李 磊
【摘 要】由
的积分得到启发，依据倒代换、积分函数理论得到一类与奇偶函数性质极为相似形如F（x）=F（1/x）或F（-x）=-F（1/x）的一类函数。该函数不同于奇偶函数之处是，不像奇偶函数那样具有严格的对称性，但经过倒代换函数数值上却有对称性，有方便解决互为倒数区间的定积分的用途。
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关键词 奇偶；倒代换；积分函数；互为倒数区间
1 定义
形如F（x）=F（1/x）或F（x）=-F（1/x）的函数叫做倒偶函数和倒奇函数。若F（x）=F（1/x）则F（x）为倒偶函数；若F（x）=-F（1/x）则称F（x）为倒奇函数。
2 在初等函数中倒置函数的常见例子
F（x）=C，F（x）=logɑ x分别为倒偶函数和倒奇函数。
证明：F（x）=C,F（1/x）＝Ｃ ∴F（x）=C为倒偶函数
F（x）=logɑ x=logɑ xF（1/x）=-logɑ x=-F(x) ∴F（x）=logɑ x为倒奇函数。
而F（x）=ɑx，xn，sin x，cos x，tan x，arcsin x，arctan x都不是倒置函数。
3 倒置函数的一般表示及其证明
4 函数与奇偶函数的对比
4.1 奇偶函数与倒置函数的写法
偶函数必满足F（-x）=F（x），倒偶函数必满足F（x）=F（1/x）
奇函数必满足F（-x）=-F（x），倒奇函数必满足F（x）=-F(1/x)
4.2 倒偶函数的特殊极值点与偶函数的特殊极值点的比较
倒偶函数的写法由上述推导可得出F（x）=ｆ（x)+ｆ（1/x）对F（x）求导求导可得F＇(x)=ｆ＇(x)-1/x2ｆ＇（1/x） ∴F＇（1）=ｆ＇（1）-ｆ＇（1)=0 ∴x=1必为驻点。那么x=1是否为极值点呢？x=1必为极值点。
证明：F＇(1)=ｆ＇(１＋)-ｆ＇（１-)而F＇（1-）=ｆ＇(1-)-ｆ＇（1+)=-ｆ＇(1+)-ｆ＇（1-）=-F＇（1）由此可见F＇（x）和F＇（1/x）必异号。∴0在（1-，1）和（1,1-）上F＇(x)的正负号发生了变化，故而得F（1）必为极大值或极小值，进而得x=1必为极值点。
而F（x)为偶函数则可写成F(x)=f(x)+f(-x)进而有F＇(x）=f＇(x)-f＇(-x),∴F＇(0）=f＇(0)-f＇(0)=0故而x=0必为驻点。F＇(0+)=f＇(0+)-f＇(0-),而F＇(0-)=f＇(0-)-f＇(0+)=-（f＇(0+)-f＇(0-)），由此可见由此可见F＇（0+）和F＇（0-）必异号。∴0在（-，0）和（0,）上F＇(x)的正负号发生了变化，故而得F（0）必为极大值或极小值，进而得x=1必为极值点。
4.3 积分证明奇偶性与积分证明正负倒置性的比较
5 应用
6 应用拓展
由上述探讨知，倒奇函数和倒偶函数有着与奇偶函数性质上极为相似的地方。在教材上以及在其他书上很少见到，但这类函数却十分普遍。用途上十分少见但确实对一些互为倒数区间上的定积分起到作用。
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参考文献
［１］朱白.对称区间上奇偶函数的定积分性质的推广[J].和田师范专科学校学报:汉文综合版,2008,51(2):188-188.
［２］同济大学应用数学系.高等数学[M].5版.北京:高等教育出版社,2002.
［３］费为银,王传玉,项立群,万上海.高等数学[M].合肥:中国科技技术大学出版社,2009.
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