白阿拉坦高娃
（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）
摘 要：自同构映射在近世代数中较重要，例如比较一个集合与一个群、比较两个群等等.本文主要讨论两个元的集合的代数运算、置换以及自同构、对于哪些代数运算来说做成群等内容.
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关键词 ：两个元的集合；代数运算；置换；自同构；群
中图分类号：O153文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）08-0009-02
1 基本概念
文中所提到的集合G是非空的有限集合.
定义1 元素的个数是有限整数的集合叫做有限集合.
定义2 集合G×G到G的映射叫做集合G的一个代数运算.
定义3 集合G到G的一一映射叫做G的一个一一变换.
定义4 一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换.
定义5 集合G的一一变换？覬是一个对于叫做乘法的代数运算来说的G的自同构，假如对于？坌a，b∈G来说，有
定义5有限集合G对于它的乘法来说作成群，假如
I.G对于乘法来说是闭的.
II.乘法适合结合律：？坌a，b，c来说，有
III.乘法适合消去律：
若ax=ax’，那么x=x’
若ya=y’a，那么y=y’
2 两个元的集合的自同构
设集合G={a，b}
命题1 集合G有两个置换：（1），（12）即
（1）：a→a，b→b（称作恒等变换）
（12）：a→b，b→a
下面看一下G的代数运算：
G×G={（a，a），（a，b），（b，a），（b，b）}的每一个元选定对象有2种可能，a或b，所以G的代数运算共42=16个.
命题2 集合G有42=16个代数运算，具体如下：
命题3 恒等变换（1）对于G的任何代数运算°来说都是G的自同构.
若把两个元的集合、群、群的同构等彻底研究透了以后，利用这些群或集合可以讨论其他的集合与群的性质.比较方法就是两个集合（或群）之间建立一个同构映射（或同态满射），由已知群的性质可以推出同构（或同态）群的性质，所以它是一个很好的工具.
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参考文献：
（1）张禾瑞.近世代数基础（修订本）[M].北京：高等教育出版社，1978.
（2）杨子胥.近世代数（2版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
（3）胡冠章.应用近世代数[M].北京：清华大学出版社，1999.