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两个元的集合的自同构

  • 投稿雨人
  • 更新时间2015-09-24
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白阿拉坦高娃

(赤峰学院 数学与统计学院,内蒙古 赤峰 024000)

摘 要:自同构映射在近世代数中较重要,例如比较一个集合与一个群、比较两个群等等.本文主要讨论两个元的集合的代数运算、置换以及自同构、对于哪些代数运算来说做成群等内容.

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关键词 :两个元的集合;代数运算;置换;自同构;群

中图分类号:O153文献标识码:A文章编号:1673-260X(2015)08-0009-02

1 基本概念

文中所提到的集合G是非空的有限集合.

定义1 元素的个数是有限整数的集合叫做有限集合.

定义2 集合G×G到G的映射叫做集合G的一个代数运算.

定义3 集合G到G的一一映射叫做G的一个一一变换.

定义4 一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换.

定义5 集合G的一一变换?覬是一个对于叫做乘法的代数运算来说的G的自同构,假如对于?坌a,b∈G来说,有

定义5有限集合G对于它的乘法来说作成群,假如

I.G对于乘法来说是闭的.

II.乘法适合结合律:?坌a,b,c来说,有

III.乘法适合消去律:

若ax=ax’,那么x=x’

若ya=y’a,那么y=y’

2 两个元的集合的自同构

设集合G={a,b}

命题1 集合G有两个置换:(1),(12)即

(1):a→a,b→b(称作恒等变换)

(12):a→b,b→a

下面看一下G的代数运算:

G×G={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}的每一个元选定对象有2种可能,a或b,所以G的代数运算共42=16个.

命题2 集合G有42=16个代数运算,具体如下:

命题3 恒等变换(1)对于G的任何代数运算°来说都是G的自同构.

若把两个元的集合、群、群的同构等彻底研究透了以后,利用这些群或集合可以讨论其他的集合与群的性质.比较方法就是两个集合(或群)之间建立一个同构映射(或同态满射),由已知群的性质可以推出同构(或同态)群的性质,所以它是一个很好的工具.

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参考文献

(1)张禾瑞.近世代数基础(修订本)[M].北京:高等教育出版社,1978.

(2)杨子胥.近世代数(2版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

(3)胡冠章.应用近世代数[M].北京:清华大学出版社,1999.