侯慎勇 赵 博
（长江师范学院数学与统计学院，中国 重庆 408100）
【摘 要】柱函数是数学物理方法中的一个重要内容，它包括贝赛尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数。这些函数表达复杂、性质众多、计算过程繁琐，学生在学习过程中感到很困惑。特别是柱函数积分计算比微积分中的积分要困难得多，通常使用洛梅尔积分教学计算。它的特点是只涉及同类柱函数乘积的积分。而在同轴谐振腔和同轴波导教学中，我们经常要涉及不同种类柱函数乘积的积分。因此，对这类积分进行研究，得到一般公式并应用于教学。
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关键词 柱函数；洛梅尔公式；积分
Discussion on Cylindrical Function Teaching
HＯＵ Shen－yong ZHAO Bo
(Institute of mathematical statistics, Yangtze Normal University, Chongqing 408100, China)
【Abstract】Cylindrical function is an important content of methods of mathematical physics. It includes Bessel function, Neumann function and Hankel function. Since these functions have complex expressions, lot of properties and the complicated process of calculation, students feel difficult to master them. In particular, the integral of cylindrical function by Lomel integral is more difficult than it in higher mathematics, which is usually the integral of same kind cylindrical function. However, the integral of different kind cylindrical function will appears in the teaching process of coaxial resonator and coaxial waveguide. Hence, this integral will be studied in teaching process.
【Key words】Column; Function; Lommel formula; Integration
作者简介：侯慎勇（1964.03—），男，汉族，重庆人，博士，长江师范学院，副教授，研究方向为高功率微波器件，在国内外公开刊物上发表了20余篇论文。
赵博（1979.05—），男，汉族，重庆人，硕士，长江师范学院，讲师，研究方向为数学教育，在国内外公开刊物上发表了10余篇论文。
0 引言
在柱坐标系里对拉普拉斯方程进行分离变量，人们得到了贝塞尔方程。它的解可由贝塞尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数表示[1-2]。在一般的数学物理方法的教材都给对它们的许多性质进行了详细的介绍。通过教师的讲解，学生都能够有效的掌握这些函数的性质和并且灵活的应用它们。但是，数学物理方法对柱函数的积分讲解不多，一般只介绍了贝塞尔函数的有关的积分，这对学生的后继课程的学习会带来不利的影响。因为在电动力学、电磁场与电磁波、微波工程课程中，经常会出现柱函数的积分，因此，在数学物理方法的教学中介绍一些柱函数的积分方法有助于学生对该课程学习。
本文针对这一问题，在柱函数积分的计算方面进行一些探讨。
１ 柱函数的性质
在电动力学、电磁场与电磁波、微波工程的教学中，常常会出现在如图1所示的同轴圆。
Tmn（x）=AmnJm（x）+BmnYm（x）（４）
Jm（x）和Ym（x）分别是贝赛尔函数和诺伊曼函数，Amn和Bmn是与x无关的常数，Tmn（x）是贝赛尔函数和诺伊曼函数的线性组合。通常称Tmn（x）是同轴波导的柱函数。在以下的讨论中，我们介绍柱函数Tmn（x）的一些性质：
通过matlab软件画出Tmn（x）与Jm（x）和Ym（x）随x变化的图形，如图2。图中m=3，A=B=1。
从图2中，可以看到Tmn（x）与Jm（x）和Ym（x）和一样都是准周期振荡函数，而且Tmn（x）的零点在Jm（x）和Ym（x）的零点之间。这样可以帮助学生了解柱函数零点的性质。
在贝塞尔方程的教学过程中，学生都知道贝赛尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数都有以下的公式：
然而，柱函数Tmn（x）是否具有相似的性质? 在教学中引导学生证明了Tmn（x）对（５）~（７）也同样成立。
关于贝赛尔函数的积分，经常应用到的积分是洛梅尔积分公式[4]：
它主要出现在于圆波导中的相关计算中。但是，在同轴圆波导中，由于电磁场是通过（１）~（３）表示，因此，在电磁场的功率和不同模式的耦合的计算中，往往需要计算
。但是，（８）~（９）式不能有效的解决这一积分的计算。为此，我们引导学生推导该积分公式：
式（１０）~（１１）是对洛梅尔积分公式的推广。
从式（６）~（１１），我们可以发现贝塞尔函数、诺伊曼函数、汉克尔函数和柱函数Tmn（x）存在相似的性质，这些关系能够加深学生对贝赛尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数的认识，提高他们在后继课程对这些积分的计算能力。
２ 柱函数的应用
在这里，通过事例说明（１０）~（１１）的应用。
例1 计算
解: 这个积分在同轴圆柱波导的教学中经常出现，无法使用公式（８）~（９）计算，而使用（１０）~（１１）可以方便的计算出个积分：
例2 在同轴圆波导和同轴谐振腔计算电磁场的功率时，会出现计算的两个积分
其中：vmn、R0是常数。
解：如果不采用公式（８）和（９），这两个积分是很困难的，而采用公式（１０）和（1１）时，过程就显得很简单。我们可以直接得到该积分
通过以上的推导，发现使用公式（１０）和（1１）能够贝塞尔函数与诺伊曼函数的乘积的积分和柱函数的积分变得容易简单。这给教学带来极大的方便，在学生后继课程的学习中对它们的学习提供一定的帮助。
３ 结论
本文对柱函数的性质进行了研究，发现它与贝塞尔函数、诺伊曼函数、汉克尔函数存在相似的性质。这将有助于提高学生学习积极性，增加它们对贝塞尔函数的认识，有助于学生的后继课程的学习。
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参考文献
［１］梁昆淼.数学物理方法[M].3版.北京:高等教育出版社,1998.
［２］胡崇斌.数学物理方法[M].2版.北京:高等教育出版社,北京大学出版社,2002.
［３］刘盛纲.相对论电子学[M].北京:高等教育出版社,2006.
［４］谢处方,饶克勤.电磁场与电磁波[M].北京:高等教育出版社,2006.
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