用分解运动巧解带电粒子在复合场中的运动

  • 投稿柏舟
  • 更新时间2016-05-12
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 1 带电粒子在磁场中运动 
  若初速度方向与磁场方向斜交,如图1所示,可以把v分解为与B垂直分量v⊥及与B平行分量v//。 
  v⊥=vsinθ,v//=vcosθ。 
  v⊥使带电粒子受洛伦兹力的作用,在垂直于B的平面上做匀速圆周运动,半径R和周期T分别为R=,T=。 
  v//使粒子平行于B的方向上做匀速直线运动,两个运动合成为等距螺旋线,螺距h= v//T。若以出发点为坐标原点O,B方向为z轴,圆周运动平面为xOy平面,圆周运动的角速度ω=Bq/m,其轨迹方程为: 
  应用此结论可以求解一般等距螺旋运动的曲率半径。设轨道圆周运动半径为R,圆周运动周期为T,螺距为h,如图2所示。 
  如图3所示,若磁场方向沿y轴正方向,速度方向与xOz平面夹角为θ,仍可将速度分解,仍然以v//沿y轴匀速运动,以v⊥做匀速圆周运动,轨迹仍为等距螺旋线。 
  2 带电粒子在复合场中的运动 
  关于带电粒子在速度选择器中的运动规律,可总结为: 
  如图4,若电场强度为E,磁场强度为B,带电粒子的质量为m,电荷量为q,进入磁场时的速度为v,方向水平向右。 
  当速度v=时,向上的洛伦兹力与向下的电场力平衡,带电粒子做匀速直线运动,轨迹为Ⅰ。 
  当速度v<时,向上的洛伦兹力小于向下的电场力,带电粒子向下偏转,轨迹为Ⅱ。 
  当速度v>时,向上的洛伦兹力大于向下的电场力,带电粒子向上偏转,轨迹为Ⅲ。 
  下面来讨论轨迹Ⅱ、Ⅲ。借助轨迹Ⅰ的特点,可以把初速度v分解为v1与v2,其中,v1=,v2=v-v1,v1方向与v方向相同,其产生的洛伦兹力与电场力平衡,粒子以v1做匀速直线运动。同时,以v2为线速度在同一平面内做匀速圆周运动,粒子实际运动是由两个分运动合成,其轨迹是一个旋轮线。粒子运动具有周期性,竖直方向一个周期后回到原来的位置,粒子离开初速度方向垂直距离最大值d=2R=2。 
  ①若初速度v<,则速度可以分解如图5所示, v1=方向水平向右;v2=v1-v,方向水平向左。粒子的轨迹为图5中的实曲线部分,最低点的速度方向水平向右,大小v1+v2。 
  当v1  2008年江苏卷第14题。在场强为B的水平匀强磁场中,一质量为m、带正电q的小球在O点静止释放,小球的运动曲线如图9所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍,重力加速度为g。求:(1)小球运动到任意位置P(x,y)处的速率v;(2)小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym。(3)当在上述磁场中加一竖直向上场强为E(E>)的匀强电场时,小球从O静止释放后获得的最大速率 vm。 
  其中,小球受到的重力充当原来的电场力,小球的出发点即为上述v1=v2情况的最高点。所以,可以假设小球出发时,存在两个大小相等、方向相反的速度,速度大小均为。其中,曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍,即为此种情况的结论,其运动规律就与v1=v2情况相同了。 
  若初速度的方向与水平方向成θ,如图10所示。可以将速度v分解为v1与v2,其中由v1产生的安培力仍与电场力平衡,以v2为线速度做匀速圆周运动。若初速度的方向与纸面不共面,同样可以将速度分解为v1与v2,其中v1产生的洛伦兹力仍与电场力平衡,在此方向做匀速直线运动,而v2使粒子做等距的螺旋运动,粒子同时参与了这两个运动。 
  通过上述问题的探讨,告诉我们应该要善于利用已有知识来处理新的问题,既巩固和强化已有知识的体系,又加深对新知识的理解与应用,真正做到学以致用。