空间对象自身特性带来的的影响，但忽略了空间对象的内部细节问题，使得表达和推理的精度有所降低。为此，出现了方向关系矩阵模型，如图5所示，该模型将空间区域划分成九个具有方向性的空间区域。通过计算目标对象A与参考对象B的9个方向区域相交情况，构造一个如（1）式所示的矩阵。
方向关系矩阵包括粗略和精确方向关系矩阵，粗略方向关系矩阵以1表示非空，0表示空，例如图9中主对象A相对于参考对象B的方向关系矩阵如（2）式所示。
dir0(A,B)=⎡⎣⎢000110110⎤⎦⎥(2)
精确方向关系矩阵的元素值是空间对象所占面积比，如公式（3）所示。该模型易于计算且可推理性强，是当前较为理想的方向关系模型。
dir0(A,B)=⎡⎣⎢⎢⎢nNWNBnWNBnSWNBnNNBnONBnSNBnNENBnENBnSENB⎤⎦⎥⎥⎥(3)
总体上来说，与锥形模型相比，基于投影的方向关系模型考虑了参考对象自身形状、大小等因素带来的影响，可适应性强，易于应用推广。
（2）基于方向关系矩阵模型的改进模型
方向关系矩阵模型较好地考虑了空间对象自身形状和大小带来的影响，能够有效地描述空间方向关系，计算简单且易于进行形式化推理，但该模型忽略了参考对象的内部细节问题，为此，陆续出现了诸多针对方向关系矩阵模型的改进模型。
空间方向关系的相似性计算在空间数据的搜索[12,13]、查询[14,15]、匹配[16]、质量检测[17]等任务中发挥着至关重要的作用，一直以来是人工智能的热点问题[18]。已有模型在凹边形对象方向关系表达与推理方面存在不足，为此，康顺等[19]在2018年基于凹边形地标给出了主方向关系推理方法。李朋朋等[20]在2018年改进了Goyal等提出的方向关系相似性计算模型，相似性计算的结果更准确，但该模型无法描述空间目标相互缠绕的情形。Sandipan等[21]在2019年为了挖掘不同实体集合中的行为模式提出了一种相似性度量，还提出了一种计算行为模式的方法，集中应用于理解来自不同实体集的对象之间的交互，可以度量感兴趣区域内对象之间的行为相似性，这种新定义的度量和挖掘方法将有助于数据的提取和分析。
宗琴等[22]在2020年基于方向关系矩阵模型和锥形模型提出了复合表达模型，考虑了空间对象自身特性带来的影响，但仅仅适用于空间对象的定性描述。王云阁等[23]在2021给出了基于改进TDD模型的空间场景相似性度量方法，适用于多个相同实体数目的相似性计算，但该方法仅仅考虑了空间关系相似性，准确率不高。为了进一步提高相似性度量结果的精度，龚希等[24]在2021年提出了方向关系二元组模型，该模型能够区分同一方向区域内的方向关系，引入了如（4）式所示的规律格网单元来描述两者之间的方向关系，该模型计算方法简便、度量结果更准确，适用于制图结果评估等领域。总体上来说，针对方向关系矩阵模型的改进模型解决了方向关系矩阵模型灵活性不高、忽略参考对象内部细节等问题，能够区分同一方向区域内的方向关系，提高了描述精度。
dir0(A,B)=⎡⎣⎢⎢⎢nNWNBnWNBnSWNBnNNBnONBnSNBnNENBnENBnSENB⎤⎦⎥⎥⎥(4)
针对传统方向关系矩阵模型（DRM）对目标物体的位置特征不敏感的问题，Cheng等[25]在2022年提出了一种考虑目标物体位置特征的DRM模型。基于空间认知提出了考虑目标方向场的概念，建立了方向场的概率密度函数，采用目标物体所在区域的累积概率代替常规DRM模型中的区域，并给出了两种累积概率计算方法，该方法得到的结果更加符合人类的直观经验，描述方向准确，在一定程度上缓解了传统DRM模型对位置特征不敏感的问题。
（3）基于Voronoi的模型
Voronoi图作为计算几何的一个重要分支，具有很强的实用性，是解决相关几何问题强有力的工具，在空间方向关系领域发挥着极其重要的作用[26]。依据空间对象集合中元素的最近属性将空间区域分为多个具有方向性的区域，即Voronoi区域，空间生成对象与Voronoi区域相对应，从而描述空间对象间的方向关系。生成对象可以是点、线段、曲线、多边形等。当生成对象为点时，所对应的Voronoi图如图6所示，其中图形中的点称为基点，基点所在区域称为Voronoi区域。
多边形的Voronoi图是另一种常见的形式，主要分为简单多边形和一般多边形。其中简单多边形是指由一条简单的、封闭的曲线围成的平面区域，仅有一个边界；一般多边形是指由多条简单的、封闭的、不相交的曲线围成的平面区域，有多个边界，如图7所示。
由于Voronoi图具有很多优良特性，比如最近邻近特性、线性特性、局域动态特性以及与Delaunay三角对偶，使得其在地质、测绘、气象、生态学、计算机科学等诸多领域都有比较深入的应用[27]。基于Voronoi的图模型利用目标对象的Voronoi 图与参考对象来描述空间方向关系。Voronoi图模型如图8所示，该模型摒弃了MBR模型把空间方向关系单一化的缺陷。
现有的方向关系模型各有优缺点，但都不能满足评价一个满意模型的五个标准，即正确性、完整性、效率、量化和定性[28]。为此，整合了现有模型的优点，出现了新的模型，不仅改进了方向区域划分方法，还将方向关系矩阵模型和Voronoi图模型中计算和描述方向关系的思想融入到新的模型中，使得方向关系可以定性和定量地表示，实验表明，该模型可以计算二维空间中任意物体间的方向关系，并且结果可以被大多数人接受。总体上来说，Voronoi图模型适合于多种情况下的空间方向关系，在广泛性、正确性、唯一性、普遍性方面均有优势，但模型计算复杂且不易于进行形式化推理。
1.3 群组目标空间方向关系描述模型
在地理信息系统与实际生活中，研究对象除了单目标空间对象，还存在形状相似、距离相近的群组目标对象。目前空间方向关系表达与推理模型的研究集中在单目标空间对象，其研究成果相对成熟，但群组目标空间方向关系描述模型的研究相对滞后，现有模型主要有三种，一是借助凸壳对群组目标空间方向关系进行研究，二是通过方向Voronoi图计算群组目标间的方向关系，三是借助Delaunay三角剖分[29]、“剥皮”算法[30]、数学形态学[31]等理论描述群组目标对象。
凸壳模型针对点群目标对象分类讨论，借助源目标群的凸壳，描述群组目标对象间的方向关系，如图9所示，但该模型将群组目标抽象为单目标对象，未考虑群组对象空间形态带来的影响，出现包罗等情况时，结果会存在偏差。
群组对象间的空间方向关系在自动地图概括和空间分析中具有重要作用，为了直观、定量地表达群组对象间的方向关系，禄小敏等[32]在2018年基于群组目标自身空间形态及其方向关系，提出了定性描述与定量计算模型，该模型考虑了空间形态的差异，比如包罗、缠绕等情况，该模型仍然适用。
陈超等[33]在2021年提出了基于Voronoi图的群组目标方向关系模型，定量表达群组目标对象间的方向关系，利用矩阵描述其方向关系，该模型较好地考虑了群组目标自身形状、大小、距离、拓扑关系等因素带来的影响。上述模型无法描述各种空间方向关系的问题，为此王玉竹等[34]在2022年提出了一种改进的群组目标空间方向关系计算模型。总体上来说，目前关于该领域的研究成果相对较少，无法很好地考虑诸多因素对于群组目标空间方向关系的影响，并未实现群组目标方向关系的精准表达。
1.4 二维方向关系模型分析
诸多二维空间方向关系模型中，锥形模型将空间对象抽象为点，简单便捷，易于理解，但忽略了空间对象自身形状、大小等因素带来的影响，表达精度不高，有时结果会出现偏差，适合于描述相距较远的空间对象。MBR模型考虑了空间自身形状、大小等因素带来的影响，但忽略了空间对象内部细节问题，降低了表达精度，适合于描述相距较近的空间对象。方向关系矩阵模型计算简单且易于进行形式化推理，但忽略了距离等因素。Voronoi图模型克服了空间对象间自身形状、大小、距离等因素带来的影响，在广泛性、正确性、唯一性、普遍性方面均有优势，但计算复杂。凸壳模型适合于群组目标间方向关系比较精准的描述，但该模型忽略了群组目标对象自身特性带来的的影响。
虽然当前二维空间方向关系表达与推理模型已相对成熟，但描述精度仍有待进一步提高，方向关系、距离关系、拓扑关系等多种空间关系的联合表达是未来研究的重点，增强对空间对象的约束，获得更为精准的空间信息。各类模型的优缺点分析，如表1所示。
2 三维空间对象方向关系表达与推理模型
空间方向关系表达与推理模型是定性空间推理中分析和处理的前提[35]。随着空间方向关系应用的不断深入，城市建筑设计[36]、机器人学[37]、图像处理[38]等诸多领域均有涉及，二维空间方向关系模型已无法满足现实需求，因此迫切需要对三维空间对象方向关系表达与推理模型进行研究。
2.1 三维空间对象方向关系表达与推理模型
首次出现的三维空间方向关系模型是由二维方向关系模型中的双十字模型扩展而来，如图10所示，用于描述三维空间点对象间的方向关系，将三维空间区域细分为75个方向区域，但该模型忽略了空间对象的内部细节问题，描述精度不高。
目前比较经典的三维空间方向关系表达与推理模型是3DR27模型，如图11所示，将目标对象和参考对象抽象为点，引入了矩阵的优良特性，借助3×9矩阵描述空间方向关系，通过判定目标对象与27个空间区域的相交情况来描述参考对象与目标对象之间的空间方向关系，并在此基础上给出了合成推理算法，提高了模型的推理能力。但该模型未考虑空间对象自身特性带来的影响，同样忽略了空间对象的内部细节问题，模型表达精度有待进一步提高。有学者基于3DR27模型又提出了三维空间对象方位关系的动态邻接关系，提出了双向映射模型。
为了增强三维空间方向关系表达与推理模型对三维空间方向关系的分析与处理能力，出现了3DR27模型下三维基本主方向关系的反关系推理算法，进一步增强了该模型的推理能力。
虽然上述模型能够描述三维空间对象间的方向关系，但描述较为复杂的空间对象时精度不高。为此，出现了3DR39方向关系模型，该模型是在3DR27模型的基础上将三维空间区域细分为39个方向区域。
但3DR39方向关系模型未能描述具有距离关系的复杂空间方位关系。为此，结合3DR39模型和定性距离关系，提出了一种空间方位关系模型，即3DR39-3d模型，能够描述方向关系和距离关系两种属性，共包括2115种方位关系，弥补了3DR39模型的不足，增强了三维方位关系的表达精度。众多学者为提高模型表达的精度，进行了一系列的改进，为此出现了3DR34模型、增强型3DR34关系模型、3DR44模型以及3DR50模型。上述模型在区分大量复杂的三维方向关系时存在局限性，为了更加精细化描述复杂三维空间对象方向关系，出现了新的三维空间方向关系表达与推理模型，即3DR46模型，可以区分246种方向关系，对于复杂三维空间方向关系进行降维处理。
OPRA方向关系推理在地理信息系统（GIS）[39,40]、机器人导航[41]、空间数据库[42,43]等领域都有着重要应用意义。首次将OPRA扩展到三维空间的模型是3DOPRA模型，但该模型仅限于复合推理，只能解决３个空间对象的静态关系推理问题[44]。为此，基于约束传播和概念领域出现了OPRA方向关系网络时空推理算法，解决了ｎ个空间对象、多时刻的推理问题。总体上来说，由于三维空间方向关系的复杂度较高，在描述和推理方面存在较大的困果，但尚未形成完善的理论体系，仍需进一步探索。
2.2 三维方向关系模型分析
目前三维空间方向关系的研究成果相对较少，形式化单一，尚未形成较为完善的理论体系。Pacheco等首次将研究对象扩展到三维空间，将参考对象抽象为点，适用于比较简单的空间对象，描述精度不高。3DR27模型将空间区域划分为27个部分，实现了方向关系更精确的划分，使空间方向关系的描述更加简单，但该模型忽略了参考对象的内部细节，众多学者为解决该问题且提高模型表达的精度，进行了一系列的改进。3DR39模型是在王淼等的3DR27模型的基础上，增加了若干个方向区域，但描述精度仍有待进一步提高，为此出现了双投影内分矩阵模型、3DR34模型、增强型3DR34关系模型、3DR44模型3DR46模型、3DR50模型等诸多模型，这些模型本质上是对空间进一步细分。
虽然对空间区域的划分逐渐细化，但空间推理过程十分繁琐，依赖合成表进行手工推理，模型的推理能亟待提高，目前迫切需要发展三维空间自动推理算法，增强模型的自动推理能力，各类模型的优缺点分析，如表2所示。
3 不确定性对象方向关系表达与推理模型
地理信息系统所描述的空间关系与人们所感知的真实对象间空间关系存在差异，即空间对象的不确定性[45]。空间关系的许多实际应用都存在不确定边界的空间对象，例如海洋、森林、沙漠、动物栖息地等空间对象，确定性对象方向关系表达模型无法描述不确定性边界，因此关于不确定性对象方向关系表达模型的研究受到了广泛关注，现有的工作大致分为两类，一类确定性对象方向关系模型的扩展研究，另一类是基于不确定性集合理论[46]模型。
3.1 确定性对象方向关系模型的扩展模型
较为经典的确定性对象方向关系模型的扩展模型是蛋黄模型，该模型要求黄必须是蛋的一部分，无法将分明区域看作是不确定区域的特例统一描述。蛋黄模型是基于RCC5关系的，要求黄必须是蛋的一部分，无法将分明区域看作是不确定区域的特例，实际生活中人们更多地使用分明区域表达空间方向关系。为了解决上述不确定性模型存在的空间区域划分不合理、方向关系数目繁多等问题，出现了不确定性区域间定性方向关系模型，以锥形主方向关系为基础，四元组内部元素之间相互约束，并分析了该模型的逆运算和复合运算，该模型减少了方向关系的数目，与人们的认知更加接近，该模型如图12所示。
上述研究中，对于空间方向区域的划分是精确的，特别是在相邻方向区域的划分上会设计一个跳跃，在处理位置不确定性时利用误差理论，但该方法计算量大，可操作性差。为此，基于锥形模型引入了扩展不确定度的概念，在相邻方向区域的划分上设计了一个平滑的过渡区，该方法简单便捷，可操作性强。
实际生活中的空间区域往往具有不确定性，现有的建模方法大都适用于确定区域。为此，出现了基于MBR的空间方向关系的建模方法，利用宽边界表示不确定边界，引入了矩形代数的良好性质，并给出了相容性复合的定义，实现了不确定区域间方向关系的表达与推理。基于扩展的方向关系矩阵EDRM模型，给出了新的相似性度量方法，利用两个EDRM进行相互转化，并证明了该方法的正确性，适用于边界不确定区域间的相似性的度量。
为了使复杂的环境保护工作变得简单，Jun等[47]在2021年提出了一种将锥型模型与方向关系矩阵模型相结合确定空间实体间模糊方向关系的建模方法，充分利用了这两种模型的优点,克服了它们的缺点，将该模型应用于环境保护GIS中,有助于提高判断污染源方向的效率和环境保护水平。总体上来说，这些模型是在确定性对象方向关系模型的基础上进行扩展，易于理解，但无法确定具体的不确定性程度。
3.2 基于不确定性集合理论模型
为了解决现有空间方向关系模型无法捕获其模糊性和不确定性的问题，将粗糙集理论引入空间方向关系的描述领域，对空间对象的描述分为四种情况，如图13所示。该模型提高了对空间对象不确定性和模糊性的分析处理能力，统一描述空间对象间的方向关系，不再是割裂的处理。
除此之外，有学者将模糊集理论引入到空间方向关系的描述领域，分析了空间模糊描述方法的正确性和适用性，与现实生活中人们的人们认知习惯保持一致，广泛应用于方向关系模糊相似性计算、方向关系模糊匹配和方向关系模糊推理，为空间关系的模糊检索和推理奠定了基础[48,49]。
在实际应用中，除了上述模型所研究的规则的模糊区域，还存在含洞的不规则模糊区域，为此出现了基于Vague集的模型。当研究对象是高阶模糊地理实体时，例如：高山、峡谷、海峡等，基于模糊集理论，出现了利用方向场表示其方向隶属度，用分区方向场来取代原始方向场，提出了方向关系表达与分析模型，适用于高阶模糊空间对象。距离是空间位置的函数，定量、精确地描述了空间位置不确定性向距离不确定性传递的函数关系，具有十分重要的理论与现实意义。为此，毛政元等[50]在2022年在满足与不确定点观测位置对应的实际位置在误差圆内服从完全空间随机分布的前提下，推导了二维空间中确定点与不确定点间以及两个不确定点间距离不确定性的概率分布函数和对应的概率密度函数，总结了确定点与不确定点间以及两个不确定点间的距离不确定性所遵循的规律。
总体上来说，对于不确定性方向关系，粗糙集和模糊集是目前应用较为广泛的理论方法，可以通过使用隶属度来表示不确定程度，在描述上与现实生活中人们的认知更加接近，但是隶属度函数比较难确定，而且计算量大。
3.3 不确定性方向关系模型分析
不确定性空间对象的研究起步较晚，相对滞后，已有的研究成果大致分为两类，一是基于确定性对象方向关系模型的改进，二是基于不确定性集合理论模型。具有代表性蛋黄模型、定性方向关系模型、EDRM模型相似性度量方法等。蛋黄模型引入了不确定区域间拓扑关系的分析，更符合人们的认知习惯，基于EDRM模型的相似性度量方法是在方向关系矩阵模型的基础上引入了相似性计算方法，来度量边界不确定区域间的相似性。具有代表性的基于不确定性集合理论模型有粗糙集模型、模糊集模型等，粗糙集和模糊集是目前应用比较广泛的理论方法。
由于空间方向关系的不确定性是由多种原因导致的，例如人们认知的不确定性、空间数据的不确定性、空间方向关系分析的不确定性等，因此这些模型对于不确定性的处理有很大的差别。确定性对象方向关系模型的扩展模型描述简单、易于理解，延伸了确定性方向关系模型的适用范围，但无法统一表示各种来源的模糊对象；粗糙集和模糊集是目前应用比较广泛的理论方法，利用隶属度来表示不确定程度，在描述上与现实生活中人们的认知更加接近，但隶属度函数比较难确定，计算量大，未来应致力于寻找统一的表示与推理模型有效地描述模糊对象间的方位关系，提高对复杂空间对象的分析与处理能力。各类模型的优缺点分析如表3所示。
4 未来展望
目前空间方向关系表达与推理模型的研究主要围绕二维单目标对象、二维群组目标对象、三维空间对象和不确定性空间对象展开。
目前关于二维空间对象间方向关系模型日趋完善，依据描述对象的不同可以细分为单目标和群组目标空间方向关系模型。锥形模型描述精度不高，将参考对象抽象为点，忽略了参考对象内部细节问题。方向关系矩阵模型较好地考虑到了空间对象自身的形状和大小，但是忽略了距离带来的影响。Voronoi图模型弥补了上述不足，克服了空间对象的形状、大小、距离等因素带来的影响。方向关系二元组模型描述更为精确，方法简便，适用于制图结果评估等领域。群组目标Voronoi图模型适用于各种复杂的情况下群组目标间方向关系的精准描述，但计算过程繁琐，目前对于群组目标空间方向关系的研究仅限于粗浅和零星，无法很好地考虑诸多因素对于群组目标空间方向关系的影响。
总体上，二维空间方向关系模型相对成熟，但模型的自动推理能力仍有待提高，一致性检验问题仍依赖于传统的路径一致性算法，一些基础理论问题尚未取得突破，此外方向关系与距离关系和拓扑关系结合的研究相对较少，多种空间关系的结合还不够彻底，有待进一步深入。
实际生活中的很多问题依赖于人们对于三维空间的感知，由于三维空间的特殊性和复杂性，研究相对滞后，尚未形成完善的理论体系，仍以基于投影的模型为主，形式化比较单一，诸多模型本质上是对参考对象进一步细分，但内部细节考虑还不够完善，且模型的自动推理能力十分薄弱，仍依赖于繁琐的手工推理或推理运算表，模型的推理能力亟待提高。
近年来，不确定性对象间的方向关系模型逐渐成为新的研究热点和难点，研究相对薄弱，现有工作主要体现在以下两个方面，即基于确定性对象方向关系模型的改进和基于不确定性集合理论的处理方法。随着不确定性方向关系应用的不断深入，仅仅研究空间对象的不确定性已无法满足实际需求，必须考虑参考框架的不确定性，使得不确定性模型更符合现实生活中人们的认知习惯，但不确定性方向关系的表达是一个十分复杂的问题，如何有效地描述复杂空间对象的不确定性是当前迫切需要解决的问题。
目前，关于空间方向关系的研究有以下几个方面的问题，同时也是进一步努力和研究的方向。
（1）在二维和三维空间诸多方向关系表达与推理模型相继被提出，但这些模型的推理能力仍很薄弱，大多依赖于复杂、繁琐的手工推理或推理运算表。尤其是三维空间，基本方位关系数目繁多，推理工作任务巨大，依靠手工推理是不可行的，大大降低了模型的实用性。未来需进一完善和提高这些模型的自动推理能力，以增强模型的实用性。
（2）由于三维空间固有的复杂性，以及对不确定性数据处理本身具有一定的难度，三维不确定性方向关系的表达与推理是一个极其困难的问题，几乎是当前研究的空白，三维不确定对象方向关系的研究，将是未来研究的热点和难点。
（3）空间数据的不确定性是由多种因素导致的，现有模型大多针对某类特定来源的不确定性空间对象进行建模，未来应致力于寻求能够有效处理多种不确定性源的统一的表达与推理模型，加强对空间方向关系的分析与处理。
（4）随着空间方向关系应用的深入，如何有效地结合拓扑关系和距离关系等空间约束，提高空间方位关系描述的精度成为当前迫切需要解决的问题。虽然已有一些结合距离和拓扑关系的空间方位关系表达与推理的工作，但结合的不够彻底，无法满足实际应用需求，未来应致力于寻求有效地融和距离和拓扑关系的空间方位关系表达与推理模型，提高模型表达精度。
（5）单一空间对象的研究已无法满足现实需求，迫切需要发展群组目标对象间的方向关系模型，目前该研究领域刚刚起步，成果尚不多见，未来应注重于发展基于群组空间对象的表达与推理模型，使其更符合实际生活中的真实空间对象，如何推进该领域在空间推理方面的研究也是当前面临的问题。
5 结束语
本文围绕空间方向关系表达与推理模型展开研究，从二维单目标对象、二维群组目标对象、三维空间对象、不确定性空间对象等几个方面对空间方向关系的形式化描述的研究成果进行全面综述，并对各模型进行了对比和分析。空间方向关系表达与推理模型的研究是空间方向关系推理和查询的基础，在地理信息系统、机器学习、人工智能等领域发挥着至关重要的作用。当前模型在表达精度、推理能力、适用范围等方面依然存在诸多问题，下一步应致力于提高对复杂空间对象的智能分析与处理能力。
[1] 王淼,王晓桐,李松,等.二维基本矩形主方向关系的原关系推理[J].西安交通大学学报,2020,54(4):133-143.
[2] 张韵,彭建东,王晶晶,等.基于地学信息图谱的江汉平原土地利用时空变化分析[J].水土保持研究,2020,27(4):85-92.
[3] 王彦坤,樊红,王伟玺,等.地标空间方向的位置描述定位模型[J].测绘科学,2020,45(9):18-24.
[4] Liang H,Lv K,Sun Y,et al.Semantic-Driven 3D Scene Construction Based on Spatial Relationship and Case-Base[C]// 2021 IEEE 7th International Conference on Virtual Reality (ICVR). IEEE, 2021:54-61.
[5] Korstanje J . Coordinate Systems and Projections[M].Apress, Berkeley, CA,2022:27-49.
[6] 邓兴升, 黄小鹏. 线性参照系与大地坐标系的相互转换[J].测绘工程,2019,28(1):9-13.
[7] Rml A,Cca B,Aem B.Decisions,uncertainty and spatial information[J].Spatial Statistics, 2022,50:100619.
[8] 白梅,苌仕涵,王习特.基于位置的路网Skyline查询处理研究[J].计算机工程,2022,48(1):127-134.
[9] 郭亮亮,靳燕,杨博,等.一种基于两级缓存的高效时序数据库系统[J].测试技术学报,2022,36(2):147-152.
[10] 丹晓飞.一种面向点对象的空间方位关系的栅格表达[D].湖北: 湖北大学,2021.
[11] 王金宝,段卓军,韩希贤,等.基于有界主存的空间数据库Top/Bottom-k分数估计[J].清华大学学报:自然科学版(英文版),2022,27(2):223-234.
[12] 康顺, 李佳田, 瞿珊珊. 凹边形地标参照的主方向关系推理方法[J].武汉大学学报(信息科学版),2018,43(01):24-30.
[13] YI H .A secure blockchain system for Internet of Vehicles based on 6G-enabled Network in Box[J]. Computer Communications, 2022,186(1):45-50.
[14] LI J H . Research on Fuzzy Retrieval Method of Blockchain Information Based on B+Tree Index Structure[C]// IoT and Big Data Technologies for Health Care. Springer, Cham, 2022:308-325.
[15] 张啸剑, 徐雅鑫, 孟小峰. 基于本地化差分隐私的空间数据近似k-近邻查询[J].计算机研究与发展,2022,59(7):1610-1624.
[16] 刘志丹,林维鑫,伍楷舜.一种面向大规模空间文本数据的空间结构匹配算法[J].计算机学报,2022,45(6):1261-1275.LIU Z D, LIN W X, WU K S. A spatial structure matching algorithm for large-scale spatial text data [J]. Acta computer Sinica, 2022,45 (6): 1261-1275.
[17] 贾萍, 杨杰,诸云强,等. 地理空间模型输入数据自动匹配方法研究[J]. 测绘与空间地理信息,2022,45(5):26-31.
[18] 陈思宇, 张嘎. 基于空间分布的边坡位移测量数据质量评估方法研究[J]. 岩土工程学报, 2022,44(5):845-850.
[19] 张海军, 陈映辉. 基于类图像处理与向量化的大数据脚本攻击智能检测[J]. 计算机工程, 2020, 46(3):129-137.
[20] 李朋朋,刘纪平,闫浩文,禄小敏. 基于方向关系矩阵的空间方向相似性计算改进模型[J]. 测绘科学技术学报,2018,35(2):215-220.
[21] Sandipan Maiti, R.B.V. Subramanyam Mining behavioural patterns from spatial data[J].Engineering Science and Technology, an International Journal, 2019, 22(2)618-628.
[22] 宗琴,刘艳霞,张慧丽.一种基于复合表达模型的方向相似性算法[J].测绘科学技术学报,2020,37(01):90-95.
[23] 王云阁,郭黎,李豪, 等. 一种基于改进TDD模型的空间场景相似性度量方法[J].测绘科学技术报,2021,38(03):309-315.
[24] 龚希,谢忠,周林,何占军.空间方向相似性二元组模型度量方法[J].测绘学报,2021,50(12):1705-1716.
[25] Cheng Mianmian, Sun Qun, Kang Shilun, Chen Huanxin, Yang Na,Li Chunyan. Direction Relation Matrix Model Considering the Location Characteristics[J]. Journal of Physics: Conference Series,2022,2224(1):012060.
[26] Song L, Shuang S , Xiaohong H , et al. Directional nearest neighbor query method for specified geographical direction space based on Voronoi diagram[J]. High Technology Letters., 2022, 28(2):122-133.
[27] Chen Bi Yu et al. Transit Voronoi diagrams in multi-mode public transport networks[J]. Computers, Environment and Urban Systems, 2022, 96:101849.
[28] Figurska Marta and Dawidowicz Agnieszka and Zysk Elżbieta. Voronoi Diagrams for Senior-Friendly Cities[J]. International Journal of Environmental Research and Public Health, 2022, 19(12) : 7447-7447.
[29] 杨强. 基于Delaunay三角剖分的二维交互建模研究[J].物探化探计算技术, 2021,43(2):256-260.
[30] 禄小敏,闫浩文,王中辉.群组目标空间方向关系研究进展[J].地理信息世界,2018,25(01):28-31.
[31] 李艳波. 自适应邻域形态学理论及其FPGA实现[D].西安: 西安电子科技大学, 2020.
[32] 禄小敏,闫浩文,王中辉.群组目标空间方向关系建模[J].地球信息科学学报,2018,20(6):721-729.
[33] 陈超,王中辉,马品. 面状群( 组) 目标空间方向关系的形式化描述与计算[J]. 测绘与空间地理信息,2021,44(9):17-21.
[34] 王玉竹,闫浩文.一种改进的群组目标空间方向关系计算模型[J].测绘科学,2022,47(4):169-174.
[35] Wang Kaihong,Guan Xuelun. 3D Reconstruction and Rendering Models in Urban Architectural Design Using Kalman Filter Correction Algorithm[J].Wireless Communications and Mobile Computing,2022(2022).
[36] Lundgren Antonio Victor Alencar et al. Systematic Review of Computer Vision Semantic Analysis in Socially Assistive Robotics[J]. AI, 2022, 3(1):229-249.
[37] Yin Fan et al. Automatic Tracking of Weak Acoustic Targets within Jamming Environment by Using Image Processing Methods[J]. Applied Sciences, 2022,12(13):6698-6698.
[38] 刘庆, 杨宇航, 陈侃侃. 测绘地理信息系统的架构与功能[J]. 电子测试, 2022,36(6):72-74.
[39] L González-Rodríguez,Plasencia-Salgueiro A . Uncertainty-Aware Autonomous Mobile Robot Navigation with Deep Reinforcement Learning[J].Studies in Computational Intelligence book series,2021,984,:225-257.
[40] Thuan N C. Assessment of Surface Water Quality in the Hau Giang Province Using GIS and Statistical Approaches[J]. Journal of Ecological Engineering, 2022, 23(9): 265-276.
[41] 林淳波. 基于机器学习的数据库近似查询处理[D]. 上海:华东师范大学, 2021.
[42] 高峰, 姚光涛, 顾进广. 基于改进多嵌入空间的实时语义数据流推理[J]. 计算机工程, 2022, 48(2):55-64.
[43] Mohammed Midoun and Hafida Belbachir. A new process for mining spatial databases: combining spatial data mining and visual data mining[J]. International Journal of Business Information Systems, 2022, 39(1):17-51.
[44] 王建,闫丹凤,宋巍,等.考虑三维空间关系的海洋科学数据本体构建及推理研究[J].测绘地理信息,2022,47(1):69-73.
[45] Chen H, Vasardani M, Winter S, et al. A graph database model for knowledge extracted from place descriptions[J]. ISPRS International Journal of Geo-Information,2018,7(6):221.
[46] Zhou Shuang et al. Uncertainty Theory-Based Structural Reliability Analysis and Design Optimization under Epistemic Uncertainty[J]. Applied Sciences,2022,12(6):2846-2846.
[47] Xiang Jun. A novel direction relation reasoning model based Environmental Protection GIS[J].IOP Conference Series: Earth and Environmental Science,2021,702(1):012047.
[48] 吴冰娇,王中辉,杨飞.用于多尺度道路网匹配的语义相似性计算模型[J].测绘科学,2022,47(03):166-173.
[49] Schweitzer Seth A. and Cowen Edwin A.. A Method for Analysis of Spatial Uncertainty in Image Based Surface Velocimetry [J]. Frontiers in Water, 2022,26.
[50] 毛政元，范琳娜,李霖二维空间中距离不确定性的测度方法研究[J].武汉大学学报信息科学版,2022:1-13.