马英英，刘帅，金铭
（哈尔滨工业大学（威海） 信息与电气工程学院，山东威海264209）
摘要：针对MUSIC算法在进行二维到达角估计时运算量大、估计速度较慢的问题，对基于数据插值二维MUSIC谱峰搜索算法进行研究。在MUSIC算法的基础上先用较大步长在二维空间进行粗略搜索，之后在粗搜谱峰位置附近的小区间内进行二维插值，最后用小步长在该区间内进行谱峰搜索，得到精确的角度估计值。仿真实验表明，该算法可有效地减少二维空间搜索的运算量。
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关键词 ：MUSIC算法；谱峰搜索；运算量；数据插值
中图分类号：TN911.7?34 文献标识码：A 文章编号：1004?373X（2015）15?0035?04
收稿日期：2015?01?22
0 引言
空间谱估计测向技术[1]作为一门新兴的空间信号处理技术，在雷达、声纳、气象、通信等相关领域中都有着广泛应用[2] 。多重信号分类[3]（Multiple Signal Classifica?tion，MUSIC）算法作为一种高分辨率的谱估计方法使得空间谱估计技术进入了超分辨测角阶段。经典MUSIC算法因为需要进行协方差矩阵的计算、特征值分解和谱峰搜索，计算量很大，特别是在二维或多维空间进行搜索时，计算量尤其大，很难在工程中应用。后来人们在其基础上提出了很多改进算法。其中，1985 年Roy 和Kailath 提出的借助旋转不变技术的参数估计算法[4]（Estimating Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT）是利用阵列流形的某些特性形成一个可以直接求解的函数，能够比较方便地得到所需要的估计参数；Barabell 提出的求根MUSIC 算法[5]根据多项式求根进行参数估计。但上述两种算法对阵列形式均有要求，求根MUSIC算法仅能用于一维阵列且ESPRIT算法在二维条件下存在参数配对问题。而另一部分改进算法还是不能避免谱峰搜索[6?8]，如基于空间平滑技术去相关的MUSIC（MMUSIC）算法[9]，在谱峰搜索上的运算量还是很大。因此有学者提出，可以结合数值方法中的插值法进行谱峰搜索，可有效地减少运算量。
数据插值方法[10]是数值分析中的最基本方法之一，主要解决的问题是根据离散数据构造一个简单易于计算的函数代替原有的复杂函数。本文将插值算法应用在谱峰搜索当中，可以大大减少搜索的点数，从而减少计算量，并且对阵列形式无特殊要求。
1 MUSIC 算法二维空间谱估计
用如图1 所示的均匀平面阵来估计二维空间谱的方位角与俯仰角。
设阵元位置为(xk ,yk), k = 1,2,?,M，信号入射参数为(θi ,φi), i = 1,2,?,N，分别表示方位角与俯仰角，其中方位角表示与x 轴的夹角。
以原点处为参考阵元，则各阵元相对参考阵元的时延为：
对于远场窄带信号，整个天线阵列所接收到的信号为：
式中：X(t) 为阵列的M × 1 维快拍数据矢量；N(t) 为阵列的M × 1 维噪声数据矢量；S(t) 为空间信号的N × 1 维矢量；A 为空间阵列的M × N 维流型导向矢量阵，且：
其中，导向矢量：
式中λ 为波长。
得到阵列的接收信号模型后进行二维空间谱估计。首先求阵列输出的相关矩阵R ? ∈ CN × N ，有：
对R ? 进行特征分解，则其N - K 个较小特征值对应的特征向量张成了R ? 的噪声子空间U ?N 。利用噪声子空间与信号方向矢量正交即U ?N⊥ span{A} 的特性，得空间二维MUSIC算法定义的空间谱函数为：
对空间谱函数进行二维搜索，获得的谱峰处即指示信号来波方向的(φk ,θk) 。
2 插值算法
数学上常用的插值法[11]有Lagrange插值，Newton插值，Hermite插值等多项式插值法以及分段低次插值法，分段三次样条插值等分段插值法。多项式插值法在插值多项式次数较高时会出现不收敛的龙格现象；分段低次多项式插值通常计算简单但曲线光滑性差；分段三次多项式插值要求插值函数具有连续的二阶导数，可以得到具有更高光滑度的曲线。鉴于MUSIC谱图的谱峰非常尖锐，所以为得到更高的精度本文选用分段三次样条插值法，并与分段线性插值法，分段三次多项式插值法作比较。
2.1 分段线性插值
对给定区间[a,b] 做划分Δ:a = x0 < x1 < ? < xn = b，且给定函数f (x) 在n + 1 个互异节点xi (i = 0,1,2,?,n) 处的值yi = f (xi),i = 0,1,2,?,n，若插值函数φ(x) 满足：
（1） φ(x) 在区间[a,b] 上连续；
（2） φ(xi) = yi ,i = 0,1,2,?,n；
（3） φ(x) 在每个子区间[xi ,xi + 1] 上是线性函数。
则称φ(x) 为[a,b] 上关于数据(xi ,yi)，i = 0,1,2,?,n 的分段线性插值函数。
同理，若φ(x) 在每个子区间[xi ,xi + 1] 上是三次多项式，则称φ(x) 为[a,b] 上关于数据(xi ,yi)，i = 0,1,2,?,n的分段三次多项式插值函数。
2.2 分段三次样条插值
对给定区间[a,b] 做划分Δ:a = x0 < x1 < ? < xn = b，且给定函数f (x) 在n + 1 个互异节点xi ,i = 0,1,2,?,n 处的值yi = f (xi),i = 0,1,2,?,n，若插值函数S(x) 满足：
（1）S(x) 在[a,b] 上具有连续的二阶导数；
（2）S(xi) = yi ,i = 0,1,2,?,n；
（3）S(x) 在每个子段[xi ,xi + 1] 上都是三次多项式。
则称S(x) 为分段三次样条函数。
当x ∈[xi ,xi + 1] 时，记hi = xi + 1 - xi，S(x) 的一般表达式为：
式中：Mi ,i = 0,1,2,?,n 是需要待定的系数，且Mi = S″(xi)。据S″(xi + 0) = S″(xi - 0) ，可得n - 1 个条件：
由于n + 1 个数据点需要n + 1 个系数，而式（8）只提供了n - 1 个条件，所以通过端点约束，即增加边界条件来补充另外两个条件。边界条件一共有三种，分别是：
（1）第一种边界条件
（2）第二种边界条件
若S″(x0 ) = S″(xn ) = 0，则称之为自然边界，满足自然边界的样条函数称为自然样条，它是通过所有数据点的插值函数中总曲率最小的惟一函数，因此自然三次样条是插值所有数据点的最光滑函数。
（3）第三种边界条件
当被插值函数是以b - a 为周期的周期函数时，则要求S(x) 也是周期函数，这时，边界条件为：
这样就可以解出n + 1 个系数了，再将其代入到式（7）就可以得到相应子区间内的样条函数。
在利用上述插值方法对MUSIC算法粗搜的二维空间谱进行插值时，先利用得到的数据在x 轴方向进行插值，再用同样的插值法对y 轴方向进行插值，这样就得到了经二维插值后的MUSIC空间谱图。
3 仿真及分析
实验中采用8阵元L 阵，信号入射角为（30.45°，60.27°），在高斯白噪声条件下进行。信噪比为30 dB，快拍数为1 024。性能分析实验中蒙特卡洛次数为100次。仿真结果的插值区域均为以粗搜谱峰为中心，边长为2°的正方形区域。
3.1 基于插值的谱峰搜索算法实现
图2为搜索步长为0.1°时，MUSIC算法在二维空间中搜索的谱图；图3为在MUSIC算法0.1°搜索的基础上，用分段线性插值法进行插值后的谱图；图4为在MUSIC算法0.1°搜索的基础上，用分段三次多项式插值法进行插值后的谱图；图5为在MUSIC算法0.1°搜索的基础上，用分段三次样条插值法进行插值后的谱图。可以看出经插值后的谱图要比图2密集得多，理论上谱峰搜索的精度也会提高，下面通过仿真来比较几种算法的性能。
3.2 性能比较
图6，图7为基于插值算法的二维MUSIC谱峰搜索算法均方根误差（RMSE）比较分析。实验中将MUSIC算法0.1°搜索及MUSIC 算法0.01°搜索的RMSE 与基于分段线性插值、分段三次多项式插值及分段三次样条插值的二维MUSIC谱峰搜索算法的RMSE进行比较，分别得到方位角与俯仰角的RMSE对比曲线。结果表明：分段线性插值搜索的RMSE 相比于MUSIC 算法0.1°粗搜并没有改善，即分段线性插值在二维谱峰搜索中并不适用；分段三次多项式插值搜索与分段三次样条插值搜索的RMSE 相比于MUSIC 算法0.1°粗搜都有改善；分段三次样条插值搜索的性能要比分段三次多项式插值搜索更好且与MUSIC算法0.01°搜索的RMSE相差很小。
3.3 运算速度分析
表1为用两种算法进行谱峰搜索实验100次的时间，可以看到基于三次样条插值的二维MUSIC谱峰搜索的方法明显减少了运算量，提高了二维空间谱峰搜索的速度。
4 结论
MUSIC算法作为一种高分辨率的谱估计方法使得空间谱估计技术进入了超分辨测角阶段，但谱峰搜索的过程运算量很大，尤其是在二维空间中。所以如何快速准确地进行谱峰搜索是当前需要解决的重要问题之一，本文主要研究了基于多种插值算法的MUSIC谱峰搜索算法。
在二维空间中建立了平面L 阵的阵列信号模型，仿真得到了二维插值搜索的空间谱图，通过对算法性能在参数影响和运算速度两个方面的对比分析，得到如下结论：
（1）基于分段线性插值的二维MUSIC 谱峰搜索算法的RMSE相比于MUSIC算法0.1°粗搜并没有提高，所以分段线性插值法在二维MUSIC谱峰搜索中不适用。
（2）基于分段三次多项式插值及分段三次样条插值的二维MUSIC谱峰搜索的RMSE相比于MUSIC算法0.1°粗搜都有改善；分段三次样条插值搜索的性能要比分段三次多项式插值搜索更好且与MUSIC算法0.01°搜索的RMSE相差很小。
（3）基于分段三次样条插值的二维MUSIC 谱峰搜索算法相比MUSIC 算法0.01°搜索明显减少了运算量，大大提高了二维空间谱峰搜索的速度。
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参考文献
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作者简介：马英英（1993—），女，内蒙古锡林浩特人。研究方向为雷达信号处理。