安徽省广德县第三中学(242200)刘海军
加速度是指单位时间内速度的变化量，即a=Δv/Δt，当时间间隔不为0时，加速度指的是平均加速度，为过程量，反映某一时间段物体的运动规律。当时间间隔趋于0时，原来的公式变为a=dv/dt即微商，此时a便是瞬时加速度，为状态量，反映某一时刻物体的运动规律。任何运动都可以存在平均加速度，但不是任何运动任意时刻都存在瞬时加速度。由瞬时加速度的定义式：a=dv/dt可以看出a是一个极限，即速度变化量在时间变化量趋于0时的极限。这个极限不是在任一运动规律任意时刻都存在。存在的条件是速度——时间函数要连续，且其一阶导数存在。
在高中物理中,瞬时加速度是一个比较重要的问题，同时也是一个比较难懂的知识点,教师都把其列为一个专题来处理。
1两种基本模型
1.1刚性绳模型
刚性绳（细钢丝、细线等）认为是一种不发生明显形变即可产生弹力的物体，它的形变的发生和变化过程历时极短，在物体受力情况改变（如某个力消失）的瞬间，其形变可随之突变为受力情况改变后的状态所要求的数值。
1.2轻弹簧模型
轻弹簧（轻弹簧、橡皮绳、弹性绳等），此种形变明显，其形变发生改变需时间较长，在瞬时问题中，其弹力的大小可看成不变。
1.3例题及解析
例1（2010年全国理综1）如图1所示，轻弹簧上端与一质量为m的木块1相连，下端与另一质量为M的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木坂上，并处于静止状态。现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1、2的加速度大小分别为a1、a2，重力加速度大小为g。则有（）
A．a1=0，a2=g
此题考查牛顿第二定律应用的瞬时加速度问题。要注意，弹簧中的弹力不能发生突变，而木板、轻绳、轻杆的弹力都可发生突变。
例2（2001年上海）如图2（甲）所示，一质量为m的物体系于长度分别为l1、l2的两根细线上，l1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l2水平拉直，物体处于平衡状态。现将l2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度。
(1)错解:设l1线上拉力为T1，l2线上拉力为T2，重力为mg，物体在三力作用下保持平衡。
T1cosθ＝mg，T1sinθ＝T2，T2＝mgtanθ
剪断线的瞬间，T2突然消失，物体即在T2反方向获得加速度。因为mgtanθ＝ma，所以加速度a＝gtanθ，方向与T2方向相反。
若将如图2（甲）中的细线l1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图2（乙）所示，其他条件不变，求解的步骤与(1)完全相同，即
a＝gtanθ，你认为这个结果正确吗?请说明理由。
(2)剖析：本题考查的是运用牛顿定律分析瞬时力和瞬时加速度，能对“弹性绳”和“刚性绳”两种理想模型的性质做出正确的判断。由于不能伸长的绳上力的改变不需要绳的长度改变，因而其弹力可以在瞬间变化；而弹性绳弹力的改变必须通过改变绳的长度才能实现，因而其弹力不能在瞬间变化。出现错误的原因是没有注意这两种模型的区别，将两种情况相混淆。
（3）思路点拨： 水平细线剪断瞬间拉力突变为零，图2（甲）中OA绳拉力由T突变为T′，但是图2（乙）中OB弹簧要发生形变需要一定时间，弹力不能突变。
对A球受力分析，如图3（甲）所示，剪断水平细线后，球A将做圆周运动，剪断瞬间，小球的加速度a1方向沿圆周的切线方向。
F1=mgsinθ=ma1,a1=gsinθ
水平细线剪断瞬间，B球受到的重力G和弹簧弹力T2不变，如图3（乙）所示，则
F2=mBgsinθ,a2=gsinθ
（4）正确解答：因为l2被剪断的瞬间，l1上的张力大小发生了变化。弹簧的长度及发生变化，T1大小和方向都不变。
1.4解决此类问题的基本方法
(1)分析原状态（给定状态）下物体的受力情况，求出各力大小（若物体处于平衡状态，则利用平衡条件；若处于加速状态则利用牛顿运动定律）。
(2)分析当状态变化时（烧断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等），哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失（被剪断的绳、弹簧中的弹力、发生在被撤去物接触面上的弹力都立即消失）。
(3)求物体在状态变化后所受的合外力，利用牛顿第二定律，求出瞬时加速度。
1.5补充习题及解析
练习题1如图4所示，A、B两滑环分别套在间距为1 m的光滑细杆上，A和B的质量之比为1∶3，用一自然长度为1 m的轻弹簧将两环相连，在A环上作用一沿杆方向大小为20 N的拉力F，当两环都沿杆以相同的加速度a运动时，弹簧与杆夹角为53°（cos53°=0.6）。
（1）求弹簧的劲度系数。
（2）若突然撤去拉力F，在撤去拉力F的瞬间，A的加速度为a′，a′与a之比为多少？
解析：（1）先取A、B和弹簧整体为研究对象，弹簧弹力为内力，杆对A、B支持力与加速度方向垂直，在沿F方向应用牛顿第二定律
F=(mA+mB)a①
再取B为研究对象
F弹cos53°=mba②
①②联立求解得，F弹=25 N
由几何关系得，弹簧的伸长量Δx=(1/sin53°－1)=0.25 m
由F弹=kΔx解得弹簧的劲度系数
k=F弹/Δx=100 N/m。
（2）撤去F力瞬间，弹簧弹力不变，A的加速度a′=(F弹cos53°)/mA
由②式得a=(F弹cos53°)/mB
所以a′∶a=mB∶mA=3∶1。
练习题2如图5所示,竖直光滑杆上套有1个小球和上两根弹簧,两弹簧的一端各与小球相连,另一端分别用销钉M、N固定于杆上,小球处于静止状态。
设拔去销钉M瞬间,小球加速度为12 m·s-2,在不拔去销钉M而拔去N瞬间,小球加速度可能是()(g=10m·s-2)。
A.22 m·s-2,方向竖直向上
B.22 m·s-2,方向竖直向下
C.2 m·s-2,方向竖直向上
D.2 m·s-2,方向竖直向下
解析：拔去销钉M瞬间小球加速度大小为
12m·s-2,则小球加速度方向可能有两种情况:向上或向下(设小球质量为m)。
(1)若加速度向上，根据牛顿第二定律知，拔去
M瞬间,小球的合外力等于弹簧2在剪断前的弹力，方向向下。根据剪断前小球平衡可得,弹簧1的弹力为22 m·s-2、方向向上，拔去销钉N瞬间加速度为22 m·s-2、方向向下。故选项B正确。
(2)若加速度向下，拔去销钉N瞬间加速度大小为2 m·s-2、方向向上。故选项C正确。
故本题正确答案为B、C。
2总结
高中物理中涉及到的瞬时加速度问题大多与
弹簧和绳有关,且均为“轻质弹簧”(没有质量的理想化模型)和“刚性绳”(受力但无形变的理想化模型)。要清楚二者在情况突然变化时的相同与不同之处。二者相同之处为:当二者其中一端解除限制(例如从一端剪断)时,力都突变为零;二者不同之处为:当二者两端均有限制而力发生变化时,弹簧的弹力不会突变,而刚性绳的力会突变。
收稿日期：201４-01-04