张 凯
（山东师范大学 物理与电子科学学院，山东 济南 250014）
摘 要：使用两种不同的阵列光阑，将具有不同拓扑荷数涡旋光束透过这两种阵列光阑的夫琅和费衍射光场分别进行了计算.结果表明，在光阑参数选取适当的前提下，对于正方形环形孔径阵列光阑，可以得到任意拓扑荷数的涡旋光束清晰的点状衍射图样.衍射图样外围亮点的个数为拓扑荷数的2倍；而对于三角形孔径阵列光阑，在拓扑荷数较小时，容易得到衍射图样中的清晰完整亮条纹数目比相应拓扑荷数大1的结论，而当拓扑荷数较大时较难得到有规律结论，在两种不同阵列光阑下所得到的结论相差巨大.利用这两种阵列光阑发生衍射的方法可以在一定程度上方便地测量入射的涡旋光束的拓扑荷数，进而得其轨道角动量.
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关键词 ：涡旋光束；拓扑荷数；阵列光阑；衍射
中图分类号：O436文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）01-0003-03
1 引言
涡旋光束是具有螺旋型相位结构，在其传播方向的光轴上强度为零且存在相位奇点[1]，组成光束的每个光子都具有确定的轨道角动量的一种特殊光场.由于涡旋光场结构的独特性，其在信息编码与自由空间信息传输[2]、数据存储、光学开关、微操控[3]以及生命科学等领域有潜在的应用价值，近年来得到了广泛的关注和研究.Gibson[4]等利用涡旋光束的轨道角动量进行信息传输的可能性并进行了相关的实验,结果表明利用轨道角动量进行信息编码具有更高的保密性.而这一切的发展及应用与涡旋光场的轨道角动量密切相关.涡旋光束的轨道角动量等于l(其中l为涡旋光束的拓扑荷数)，因此对涡旋光束可以通过测量拓扑荷数来得其轨道角动量.目前，有不同的检测涡旋光束拓扑荷数的方法.Sztul[5,6]等人利用杨氏双缝干涉的方法来测量了LG光束的拓扑荷数；Weihs等人[7]用全息叉形光栅测量了涡旋光束的拓扑荷数；Leach等人[8]用棱镜马赫-曾德干涉仪测量了拓扑荷数；Guo等人[9]研究了使用一个圆环形孔确定光学涡旋的拓扑荷的方法.
作为一种简单检测涡旋光束拓扑荷数的方法，本文利用正方形环形孔径阵列光阑及三角形孔径阵列光阑对具有已知拓扑荷数的涡旋光束进行衍射，通过对衍射光场的场强分布特征与拓扑荷数的关系进行分析，找到具有不同拓扑荷的涡旋光束的衍射图像与拓扑荷数的关系，进而实现检测涡旋光束拓扑荷数的目的.本文还对两种光阑检测优缺点进行了分析，两种光阑衍射光场的场强分布差别显著，相比较而言，在参数选取合适的情况下，正方形环形孔径阵列光阑测量的适用范围广泛，而三角形孔径阵列光阑较适合拓扑荷数较小的涡旋光束的检测.
2 涡旋光束经方形环孔阵列衍射的理论分析及模拟
假设涡旋光束入射到正方形环形阵列光阑平面，其场分布为
E0(x0,y0,z=0)
其中w0为涡旋光束的束腰宽度，l为拓扑荷数.
在z=0的平面处放置一个环形孔径外边长为A,内边长为B，相邻环形孔径的中心间距为C的正方形环形孔径阵列光阑.该光阑如图1所示，其中白色区域为透光区域，黑色区域为挡光区域，该阵列光阑包含9个正方形环形孔径光阑.
将（1）式及正方形环形孔径阵列光阑透过率函数代入夫朗和费衍射积分公式得到观察z平面上的场分布：
由（2）式可以得到观察平面上的光强分布为：
I(x,y,z)=E(x,y,z)E*(x,y,z)(3)
将（3）式进行数值模拟计算可得到衍射图样，即得到不同拓扑荷数的涡旋光束经正方形环形孔径阵列光阑的夫朗和费衍射图样.在光阑参数选取方面，为了模拟简单起见，取正方形环形孔径的孔径宽度为定值，即B-A=1/120cm，其中相邻环形孔径的中心间距为C=1/3cm，且.当环形孔径内边长B取1/15cm时，在l取1,2,3,4,5,6时，与不同的拓扑荷数对应的的衍射图样分别为图2（a）:（f）所示；当b=2/15cm时，在l取1,2,3,4,5,6时，相应的衍射图像分别为图3（a）:（f）所示.
由衍射图像可以看出，当B取1/15cm时，图像由一系列亮点组成，且外围亮点总数为拓扑荷数l的两倍；当b=2/15cm时，亮点消失，亮点变成线段状，图像与B取1/15cm时的衍射图像相差巨大，得不出外围亮点总数为拓扑荷数l的两倍.随着进一步的数值模拟发现,随着B取值逐渐增加，图像变得更加模糊不堪.所以当B取值在1/15cm附近时,图像由一系列清晰地亮点组成，易得出外围亮点总数为拓扑荷数m的两倍的结论，而B取值偏离1/15cm时，得不到相应结论.所以通过选取适当的B的取值,数出外围亮点数目,就可以准确的得到涡旋光束的拓扑荷数，进而得到其轨道角动量，此方法对涡旋光束的拓扑荷数目取值没有太大限制，具有检测的普遍性.
3 涡旋光束经三角形孔径阵列光阑衍射的理论分析及模拟
在z=0的平面处放置一个三角形孔径底边长为E,高为F,相邻三角形孔径中心间距为F的三角形孔径阵列光阑.该光阑如图4所示，其中白色区域为透光区域，黑色区域为挡光区域，该阵列光阑由9个三角形孔径光阑组成.
将（1）式及三角形阵列光阑的透过率函数表达式代入夫朗和费衍射积分公式，取E=1/120cm，F=1/60cm，G=1/3cm，?棕0=1mm，通过数值模拟得到拓扑荷数l分别为1,2，3，4，5，6时的夫朗和费衍射图样，图样如下图5（a）：（f）所示.
通过衍射图像我们不难发现，当m=1时，有两条较为清晰的衍射亮条纹.当l=2时衍射图样为三条亮痕.当l=1,2时衍射图像明暗条纹较为清晰，拓扑荷数比起完整且较亮条纹条数在数目上差1，比较容易通过图像的亮条纹数间接检测出涡旋光束的拓扑荷数目.当l=3，4时，衍射图样出现多条亮度差异明显的的亮纹，但仍然可以看出分别存在四条、五条较完整且较亮的条纹.即当l=1,2,3,4时，发生衍射的涡旋光束拓扑荷数比起完整且较亮条纹条数在数值上差1，即完整清晰亮条纹数=l+1.但随着l增加，当l=6,7时，亮条纹数目难以界定，已经比较难得到上述结论.所以通过此三角形阵列光阑适合对拓扑荷数较小的涡旋光束的拓扑荷数目进行检测，因此有一定的局限性.
4 结论
通过涡旋光束在两种不同的阵列光阑下的衍射发现，其衍射图样结果差别巨大，图样规律也存在巨大差异.当涡旋光束透过正方形环形阵列光阑发生衍射时，在形环孔径外边长A、及相邻环形孔径中心间距C取值确定的前提下，改变环形孔径内边长B的取值，我们发现当B取值在1/15cm附近时会得到的图像由一些彼此分割的亮点组成，并且容易得到外围亮点总数为涡旋光束拓扑荷数l的两倍的结论；当B取值较大时，衍射图样外围亮点彼此连接，原有的亮点被线段取代，较难得出规律性结论，因此当参数选取合适时，比较容易通过上述规律检测涡旋光束的拓扑荷数l，从而可进一步确定该涡旋光束的轨道角动量lh.
在涡旋光束透过三角形孔径阵列光阑时，衍射图像为一条条的亮暗相间的条纹.对于拓扑荷数的不同取值，在l取值较小时，得到完整清晰亮条纹数=m+1的结论，当l取值较大时较难得到上述结论.因此对于拓扑荷数目较小的涡旋光束比较容易通过此光阑检测出其拓扑荷数，但当拓扑荷数较大时检测就比较困难，因此通过该方法检测涡旋光束轨道角动量有一定的局限性，值得我们进一步研究和改正.
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参考文献：
〔1〕J. M. Vaughan and D. V. Willetts. Interference properties of a light beam having a helical wave surface[J]. Opt.Commun., 1979, 30:263.
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〔3〕Ng Jack, Lin Zhi-fang, Chan C T. Theory of optical trapping by an optical vortex beam[J]. Phys. Rev. Lett.,2010,104 (10): 103601-1-4.
〔4〕G. Gibson, J. Courtial, M. J. Padgett, M. Vasnetsov, V. Pas´ko, S. M. Barnett, and S. Franke-Arnold. Freespace information transfer using light beams carrying orbital angular momentum[J]. Opt. Express, 2004, 12(22).
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〔6〕Chen Ziyang, Zhang Guowen, Rao Lianzhou, Pu Jixiong. Determining the Orbital Angular Momentum of Vortex Beam by Young´s Double-Slit Interference Experiment[J]. Chinese Journal of Lasers, 2008, 35(7).
〔7〕Weihs G, Zeilinger A. Entanglement of the orbital angular momentum states of photon [J].Nature, 2001, 412: 313–316.
〔8〕Leach J, Courtial J, Skeldon K, et al. Interferometric methods to measure orbital and spin, or the total angular momentum of a single photon [J]. Phys. Rev. Lett., 2004, 92: 013601.
〔9〕Weihs G, Zeilinger A. Entanglement of the orbital angular momentum states of photon [J].Nature, 2001, 412: 313–316