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教学:从学生的思考出发——《错位相减法的应用》教学诊断与改进

  • 投稿织锦
  • 更新时间2015-09-11
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常国庆

(江苏省扬州市新华中学,225009)

布鲁纳曾经说过:“探索,是数学教学的生命线。”教学中,只有让学生经历自主探索的过程,才能最大限度地激发和调动学生的积极性和求知

欲;只有让学生自主发现知识,才能有效地促进学生完成意义建构,真正掌握知识。因此,有效的教学,应该从学生的思考出发,通过追问依据、提示思路等引而不发的手段,帮助学生厘清知识的来龙去脉,刨出问题的源流变化,发掘蕴涵的思想方法。

下面就以“数列求和”内容的第2课时《错位相减法的应用》为例,谈谈如何从学生的思考出发,改进和调整教学。

一、教学初设及诊断

本课是在学生已经学习了公式求和法、分组求和法和裂项相消法的基础上进行教学的,重点内容是通过错位相减法求形如{anbn}(其中

{an}是等差数列,{bn}是等比数列)的数列的前n项和。出于将问题简单化的考虑,笔者在一个班教学时,设计了如下过程——

师考虑到式子中仍有等比数列的影子,此题可否类比等比数列求和公式的推导方法,即用错位相减法求解?

教师详细板演例题的解答过程。然后,追加一道巩固练习并请学生板演:已知an=2n-1,求{nan}的前n项和。)

……

(课尾,教师布置作业:均为类似的应用错位相减法求解的题目。)

本以为经过这样的课堂讲解与训练,学生作业的正确率会比较高,可是结果却令人大跌眼镜:全班的正确率竟不到10%。学生的错误归结起来主要有三种:(1)第一步变形时搞不清楚两边究竟应该乘什么,有的学生乘了公比的倒数(即提取了公比);(2)错位相减时产生了混乱,不知道如何错位或对相减后得到的等比数列不知道如何求和;(3)最后的化简出错,功亏一篑。

针对学生的问题,笔者认真地进行了反思,发现问题绝不是学生计算能力差这么简单。事实上,除了上述第3点可以用学生的基本功不扎实来解释外,上述第1、2两点的根本原因是学生对方法本身没有理解、纯粹模仿。由此,笔者回顾整个教学过程,发现对例1的处理确实欠妥:在学生给出他们的想法之前,教师已经先入为主地提示了类比等比数列求和的方法,因而限制了学生的思路,同时也让学生感觉很突兀,不明白为什么要作这样的变形,自然也就无法理解错位相减法的基本思路了。如此想来,出现上述反馈结果也就不奇怪了。

二、教学改进及反思

基于以上诊断,笔者在另一个班教学时,设计了新的过程——

师请大家自己先试试看怎么解。

(学生独立思考、解答。教师巡视,不作任何提示。)

师(对着一位学生)说说你的解法,没做到底也没关系。

(该生沉默。)

师你为什么将S作这样的变形?

生为了凑出等比数列的和,然后用等比数列求和公式求解。

师好想法。现在前面已经如你所愿,为什么不将这个思路进行到底呢?

(该生思索。)

师很好。其实这个解法的根本思想还是化归,即将一个陌生数列的求和转化为熟悉的等比数列的求和。同学们还有其他解法吗?

(学生思考一会儿后仍不得法。)

师刚才的方法实质上是将每一项中的“n”进行拆分转化,那么,可否试试从“2n”入手进行变形呢?前后两项之间有什么联系?

生后项比前项多乘一个2,可以从第二项开始提取2,但是提取之后转化不了。

师那就反过来想,不提取2,反而再乘一个2试试?

师等比数列多少项的和?

生n项。

师很好!注意,是从0到n-1哦!还有一个“尾巴”:-n·2n。

(教师小结错位相减法的几个要点,并对解题过程进行详细的板书。)

……

(课尾,教师布置作业:均为类似的应用错位相减法求解的题目。)

改进后的教学中,笔者将例题换成了一道公比更简单、特征更明显的问题,并让学生自主探索,

然后从

他们的思路出发,对其进行依据的追问和思路的提示,帮助他们厘清想法、深化认识。经过这样的引导与讨论,学生作业的正确率提高了许多。通过谈话,笔者发现,学生基本理解了错位相减法的来龙去脉以及为什么要乘公比、为什么要错位等问题,而不是仅仅停留在感叹这一方法的精妙

上;同时,不少学生也进一步感受到了数学的理性精神,即“要理由”的价值。

当然,尽管其过程很繁琐,但不可否认其正确性。通过谈话,笔者了解了他们的想法:“因为想不到,所以搞不清,

也就不想用!”由此,笔者也进一步认识到

,对学生而言

“不是老师教的,而是自己想的”

方法才是好方法。

正如布鲁纳所说的“知识的获得应该是一个主动的过程”,学习者不应该是信息的被动接受者,而应该是知识获得的主动参与者。因此,不管在哪个年级、哪个科目的课堂中,教师都应该“以生为本,创造生成”“大胆放手,尽量跟走”:学生思路通畅,教师自然要搭建让学生呈现智慧的平台;学生思维受阻,教师则应该借机引导,领着学生突破难点;学生认识出错,教师更应该借机质疑,帮助学生走出误区。