熊辉，陈星
（四川大学电子信息学院，四川成都610064）
摘要：分形呈现了自相似的图案，已被广泛应用于天线设计，以实现小型化和多频带。分形反射单元的提出，提供了一个在相位范围内更平滑的反射相位曲线。由于分形几何的空间填充性，反射阵面可以包括反射单元的种类较多。采用L系统法设计了一种“万”字形分形结构的微带反射单元，反射面的物理口径为300 mm×300 mm，反射单元规模为13×13。仿真和测试表明，在5.8 GHz处，天线的增益为22.6 dBi，阻抗带宽为6.9%（从5.71~6.11 GHz），印证了“万”字形分形结构设计反射单元的可行性，研究结果为设计反射单元提供了一种有效的新方法。
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关键词 ：分形反射单元；L系统法；微带反射阵列；相移特性曲线；高增益天线
中图分类号：TN823?34 文献标识码：A 文章编号：1004?373X（2015）15?0057?03
收稿日期：2015?02?05
0 引言
分形是由美籍法裔数学家Benoit B.Mandelbrot 于20世纪70年代首次提出的几何概念。分形结构最主要的特点是其自相似性，即结构的局部形状与整体形状完全相同。D.L Jaggard 首次将分形引入到麦克斯韦（Maxwell）电磁理论当中，就此确立了分形电动力学[1]（Fractal Electrodynamics）这一全新的研究方向。随后大量研究工作致力于分形结构与波的相互作用，直到1988 年，Nathan Cohen等人首次将分形结构应用到天线设计当中，第一款分形天线[2]随之诞生，分形天线的研究也逐步展开，并且取得了极大的发展。目前分形天线已经成为一种重要门类的天线，常见的应用于天线设计的分形结构有：Minkowsk方块[3?6]，Sierpinski三角垫[7?8]，Peano曲线[9]。
本文采用分形结构设计微带反射阵列单元。根据微带反射阵列天线的基本工作原理可知，微带反射阵列天线主要是通过反射单元对馈源入射波的相位进行补偿从而在反射面口径上形成等相位面。由此可知，反射面上反射单元排列的疏密程度，对于整个反射面上最终的相位补偿效果有极大的影响。通常情况下，为了减小反射单元之间的互耦效应以及避免分布式栅瓣的产生，单元之间的间距选取为0.6λ0 左右。而选用分形结构的反射单元，可以使得单元之间的间距更小，单元排布更紧凑，这样的话，经过补偿后的反射面口径相位分布也会更均匀。其次，由于分形结构反射单元自身的多谐振特性，单元能够获得更大变化范围的反射相位，所以分形结构是微带反射阵列反射单元的理想选择之一。
1 分形反射单元设计
得利于计算机的辅助设计，分形结构的设计得到了飞速的发展。只需要通过少量的参数，便可以生成结构无限精细而且形式复杂多样的分形图形。目前，已有多种数学方法可以用来生成分形，例如：迭代函数系统生成法、分形演化算法、逃逸时间算法、L系统生成法[10]等。
本文采用的是L系统生成法来构造分形图形。首先采用L系统生成法构造出一个“万”字形的分形图形[11]，具体的生成步骤为：采用分形公理F+F+F+F，分形规则为F→A-B+C+B-D，迭代次数为1次。其中字母A表示向前画一条线段，长度为A。字母B表示向前画一条线段，长度为B，字母C表示向前画一条线段，长度为C。字母D表示向前画一条线段，长度为D。“-”表示顺时针方向旋转90°，“+”表示逆时针方向旋转90°。最终生成的分形图形如图1所示。
整个反射单元所占栅格的边长为L，L = Co ? λ0（0 < Co < 1）。整个分形单元贴片所占的正方形区域边长为Lf，Lf 与分形规则中所对应各段参数之间的关系为：A = k1 ? Lf (0 < k1 < 1)，B = k2 ? Lf (0 < k2 < 1)，C = k3 ? Lf (0 < k3 < 1)。分形单元贴片印制于相对介电常数εr = 2.65 的聚四氟乙烯介质基板上，基板厚度h2 = 1 mm。为了进一步提高单元反射相位的变化范围和抑制表面波，在介质基板与金属地之间加入厚度为h3 的空气层。
2 分形反射单元相移特性分析
为了获得一条符合微带反射阵列天线要求的相移特性曲线，对分形反射单元各结构参数（比例系数k1，k2，k3 以及空气层厚度h3 ）对相移特性曲线的影响分别进行分析。k1 和k3 主要对相移特性曲线的线性度和平滑程度有影响，最后选取k1 = 0.3，k3 = 0.125。而k2 和h3 不仅对相移特性曲线的线性度有影响而且对相位变化范围的影响也很大，分形结构能够增加单元反射相位的变化范围，最后选取k2 = 0.5 ，h3 = 15 mm，确定分形结构反射单元较为理想的相移特性曲线如图2所示。可以看出，当采用分形单元结构后，单元尺寸参数Lf 仅从2 mm增加到20 mm 时，反射相位便从-200°减小到-610°，变化范围已经达到了410°。
3 基于分形单元的微带反射阵列天线设计
本文设计一款基于分形结构的反射单元，工作频率在5.8 GHz，口径尺寸为300 mm×300 mm，并且采用的馈源为矩形贴片天线，由于采用了“万”字形分形反射单元，可以适当地减小单元间距，最终选定单元间距L = 0.45λ0 。根据反射面口径尺寸可求得该反射面共可容纳13×13个反射单元。天线的整体结构如图3所示。
采用微带反射阵列天线常规设计方法，根据简化后的补偿相位计算公式?i = k0|Ri | + 2πn 依次求出虚线区域内所包含的28个反射单元需要补偿的相位：
?1 = -395.31°，?2 = - 382.82°，?3 = - 370.48°,
?4 = -346.22°，?5 = - 334.29°，?6 = - 299.24°,
?7 = -287.80°，?8 = - 276.46°，?9 = - 243.11°,
?10 = -549.49°，?11 = - 210.66°，?12 = - 560.03°，
?13 = -528.68°，?14 = - 478.08°，?15 = - 410.33°，
?16 = -478.08°，?17 = - 468.19°，?18 = - 438.95°，
?19 = -391.58°，?20 = - 327.80°，?21 = - 249.65°，
?22 = -373.06°，?23 = - 363.89°，?24 = - 336.74°，
?25 = -292.57°，?26 = - 232.82°，?27 = - 519.19°，
?28 = -433.46° 。
通过对选取的相位特性曲线描点，依次得到各单元Lf (i) 的尺寸分别为：
Lf (1) = 13.86 mm， Lf (2) = 13.56 mm， Lf (3) = 13.25 mm，
Lf (4) = 12.70 mm， Lf (5) = 12.43 mm， Lf (6) = 11.54 mm，
Lf (7) = 11.21 mm， Lf (8) = 10.85 mm， Lf (9) = 9.43 mm，
Lf (10) = 19.15 mm， Lf (11) = 6.17 mm， Lf (12) = 19.6 mm，
Lf (13) = 18.31 mm，Lf (14) = 16.35 mm，Lf (15) = 14.25 mm，
Lf (16) = 16.35 mm，Lf (17) = 16.00 mm，Lf (18) = 15.06 mm，
Lf (19) = 13.76 mm，Lf (20) = 12.27 mm，Lf (21) = 9.77 mm，
Lf (22) = 13.32 mm，Lf (23) = 13.11 mm，Lf (24) = 12.47 mm，
Lf (25) = 11.35 mm，Lf (26) = 8.77 mm，Lf (27) = 17.90 mm，
Lf (28) = 14.89 mm。
根据确定的分形反射单元的结构参数加工制作了天线实物，如图4所示。图中深色区域为介质板，浅色区域为金属反射单元，馈源天线与水平支撑杆加工为一体，两侧的梯形垂直支架采用3 mm厚的环氧树脂介质板，采用4 mm的铝板作为接地板，铝板与上层介质板之间通过双头尼龙螺钉固定。
天线输入端仿真和测试的反射系数曲线如图5 所示，| S11 | < -10 dB的阻抗带宽为6.9%（从5.71~6.11 GHz），在工作频率5.8 GHz处，| S11 | =-26 dB。
图6给出了天线在工作频率为5.8 GHz的仿真和测试方向图。由于天线的测量在室外进行，天线测量旁瓣结果为-13 dB，大于仿真结果。但是，天线仿真与测量方向图的主瓣基本吻合，表明该天线具有较好的定向辐射波束。
4 结语
本文仿真、加工并测试了一款采用分形结构的反射单元设计的微带反射阵列天线。仿真和测试结果表明，利用“万”字形的分形单元作为反射阵列天线的反射单元能有效地形成单波束和实现高增益，天线性能测试得到| S11 | < -10 dB的阻抗带宽为6.9%（从5.71~6.11 GHz），在工作频率5.8 GHz处，| S11 |为-26 dB，轴向增益为22.6 dBi，印证了“万”字形分形结构设计反射单元的可行性，为设计反射单元提供了一种有效的新方法。
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作者简介：熊辉（1989—），男，湖北鄂州人，硕士。研究方向为微波天线设计。
陈星（1970—），男，四川成都人，博士，教授。研究方向为天线设计、并行计算、电磁场数值计算和微波成像等。