季晓蕾1，王 阳1，李 明2
（1.沈阳化工大学 数学教研室，辽宁 沈阳 110142；2.中国医科大学 数学教研室，辽宁 沈阳 110001）
摘 要：Schur凸函数在数学各个领域中均有广泛的作用，所以Schur凸性的研究具有重要理论意义和应用前景.目前，Schur凸性的研究非常活跃，众多文献中讨论了对称函数的Schur凸性，并且取得了众多结果.本文利用控制不等式的理论和方法证明了几个有趣不等式，整个讨论过程中，Schur凸函数起了重要作用.针对n元含参数p的代数式f（p），对于参数p的不同特殊值范围，得到了代数式f（p）上下界，探究了一个n元含参代数式f（p）的最佳上下界.大部分结果是已有结论的推广.
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关键词 ：代数式；最佳上下界；Schur凸函数
中图分类号：Ｏ13文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）07-0001-02
针对此n元含参数p的代数式f（p），文[1]对一些特殊的p值得到了如下两条结论：
文献[4]进一步提出如下问题：对于一般的p，f（p）是否有最佳上下界.本文将针对实数f（p）的不同取值范围探究f（p）的最佳上下界，从而推进文[1]-[3]的研究结果，一定程度上解答文献[4]提出的上述问题.
1 定义及引理
2 探究f（p）的最佳上界
对于实数p的其余取值范围，我们来分情况求出f（p）的最佳上界：
（1）当p<0时，注意到（a1，a2，…，an）→（1，0，…，0）可推出f（p）→+∞，故p<0时，f（p）无最佳上界.
（2）当p=0时，f（p）=n2，故p=0时，f（p）的最佳上界为n2.
=S（a1，a2，…，an）≤S（1，0，…，0）=n-1+2-p.（7）
又注意到（a1，a2，…，an）→（1，0，…，0）可推出f（p）→n-1+2-p，故p≥1时，f（p）的最佳上界为n-1+2-p.当3/5<p<1时，笔者没能求出f（p）的最佳上界.
3 探究f（p）的最佳下界
于是n=l+1时命题也成立，于是引理得证.
下面来求f（p）的最佳下界.
4 结论
综合上述分析论证，对于f（p）的最佳上下界，笔者用不等式或等式简记如下（其中“*”表示该最佳上界或下界尚未求出）：
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参考文献：
（1）舒金根.一个无理不等式的推广及其他[J].中学教研（数学），2004，10（3）：30-31.
（2）于先金.一个不等式的下界估计及其推广[J].福建中学数学，2005，5（1）：22-23.
（3）江永明.一个代数不等式的拓展及证明[J].不等式研究通讯，2005，1（2）：29-31.
（4）匡继昌.常用不等式（第四版）[M].济南：山东科学技术出版社，2010.232.
（5）王伯英.控制不等式基础[M].北京：北京师范大学出版社，1990：.6-37.
（6）Marshall A W， and Olkin I. Inequalities： Theory of Majorization and Its Applications[M].， AcademicPress， New York， 1979：23-25.
（7）冯烨.一类对称函数的Schur凸性[J].内蒙古民族大学学报（自然科学版），2011，26（2）：150-153.