一类三自由度碰振系统的余维二分岔

陈溥

(广西大学数学与信息科学学院，广西南宁530004)

【摘要】针对一类三自由度碰撞振动系统，运用不连续映射方法建立了擦边周期轨道的Poincaré映射,得到了系统发生擦边余维二分岔的条件.利用数值仿真对系统擦边余维二分岔进行了研究，在擦边余维二分岔点附近获得了系统的四周期三碰、五周期五碰、六周期六碰运动等一系列复杂的动力学行为，对三自由度碰振系统的余维二分岔情况有了较深入的认识.

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关键词碰撞振动；不连续映射方法；擦边余维二分岔

0引言

碰撞中有一种非常特殊的情况，即两个振子以零速度发生碰撞，也就是所谓的擦边。擦边这种特殊状态的出现，会使碰撞振子产生非常复杂的动力学行为。[1]最先对这领域进行研究，提出了研究擦边动力学行为和分岔的系统性方法。李群宏[2-3]研究了具有单侧和对称约束二自由度碰撞振动系统擦边周期轨道的存在性和稳定性。Thota[4]对一类单自由度碰撞振子余维二擦边分岔的延拓进行了研究。徐德贵[5]对文献[4]的结果进行了推广，详细推导了多自由度碰撞振动系统的擦边余维二分岔条件。

1系统模型

三自由度碰撞振动系统如图1所示，当振子M1的位移X1等于B时，M1将与刚性约束A发生碰撞，碰撞过程由碰撞恢复系数R确定，碰撞时间忽略不计。

在任意相邻两次碰撞之间（X1<B），碰撞系统的运动微分方程为

其中，“·”表示对无量纲时间t求导。设M1≠0，K1≠0，F0=P1+P2+P3引入无量纲量：

经无量纲化变换后系统的运动微分方程为

M1的冲击方程为：

其中x1-和x1+分别表示振子M1与刚性约束发生碰撞前和后的瞬时速度。令Ψ为方程（1）的正则模态矩阵，令X=（x1，x2，x3）T，ξ=（ξ1，ξ2，ξ3）T，做坐标变换X=Ψξ，通过对方程进行解耦和模态叠加，可得到方程（1）的通解为

其中i=1，2，3，

为正则模态矩阵Ψ的元素，?

表示振子的固有频率，

，aj和bj为积分常数，Aj和Bj表示振幅常数。根据擦边周期运动的初始和周期性条件可以得到系统发生擦边周期运动的条件为：

其中

2不连续映射和Poincaré映射P

定义边界函数hD（x）=b-x1，则x1=b对应于状态空间中的一个不连续面D，即约束面，定义为：D=x｜hD（x）=0。令hP（x）=hDx（x）f（x）=-v1，引进Poincaré截面P，P的定义为：P=x｜hP（x）=0，假设点x*是系统周期轨道与约束面D的擦边点，满足Φ（x*，t+T）=Φ（x*，t），然后忽略跳跃映射的影响，使轨线与Poincaré截面P横截相交，从而可以定义一个局部Poincaré映射Psmooth：P→P，满足P

当考虑跳跃映射影响时，在满足擦边周期轨道的初始参数值的扰动下，振子的动力学行为可用不连续映射方法[1]来进行分析。在擦边点x*的邻域内引进Poincaré截面不连续映射DM，则擦边轨线附近的Poincaré映射可以写成：

根据不连续映射的方法，可以得到

由文献[4-5]可知，当

时，系统将发生擦边余维二分岔，且Ψn的表达式可以简化成

第1行第2列的元素。

3数值仿真

由上节可知当满足

时，所对应的点是擦边余维二分岔点。选取参数k2=k3=5，m2=m3=10，Si=0.05，R=0.8，当n=1，通过数值计算求得?棕=0.28249，0.34779，0.39719，0.48459，0.70019…时，有Ψ1=0，反映在擦边曲线上如图2所示。图上“*”表示满足Ψ1=0的点，且从图中可以看出，w棕越小，出现的擦边余维二分岔点越多。

通过大量选取参数进行数值仿真及对结果分析比较得到了?棕=0.28249，b=1.92935时的擦边余维二分岔点附近区域的粗略分析图（图3），图中虚线为擦边曲线。

分别固定参数?棕=0.29和?棕=0.2818，变动参数b进行数值仿真得到系统的一系列相图（图4），其中图3中各个区域所对应的相图在图4中也以相同的字母表示。

4小结

本文针对一类三自由度碰撞振动系统，推导了系统擦边周期运动的存在性条件，通过建立擦边周期轨道的Poincaré映射得到了系统发生擦边余维二分岔的条件。最后在擦边余维二分岔点附近进行数值仿真，得到了擦边余维二分岔点附近的开折图以及各个区域内系统的相图。

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参考文献

［1］NordmarkAB.Non-periodicmotioncausedbygrazingincidenceinanimpactoscillator[J].JournalofSoundandVibration,1991,145(2):279-297.

［2］JieqiongXu,QunhongLi,NanWang,Existenceandstabilityofthegrazingperiodictrajectoryinatwodegree-of-freedomvibro-impactsystem[J].Appliedmathematicsandcomputation,2011,217:5537-5546.

［3］QunhongLi,LimeiWei,etal.Doublegrazingperiodicmotionsandbifurcationsinavibroimpactsystemwithbilateralstops[J].AbstractandAppliedAnalysis,2014,ArticleID642589,9,pages.

［4］ThotaP,ZhaoXP,DankowiczH.Co-dimension-twograzingbifurcationsinsingle-degree-of-freedomimpactoscillators[J].TransactionoftheASME,2006,1:328-335.

［5］徐德贵.碰撞振动系统的擦边余维二分岔研究[D].广西大学,2011.

［责任编辑：刘展］