刘雅倩1，朱家明2，曾淑娴2
（1.安徽财经大学 金融学院；2.安徽财经大学 统计与应用数学学院，安徽 蚌埠 233030）
摘要：本文针对一款新型的创意平板折叠桌的设计加工问题，参考立体几何学、物理力学、线性规划等理论，分别构建了动态变化过程描述模型与最优加工参数规划模型以及创意平板折叠桌设计模型，通过使用Matlab、Excel等软件，求解了模型中所涉及的各种问题并给出了具体的结论.
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关键词 ：创意折叠桌；受力分析；立体几何；规划模型；Matlab
中图分类号：TS665.3文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）05-0040-03
某公司生产一种可折叠的桌子[1]，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板.桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度.这款桌子设计复杂，需要综合用料，加工，桌子本身稳定性各个方面的综合考虑.本文试图建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，并讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数（相关数据见2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题[2]）.
1 折叠桌动态变化过程的数学描述
1.1 研究思路
在折叠桌展开过程中的任意时刻钢筋总是贯穿所有木条，由于钢筋是固定在最外面的那根木条上，首先计算出某一时刻t最外根木条的空间位置，再由最外根木条的位置计算钢筋的位置，除四根着地的木条外，其他所有木条的位置只受到两个约束条件：木条槽底端与钢筋的接触点和木条顶端与桌面的接触点，根据这两点可以分别求出其他木条的位置，通过画出不同时刻的折叠桌打开瞬时图来表现桌子的动态图.这里设定长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm.
1.2 模型的建立
要得到曲面方程，首先要对相对靠近外侧的两条木条即木条1和木条2进行分析，推导出一般的规律方程.首先分析桌子的俯视图，见图1.
图中A点和B点分别为木条1和木条2与桌面的衔接点.OB为圆的半径，设OC为hA，OD为hB，BC为lA,AD为lB,AE为l1.图中以圆心O为圆心，以OD连线为y轴建立二维坐标轴.则根据几何规律，分析得知：LA=60-l1，R=
，hA= 50/2=25.则AG与BI两根木条与钢筋的交点分别为FA，FB设A坐标为(lA,hA,0)，FA坐标为(lA+
sinθA,hAcosθA)，A点到桌腿与钢筋交点FA即为AFA的空间高度，与B点到桌腿与钢筋交点FB之间连线即为BFA的空间高度分别为zA，zB，xA，xB分别为FA，FB在x轴上的距离.容易知道zA=zB且xA=xB，zB=h/2cosθA，zB=BFBcosθB=zA，则可知BFB=
.
图中钢筋穿过所有木条，侧面图中的F点即为所有非着地木条的凹槽一端与钢筋的交点，根据几何图形的规律，分析知：xB=lB+BFBsinθB=lB+0.5l1cosθA tanθB,xA=lA+0.5l1sinθA，同时由xA=xB知tanθB=(lA-lB+ 0.5l1sinθA)/0.5l1cosθA，则可得到角度之间关系转化式：θB=arctan
.因为桌子最终状态时候的桌子高度是确定的，则最终状态时候的非着地木条与竖直方向的角度即为θA是可以计算出来的，即θA=acrcos0.9217=22.8°.确定整个桌腿曲面随角度变动的方程模型为：
2 折叠桌最优设计加工参数的确定
2.1 研究思路
这里以折叠桌的设计稳固性好、用材最少为原则[3]，建立多目标线性规划，再对两个目标分别赋予权重，将多目标线性规划[4]进行分步规划，使问题转化为单目标线性规划，求解出最优设计加工参数.这里假定桌高70cm，桌面直径80cm.
2.2 研究准备
折叠桌的稳固性主要取决于两个因素：折叠桌的重心位置和木条承受能力.
由于打开的折叠桌是一个不规则体，在假设钢筋不影响折叠桌重心位置的情况下，先对每条桌腿进行重心分析.一般而言，重心高度越高，则这个桌子越不稳定，越接近地面越稳定.假设每根木条质地均匀，则每根木条的重心位于其几何中心.用m表示每组桌腿的木条间的间隙大小，d表示长方形平板的长，i表示每组桌腿的木条根数，根据勾股定理，得到木条的长度如下：
li=0.5d-
，这里e表示每根木条的宽度，g表示长方形平板的宽.研究一中已求得每根木条的角度θi=arctan(li+1-li+0.5hsinθi+1)/0.5hcosθi+1.可以得到木条的平均重心位置的近似计算公式为：ki=0.5licosθi，K=
ki/i.为了简化问题的，桌腿断裂只考虑桌腿与钢筋连接处的断裂问题，钢筋的最大受重力无限大，钢筋不会发生断裂.将木条视为杠杆，木条与地面的交点视为支点，对与地面接触的木条进行受力分析.木条的承受能力越大，折叠桌稳固性越好.对桌子进行受力分析，主要有两种受力情形，第一种受力情形是钢筋位置在木条重心的上方，第二种受力情形是钢筋位置在木条重心下方.受力分析图分别如下：
图中B点为着地木条重心位置，A点为该根木条着地位置，C点为钢筋与着地木条交点位置，F为地面给木条提供的支持力，f为地面给木条提供摩擦力，G为木条重力，T为钢筋给木条提供拉力，设AC长度为x，容易知道θ+?茁=?仔/2.以第一种受力情况为例，对木条进行力矩分析：
F´l1sinθ=T(l1-q)-0.5Gsinθ，Tcosθ=(G+F´)u.
2.3 模型的建立
以第一种受力情况为例，建立如下方程组.方程组的约束条件是稳定性最大与用材最少，方程组的第一个式子反映了各个木条长度与各变量之间的关系，第二个式子是反应的是折叠桌处于最终状态时相邻两木条与竖直方向夹角之间的推导关系，第三个式子衡量的是设计木桌的重心所在位置，第四个式子是根据受力分析以分析桌子的最大载重情况，第五个式子和第六个式子是钢筋在木条上位置的约束条件.
2.4 模型的求解
鉴于多目标线性规划求解较为复杂，采取分步规划与控制变量相结合的方法来求解[5].
2.4.1 关于角度θ1的规划
桌子处于最终状态时，位于边缘的着地木条与竖直方向的夹角θ1，而这个夹角对于桌子的稳定性，桌子的参数设计等因素产生重要的影响.所以先对角度的变化范围进行规划分析.画出桌子最终打开状态的简单的俯视图，如果穿过所有桌腿的钢筋即图中的AB与桌面也就是圆O相离，则桌子的稳定性会变差，所以钢筋位置的临界值是钢筋AB与圆O相切的位置，见图7.根据这一临界位置算出θ1的临界角度，计算原理见图8.
图8中钢筋所在的与桌面相切的平面为面P，AD为折叠桌最外根木条的钢筋位置距木条地面的距离q，DC为折叠桌最外根木条的长度l1，CB等于桌面半径e/2.CD与竖直方向夹角为?茁.当钢筋位置在面P外时，折叠桌无法维持稳定，所以图示?茁为木条夹角的最大值，根据正弦定力可知sin?茁=BC/AC=BC/(CD-AD)=e/2(l1-q)，由此可求出?茁，得到木条夹角取值的最大值为46°.研究一计算θ1值为22.8°，并且分析角度不可能过小，这里确定的θ1的变化范围是12°到46°，同时设定θ1变动的步长值为2°.将桌高70cm，桌面直径80cm，u=0.5带入转化后目标函数，得到简化模型.将结果做成图形以直观地看出变动趋势，见图4.
根据上述方程式，计算出不同的夹角对应的折叠桌的承受力，并作出如下图形.
由图和表可知：当最外的木条与竖直方向所呈角度θ1≥42时，综合最优指标值明显较高，结合图分析，当θ1=42时，折叠桌承受力最大，稳定性最好，且折叠桌的表面积较小，用材较省.设定折叠桌一边的木条根数为32，对F´、Z进行无量纲化处理，并将其转化为效益型指标，由于缺少数据进行权重分析，这里我们假设对于加工折叠桌而言，其桌子的稳定性与加工用料的重要性相同，即两者的权重相同，都为0.5，则得到综合最优指标：
，易知，综合最优指标越大，折叠桌的设计就越好.通过逐步规划先得到式取最优解时对应的折叠桌木条的根数n，将其作为已知量带入式，得到F´、Z的最优解及所对应的木条槽点至木条底端的距离q，通过对比最优解的值确定θ1的最优取值，最终得到最优设计加工参数.
2.4.2 整体的规划结果
综上所述：对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径，折叠桌的最优设计加工参数为：平板的长为189cm；钢筋所在位置到折叠桌最外根木条底端的距离为19.52cm，即位于折叠桌最外根木条的1/3处；开槽长度结果见下表.
3 总结
通过确定的钢筋位置和桌面宽度建立模型，接着根据算出的桌腿长度，根据立体几何学知识，给出桌子的动态变化描述模型；要想给出桌子的最优设计参数，首先通过对折叠桌的受力与重心位置的分析建立折叠桌的稳固性约束方程，结合研究一的结论，进一步考虑加工的方便性和用材的效益性，从而建立一个多目标规划模型.通过利用分步规划、控制变量法与曲线拟合等方法，计算出在给定桌高与桌面直径的数值，计算出的最优解为：木条根数为32根，木板长度为189.148cm,钢筋在木条上的位置离木条末端为19.517cm.
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参考文献：
〔1〕平板边桌：Rising Side Table[EB/OL],http://www.ixiqi.com/archives/47763 .2014-09-12/2012-07-09.
〔2〕2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题[EB/OL],http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/93b5f5d9986693c2ebd67962cdc7d9df.html.2014-09-15/2014-09-12.
〔3〕向高军,季廷洪,杜博亚.创意平板折叠桌的设计[J].硅谷，2015(01).
〔4〕邱松强.非线性规划的可行性控制方法及其应用[D].苏州大学，2013.
〔5〕李朝霞.线性规划的数学模型及实际应用[J].宿州教育学院学报，2006(01).