本文自PISA 2012数据库中选取中国上海的数据。2012年，上海参加PISA项目测试的年龄为15岁3个月至16岁2个月的在校学生数为5177人，参与PISA项目的学校数为155所。
本文基于学生问卷和学校问卷数据构成的嵌套关系，使用多层线性模型考察教育补习对学生数学素养得分(以下简称数学成绩)的影响。在建构分析学生成绩变异的教育生产函数模型时，通常将性别、家庭经济社会地位以及学校类型等作为控制变量，以求在非随机分配的情况下模拟实验结果，使关键解释变量的回归系数可被视作因果效应的近似估计。[1]
其中MS代表学生的数学成绩①。自变量分为两层：第一层是学生水平变量，包括学生性别(gender)、学生家庭经济社会地位(escs)、数学补习②(mathoutschool)；第二层是学校水平变量，包括学校类型(public)和班级规模(classsize)。
尽管在线性回归模型中加入控制变量可使回归模拟实验结果，但很难保证找到合适的控制变量，使得条件独立假设(Conditional Independence Assumption，CIA)③成立。就本文而言，指即使加入了学生水平和学校水平的部分控制变量，仍很难检验条件独立假设成立。在近20年间，匹配(matching)开始成为一类经验研究的工具并逐渐引起计量经济学者的兴趣。匹配策略的吸引人之处在于经过某种倾向得分匹配后，实验组与对照组很接近随机分配的结果，从而保证了在控制一系列协变量之后，实验结果与处理的分配相互独立，即条件独立假设成立。至此可以获得回归系数的因果解释。本文将采用罗森鲍(P.R.Rosenbaum)和鲁宾(D.B.Rubin)提出的再加权倾向得分匹配法(Reweighting on Propensity Score Matching，以下简称RPSM)[2]，估算补习对学生成绩的影响效应。这种方法也适用于非随机抽样的样本，通过自举法(Bootstrapping)重新抽样获得处理效应估计值的标准误，以弥补以往PSM方法不能给出处理效应标准误的缺陷。这种方法给出的平均处理效应(ATE)、接受处理的平均处理效应(ATET)以及未接受处理的平均处理效应(ATENT)分别由以下公式估算[3]：
其中，
为是否接受处理的虚拟变量(此处指是否接受了数学补习)，如果接受了处理，则=1，否则为0。
为E(w｜x)的估计值，y为结果变量(此处指数学成绩)，N为样本量。
除了用RPSM法揭示课外补习影响学生成绩的因果效应外，本文还将在稳健性检验中给出加入相同控制变量后的多水平线性回归模型的补习效应估计，并将之与RPSM估计结果相比较。
二、实证分析结果
(一)描述统计
1.学生和学校变量描述性统计
从学生水平和学校水平变量的统计描述(见表2)可以看出：首先，在学生水平的变量中，上海学生数学成绩远高于OECD国家的平均水平(494)。上海参与PISA项目的女生比例略多于男生，上海学生中参与数学补习的比例超过了70%，而语言补习、科学补习、其他补习的比例也均在50%～60%之间；上海学生每周参加数学补习的时间多于其他科目的补习时间；其次，在学校水平变量中，上海公立学校比例达到91%，上海学校的平均班级规模为39.29人。
2.不同群体学生参与数学补习的比例分析
由表3可以看出，家庭经济社会地位高于平均值的学生参加数学补习的比例要显著高于家庭经济社会地位低的学生，高出9.7%。尽管PISA项目对学生和家长的调查问卷中没有涉及补习费用的题项，但前文已述的几项在中国、日本、韩国的调查结果均表明，补习费用在家庭教育支出中已占据重要地位，高昂的补习费用对于经济收入较低的家庭来说是难以负担的。因此，来自较高家庭经济社会地位的学生参与补习的比例高于来自较低家庭经济社会地位的学生也在情理之中。这种由于家庭经济背景不同造成的补习机会差异是否会导致这两类学生群体学业成绩的更大差异呢？换言之，补习是否会扩大教育结果的不均等程度呢？这是下文要着重探讨的问题。
私立学校的学生参与数学补习的比例显著高于公立学校，这可能与来自私立学校的学生家庭经济条件相对较好、有能力支付高昂的补习费用有关。女生参与数学补习的比例显著高于男生。
以上统计分析发现的不同群体学生参与数学补习的比例的显著性差异，将在后文Logit模型中进一步检验，此处的分析结果也是Logit模型中加入SES、性别作为解释变量的依据。
3.不同群体补习与不补习的数学成绩差异
由表4可以看出，在分性别比较中，补习与不补习的男生数学成绩相差22分，而补习与不补习的女生的成绩差异为17.5分；男生补习与不补习的成绩差值比女生高4.5分，但是这一成绩差值不具有统计显著性。在参与数学补习的学生中，女生数学成绩显著低于男生(低9.7分)，而在没有参与数学补习的学生中，女生数学成绩比男生低5.2分左右，差异不显著。显然，补习与不补习者的成绩差异不完全是补习的效应，笔者的基本推测是，数学补习给男生带来的成绩进步与女生大致相同，补习也不会扩大男女生成绩差距。
在分家庭经济社会地位的比较中，参与数学补习的来自家庭经济社会地位低于平均值的学生(以下简称低SES学生)比未参与补习的此类学生的数学成绩高20.3分，而参与数学补习的来自家庭经济社会地位高于平均值的学生(以下简称高SES学生)比未参与补习的此类学生的数学成绩仅仅高出1分，两类学生补习与不补习者的成绩差距存在显著性差异。在参与数学补习的学生中，高SES学生的数学成绩高于低SES学生60分，而在没有参与数学补习的学生中，高SES学生的数学成绩要高于低SES学生79.4分。因而，笔者推测，如果高SES家庭学生与低SES家庭学生参与数学补习机会相等，数学补习会给低SES学生带来更大的成绩进步，因而会缩小高SES学生与低SES学生成绩差距。后面的计量模型将验证这一假设。
(二)计量分析结果
1.补习效应的D.F.L.分解⑤
一些学者的研究结果显示家庭经济社会地位影响学生参加课外补习的机会，同时也影响学生数学素养成绩，因此研究补习对学生成绩的影响，就得剥离家庭经济社会地位的影响。D.F.L.(核密度函数重新加权方法)采用核密度估计来构造反事实的数学素养成绩分布，从而剥离补习效应中家庭经济社会地位等因素的影响。这种半参数的反事实估计方法最早由约翰·迪纳德(John DiNardo)、尼克·福鼎(Nicole M.Fortin)以及托马斯·勒缪科斯(Thomas Lemieux)用于工资收入不平等的研究中[4]，后来逐渐被用于分析政策或项目干预效应。不过这种方法仅能从成绩分布差异中直观评价政策或项目干预效应，而无法给出确切的效应估计值。后文将利用RPSM给出准确的效应估计值。
图1 学生的数学素养成绩D.F.L.分解结果
图1左上方图中的虚线是未参加补习学生的数学成绩分布，实线是将参加补习学生特征变量加权到未参加补习学生身上的成绩分布。可以看出加权之后的学生数学成绩在300～500分的区间比例要低于未加权的，但是在500～700分区间的学生人数比例更大，而700～800分区间的比例也有所下降。这反映了家庭社会经济地位等影响学生参与补习的变量分布特征对于学生成绩变异的影响(即成绩差异分解的结构效应)。图1右上方图中反映了参加补习的学生的成绩分布(虚线)与加权之后未参加补习学生的成绩分布的比较(实线)，两者的差异则是因补习导致的学生成绩分布的差异(即成绩差异分解的补习效应)。图1左下方的图给出了两者分布的差异，可以看出补习对特别低分段(350分以下)的学生成绩分布几乎没有影响，但对于350～800分数段的学生成绩分布有比较明显的影响。参加补习的在600～800成绩段的学生比例要略高于加权未参加补习的学生比例，而在350～600成绩段的学生比例要略低于加权的未参加补习的学生比例，由此，很有可能是参加补习之后，学生成绩提高，使得分布比例发生变化(即350～600成绩段的学生补习后很可能进入了600～800分数段，即补习产生微弱效应)。
2.基于RPSM的补习效应分析
正如前文所述，匹配策略的优势在于经过某种倾向得分匹配后，实验组与对照组接近随机分配的结果，从而保证条件独立假设成立，以获得回归系数的因果解释。因为倾向得分匹配模型中自变量的选择既要考虑影响结果变量的因素，也考虑影响接受处理的因素，本文将学生性别、学生家庭经济社会地位作为RPSM模型的协变量，采用再加权倾向得分匹配模型(RPSM)来揭示数学补习带来的学生成绩因果效应。⑥
统计结果表明，匹配后处理组和控制组各变量均值均不存在显著性差异，且通过了LR检验，LR检验统计量的P值为0.323，满足条件独立假设，表明匹配质量较好，结果可信。
由表5知，学生数学补习的平均处理效应为4.4分，补习给真正参加了补习的学生所带来的成绩净效应为3.1分，比未参加补习的学生的补习效应(7.7分)要低4.6分，说明未参与补习的学生可以从补习中获益更大。值得关注的是，未参与补习的学生很可能多数属于低收入的家庭。前文已提及高SES的学生比低SES学生参与补习的比例高出近10个百分点，表6也表明，家庭经济社会地位是影响学生参与补习的重要因素。如果这些学生能够参与补习，他们的学业成绩将得到提升。
由表6可以得出，性别、家庭社会经济地位是影响学生参与数学补习的重要因素，这与表3的统计结果一致，家庭经济社会地位变量的系数显著为正，再次验证了高SES学生参与影子教育的几率显著高于低SES学生。
3.稳健性检验
表7给出了在相同控制变量下OLS与RPSM数学补习效应估计值的比较，两种方法补习效应的符号与显著性是相同的，仅是数值上有差异，说明RPSM的结果是基本可靠的。OLS估计效应的前提假设是：是否参与补习是完全随机的，而实际情况很可能是低能力的学生选择参加补习的几率更大，高能力学生选择不参加数学补习的几率更大[5]，高能力学生可以通过自学获得更好的成绩。因而，OLS模型很可能遗漏了与参与补习呈负相关的能力变量而低估了补习收益。
4.补习时间对成绩的影响效应
不同学科的补习是否会存在“叠加效应”(additive effect)或“挤出效应”？本文采用两水平线性模型从补习时间的角度考察学生补习效应的差异。
从表8中模型1与模型2的结果比较看出，性别、家庭经济社会地位、学校类型、班级规模的系数值相差很小，说明模型的稳健性很好，研究结果的信度较高。这里主要分析补习时间对学生数学成绩的影响效应。从对上海学生样本的分析可以发现，数学补习时间对数学成绩没有显著的影响，但是语言补习时间对数学成绩有显著的负向影响，可能是因为学生语言补习时间过长挤占了其数学学习时间，而且语言学习与数学学习的方式、方法以及思维特性都存在很大差异；科学补习时间对数学成绩有显著的正向影响，可能是因为这两大类学科的相通性，不仅研究范式相近，而且学习过程都离不开逻辑思维。因此科学学习与数学学习效果存在“叠加效应”，而语言学习与数学学习效果存在“挤出效应”。
5.影子教育是否会扩大教育结果的不均等
此部分将探讨影子教育是否会扩大教育结果的不均等问题，本文采用加入交互项的两水平线性回归模型来分析补习对于不同家庭经济社会地位学生的数学成绩的影响效应是否存在异质性，以期为政府制定规范和控制影子教育的相关政策提供实证依据。
首先，对学生水平的自变量系数的考察发现，数学成绩有显著的性别差异，男生比女生成绩表现好⑦；escs对数学成绩的影响成倒U型曲线，即当escs低于某一值(0.649)时，随着escs的提升，其对数学成绩的影响也增大，但是高于这一值之后，随着escs的提升，其对数学成绩的影响反而减小⑧。参加数学补习对学生成绩有正向影响，但不显著。这可能是由于PISA测试的是15岁学生的数学素养，与各国数学课程内容关联不大，而上海学生参加课外补习都是针对数学课程内容的，因此参加补习对提高PISA测试的数学素养得分没有显著效应。这一结果与前文的RPSM结果以及补习时间模型结果相吻合。参加语言课外补习对上海学生的数学成绩有显著的负向影响，参加科学补习对数学成绩有正向的影响，这一结果与补习时间模型结果相吻合。
其次，对学校层面的自变量系数的考察发现，学校类型对数学素养有显著的影响，公立学校学生的平均数学成绩比私立学校低33分左右；班级规模对数学成绩有显著的影响，并且均成倒U型效应，上海的班级规模达到40人时，对学生数学成绩的正向影响最大，上海平均班级规模约为39人，已经很接近最优规模状态。
最后，从模型3中escs与参加数学补习的交互项系数可以看出，参加数学补习可以减小家庭经济社会地位带来的成绩差异，并且这种缩减效应是极其显著的，大约可以缩小近8分的差距。数学补习对于上海高SES学生与低SES学生的数学成绩的影响效应是存在异质性的，与前文描述性统计结果一致，补习可以给上海低SES家庭学生带来更大的成绩收益。因此如果不同家庭经济社会地位的学生参与课外补习的机会相等，课外补习可以缩小家庭经济社会地位带来的成绩差异，对于促进教育结果均等具有重要作用。
上海低SES学生的平均数学成绩显著低于高SES学生的平均数学成绩(低62.6分)，而且未补习的低SES学生的平均成绩仅为565分，因而，这部分学生如果参与补习，基本属于“补差”，可以获得较高的补习收益；而高SES学生未参与补习的平均成绩为645分，如果他们参与补习，则属于“培优”，补习收益微小，而且会加重他们的学习负担，挤占他们发展其他方面潜能的时间。近两年来，随着我国中小学减负政策的推行，中小学放学时间提前，家庭作业量大幅缩减，刺激了更多家庭和学生寻求课外补习，不同家庭背景的学生围绕影子教育系统的竞争日益激烈。[6]在此背景下，经济社会背景较低的家庭可能会选择让孩子参加课外补习活动，从而弥补父母在学业指导上的不足，缩小与其他儿童的学业成绩差距。本文的结果证明，上海经济社会背景较低的家庭为孩子的课外补习投资的决策是明智的，课外补习的成绩收益较大。表9中模型1～3控制变量的系数值表明，模型结果的稳健性很好，即研究结果的信度较高。
三、结论与讨论
综上所述，本文基于PISA 2012年中国上海学生样本数据，采用RPSM模型和多水平线性回归模型分析了影子教育——课外补习对学生数学成绩的影响效应。主要得到以下研究结论：
1.不同家庭经济社会地位的学生参与课外补习的机会存在较大差异。
高SES学生参加数学课外补习的比例显著高于低SES学生。两者相差约10个百分点，课外补习费用对于低收入家庭来说是相当大的开支。高昂的课外补习费用对于经济收入较低的家庭来说是难以负担的，因而很可能会影响低收入家庭对子女参与课外补习的决策。
2.参与数学课外补习能带来明显的成绩提升。
这一结论与OECD使用PISA 2012年的数据得出的结论类似[7]，尽管OECD的PISA报告中使用的计量方法与本文的方法不同。中国受儒家文化影响，家长都希望子女能够考入理想的大学，将来有很好的工作和事业发展。课外补习可以帮助子女在学业上取得进步，因而家长愿意进行此方面的教育投资，使子女获得更高的人力资本，以期将来获得更高的人力资本投资回报。而且大量实践结果让他们看到，课外补习的确能够让学生成绩提升，因此，他们愿意支付高昂的补习费用，以换取子女在选拔性考试中的收益。
3.不同学科的课外补习对数学成绩的影响不同。
科学课外补习与数学课外补习存在“叠加效应”。参与科学类课外补习能够起到促进数学成绩提升的作用，其成绩提升的效应是正向显著的。科学课外补习与数学课外补习产生“叠加效应”，主要基于这两大类学科的相通性，不仅研究范式相近，而且学习过程都离不开逻辑思维。相反，语言课外补习与数学课外补习存在“挤出效应”，参与语言课外补习对学生数学成绩的影响是显著负向的，笔者推测这是因为语文课外补习会挤占其数学学习时间所致。
4.如果不同家庭经济社会地位的学生参与课外补习的机会相等，参加数学课外补习可以缩减家庭经济社会地位带来的成绩差异，促进教育结果均等。
家庭经济社会地位高于平均值的学生的成绩要显著高于家庭经济社会地位低于平均值的学生，相差63分。参照联合国教科文组织统计研究所(UIS)开发的性别不平等指数、家庭背景不平等指数(1.108＞1.03)超过了平等范围(参见表10)。因此，有必要采取教育干预措施缩小不同家庭背景学生的学业成绩差距。根据学生补习效应的RPSM模型结果发现，未参与课外补习的学生的补习效应高于已经参与课外补习学生的补习效应，而未参与课外补习的学生多来自低收入家庭。研究发现，家庭经济社会地位较高的学生比家庭经济社会地位较低的学生参与课外补习的比例高出近10个百分点(表6也表明，家庭经济社会地位是影响学生参与补习的重要因素)。如果这些学生能够参与课外补习，则可以明显提升他们的学业成绩，缩小与高家庭经济社会地位学生的学业成绩差距，从而使得课外补习成为人力资本积累的“平等器”。从这一角度来说，政府和教育政策制定者应当看到课外补习的合理性成分，赋予课外补习“合法”地位。
本文发现，补习效应在不同群体间存在差异，对经济社会地位较低家庭的学生的效应更强，如果不同家庭经济社会地位的学生参与课外补习的机会相等，则参与课外补习可以缩减家庭经济社会地位产生的成绩差异，因此课外补习可以成为促进教育结果均等的工具。许多学者研究发现，在东亚国家，课外补习已经成为低收入家庭教育支出的必需项目[8-10]。根据中国、日本、韩国关于课外补习费用的调查，课外补习支出占低收入家庭收入的比重是相当大的，甚至会影响他们的日常生活水平。因此，为了充分发挥“学校教育是社会的平等器”⑨的作用，笔者建议政府和学校为家庭经济收入较低且学业成绩较低的学生提供必要的课外补习机会，免收其补习费用。可以效仿韩国政府推行的“放学后教育计划”，学校利用放学后的时间，由专职教师为低收入家庭学生提供“补差型”的学术课程补习，中央和地方政府为此提供专项经费支持。此外，倡议大型的教育补习集团设立贫困生补习基金和奖励基金⑩，为来自收入特低家庭的学生减免学费，为进步较大的贫困生提供奖学金，从而形成政府、学校和社会共同促进义务教育阶段的教育结果均等的局面。
①本文之所以选择数学成绩作为因变量，是由于2012年PISA的主要评估领域是数学，阅读和科学素养的测评题量相对较小，覆盖的范围不足以全面评估学生的阅读素养和科学素养，因而本文没有将这两科成绩作为计量模型的因变量。
②下文所谓补习，均指课外补习。
③条件独立假设是能对回归赋予因果解释的核心假设。这个假设有时又被称为来自可观察变量的选择性偏误，即加入这些可观察变量后，选择性偏误会消失。
④SES表示家庭经济社会地位，由escs变量生成，为离散变量，2点计分，1为高于所在参与国学生escs平均值，0为低于平均值。
⑤D.F.L.分解结果为使用pv1math的结果，其他4个pv值算出的结果差异不大。因篇幅所限，文中省略。
⑥本文将多水平模型的分析结果作为倾向得分匹配模型结果的稳健性检验的一部分，因而在模型选择上主要依据倾向得分匹配模型的自变量选择方式，采用与该模型相同的变量作为多水平模型中的自变量，从而使得两种模型方法的结果有可比性。
⑦在参与PISA 2012测试的65个国家(地区)中，37个国家(地区)的男生数学成绩显著高于女生数学成绩，仅有5个国家女生数学成绩显著高于男生。2003年PISA测试结果与此类似，在41个参与国家(地区)中，27个国家(地区)男生数学成绩显著高于女生，11个国家(地区)男生数学成绩高于女生，但不具有统计显著性，仅有1个国家男生数学成绩显著低于女生。
⑧这一结果与任春荣等人2013年的结果基本一致。参见任春荣、辛涛：《家庭社会经济地位对小学生成绩预测效应的追踪研究》，载《教育研究》2013年第3期。笔者推测，高SES的中国家庭的父母工作任务繁重，难以有时间陪伴和指导子女学习，甚至对子女的教育期望也不高；而且“富二代”或“官二代”的学习动力可能不足，从而造成这类家庭的子女成绩更低。
⑨学校教育是人们突破社会出身等的制约，向上流动、改善经济生活的开放路径。人力资本理论尤其强调，在完全竞争的市场条件下，所有人都可以通过投资教育来提高未来收入，从而促进经济平等。
⑩政府可以通过减免这些教育补习集团税收的方式鼓励和倡导他们提供这种具有公益性质的教育服务。