程林① CHENG Lin；许朝君② XU Zhao-jun
（①深圳大学，深圳 518060；②合隆集团，河源 517000）
（①Shenzhen University，Shenzhen 518060，China；②Hoplun Group，Heyuan 517000，China）
摘要： 由于B-S定价公式是在完全市场条件假设下推导出来的，这与现实存在很大的出入，所以后来的学者就针对市场条件状况，研究了不同市场条件下的期权定价，其中以不确定性市场条件下的期权定价为主，这显然与事实更加吻合。不确定性市场下的期权定价研究主要有欧式期权定价的情形、美式期权定价的情形、二叉树期权定价的情形以及实物期权定价的情形。文章在此基础上，分析总结了在这个市场假设条件下的研究现状，并给出了未来值得深入研究的方向：主要是进一步放松B-S定价模型的假设条件，引入更多的现实因素，深入研究不同市场状况下的期权定价问题。
Abstract: Because B-S option pricing formula was derived under the assumption of complete market condition, which was inconsistent with the reality. So according to market condition, the later scholars studied the option pricing under different market conditions, including uncertainty market, which was obviously more consistent with fact. Option pricing research situations under uncertainty market consist of European option pricing, American option pricing, binomial tree option pricing, and real option pricing. Based on that, this paper summarized the research status under this market hypothesis, and gave the further research direction. Mainly, further eased the assumptions of B-S pricing model, introduced more realistic factors, in-depth studied the option pricing problem under different market conditions.
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关键词 ： 期权定价；不确定性市场；欧式期权；实物期权
Key words: option pricing；uncertainty market；European option；real option
中图分类号：F830 文献标识码：A
文章编号：1006-4311（2015）06-0009-04
0 引言
期权是指期权合约的购买者拥有权利在预先约定的时间以预先约定的价格购买或卖出约定数量的标的资产。期权的基本特征在于它给予合约持有人的是一种权力而非义务，如果期权合约的购买者认为现行的市场价格比合约中的执行价格对他更有利，他便会放弃对期权合约的执行。期权使合约持有人的交易风险被限在某一水平之下，从而形成一种防范和规避风险的有效手段，因此期权合约的风险在买卖双方之间并不是完全对称的。然而，期权持有者获得权利并不是免费的，他要为此付出“代价”，这就产生了期权定价问题。
自从美国经济学家布莱克（Fischer.Black）和斯科尔斯（Myron.Scholes）1973年在《政治经济学期刊》杂志上发表了题目为《期权和公司债务的定价》的经典论文后，Black-Scholes模型成为期权定价的最经典的方法，几乎所有后来的期权定价模型都直接或间接地引用了该模型。然而B-S模型不足的是：它是在很多与现实明显不符的假设条件下推导出来的，即在比较理想的完全金融市场中得出的，如模型假设无交易费用、允许卖空、无违约风险、投资者的信息完全等，均与现实情形相悖，这就会大大限制了模型的使用和推广。
鉴于此，后来的学者在B-S模型的基础上，通过拓宽假设条件，引入与现实较一致的市场状况，获得了一系列改进版的期权定价模型。与完全市场相比，这是在不确定市场环境下的期权定价模型。文章在这样的背景下，针对不确定环境下的期权定价模型的研究现状进行评述，以期给后来的学者提供一个可以继续深入研究的方向。
在文章中，不确定性市场下期权定价研究即是指包括模糊环境下的期权定价模型，主要有模糊环境下的欧式期权定价、美式期权定价、模糊环境下的二叉树定价和实物期权定价。下面将一一予以评述。
1 不确定市场条件下的期权定价
随着对期权市场研究的深入，越来越多的学者认识到市场是不确定的，这是由于期权定价问题研究的是一种社会现象，它存在和发展所依赖的环境是社会环境，也就具有不确定性、复杂性和模糊性，而对模型进行判断、描述的人的思维也具有模糊性，因此在此基础上又给出了不确定市场环境下的期权定价模型。鉴于模糊理论的发展，以及模糊理论在处理随机不确定性问题上的积极作用，它在描述人的知识和行为的不确定性方面具有优势，加上模糊理论用于期权定价是对传统期权定价方法的有益的必要的补充，所以近来人们开始尝试将模糊理论用于金融领域，试图用其来描述金融领域中出现的不确定因素，因此将模糊理论引入经典期权定价模型的研究也就逐渐成为了热点。应用模糊理论于期权定价问题的研究主要有四个方面：应用于欧式期权定价问题、应用于美式期权定价问题、应用于二叉树定价问题和实物期权定价问题。
1.1 欧式期权定价的问题
由于Black-Scholes定价公式得出的理论价格与实际市场价值存在着明显的差距，这主要是由于假设过于理想化，而实际定价问题还要考虑到市场变化中存在的不确定性因素。正是考虑到金融市场上存在随机和模糊的不确定性因素，许多研究者都在考虑对经典的期权定价理论进行改进。
B-S欧式期权定价公式是在股票价格遵循几何布朗运动，且无风险利率和股票波动率为常数的假设下得到的，然而这与现实相悖。鉴于此，Yuji Yoshida[1]介绍了一种新的欧式期权模型，即在不确定性环境下（主要是随机性和模糊性），将模糊逻辑引入到随机金融模型中去，并证明了模糊价格的平价公式。但是，这个模型的不足之处在于：仅仅考虑股票价格一个要素为模糊随机变量，对其他市场数据仍假设为准确数，尤其将无风险利率假设为一个不变的常数，而Zdenek Zmeskal[2]则通过类似的方法有效地估算了一个公司的价值。
采用模糊决策理论和贝叶斯准则作为基础来测量模糊度进而应用于期权定价是一个有益的尝试[3]，应用模糊测量空间（包含四个维度：模糊状态、模糊样本信息、模糊行为和价值函数）来描述投资者的决策。对于完全一致理性假设，现实中的投资者的理性行为并不完全是一致的，因此就会存在不完全一致的理性行为。对于不完全行为，可以由模糊集来测量，每一个测量结果都代表了唯一的投资者的理性行为[4]。采用区间数及其可信度的形式来表示投资者对标的证券价格的主观推断与权衡，这种方法建立在较少的假设条件之上、易于计算，且运用该方法得到的欧式看涨期权估价结果与标准的B-S模型的定价结果一致[5]。然而方法中不足的是：无税收和无交易成本的假设和现实不符，这就使得结果难以有很大的信服力，进一步的研究中，作者只是简单地将税收和交易费用的相应值折算至期权执行时刻，这显然是欠缺考虑的，还有待进一步的斟酌。
针对标的资产收益率易变性的特点，有大量的学者致力于怎样能更好地描绘这种易变性，以使得能够得到更加合理的期权价格。Konstantinos A. Chrysafis和Basil K. Papadopoulos[6]将模糊估计量应用于期权定价理论，用模糊估计量来衡量标的资产（股票）收益率的易变性，将股票价格看做是一个对称的三角函数的模糊数字，并通过数据分析证实了方法的有效性。在B-S模型的基础上，加入易变系数、利息率和股票价格构建模糊环境下的非线性欧式期权定价模型，可以得到有利于投资者做出正确投资决策的价格[7]。但没有考虑到红利率的模糊变化过程，且结果仅仅是对B-S公式的形式进行一点改动，较难推广到其它衍生产品定价中。使用模糊技术来解决模糊环境下的期权定价问题，将互换利率、利息率和易变性引入到三角型的模糊数中，那么期权的价格就将转化为一个模糊的数字，研究发现这种方法在模拟不确定性环境问题时是有效的[8]，作类似研究的还有Hsien-Chung Wu[9]。然而方法的不足之处在于：对称的三角型模糊数形式和模糊程度与股票价格成比例的假设都过于严格。
在利用模糊理论估算欧式期权价值时，大多数模糊期权定价模型的结果仍然是在一个区间内或者是模糊数，这给投资者做决策带来了一定困难，因为结果的模糊性仍然可能导致因个人主观差异等因素造成决策的不一致。由于模糊理论应用期权定价的研究历史较短，因此关于此方面的研究在将来会成为一个焦点。
1.2 美式期权定价的情形
对于美式期权，由于其可提前执行的特征，无法找到解析解，使其理论结果受到限制，迫使人们不断寻找美式期权的数值解法。然而在传统的美式期权定价模型中标的资产上下波动程度相应地存在着模糊性，仅用概率论的方法难以很好地描述资产价格的变化过程，采用模糊理论表示证券的价值并将之用于美式期权定价的方法近来受到了研究者的关注。
由于期权交易是间断的、不连续的，因此探讨离散时间框架下情形就显得更有现实意义。作此类研究的学者有Yuji Yoshida[10]，在不确定的环境下，将投资者的主观判断引入到模型中。然而在作者的方法中，美式期权的价格依赖于决策者的模糊目标，也就是说对同一个模糊数，如果决策者的模糊目标函数不同就会得到不同的期权价格。之后作者[11]又用均值的方法来给模糊随机变量（模糊数字、模糊随机过程）估价，并将模糊随机变量引入到期权定价的数学模型中，进而推导出不确定环境下的美式看跌期权。然而关于这种方法的现实可行性，比如怎样更好地用均值来测量模糊变量，还有待进一步的考察和研究。对于现实中的期权市场，除了不确定性，还有其他的一些实际存在的因素，这就需要研究者考虑更多的现实条件，比如Zdenek Zmeskal[12]推导了一个混合模型，即将风险因素和模糊因素结合起来，还参考了模糊随机二叉树的定价方法，实例证明这样的结合可以更好地估计期权的价值，类似的有Stylianos Perrakis和Jean Lefoll[13]则研究了带交易费用的情形。
国内对于不确定环境下的美式期权的定价研究，还处在探索阶段，还没有形成一个完整的定价体系。不过还有值得肯定的地方：易艳春[14]讨论了银行利率、期望收益率、分红率以及波动率都是随机变量的情况下美式看跌期权的定价问题，并利用Fourier变换得出美式看跌期权的定价表达式，之后给出有交易成本的美式看跌期权的定价公式。但是研究中假设市场中只有两种资产，这与现实条件明显不符，因此公式的可信度还有待进一步的研究和探讨。
由于模糊变量可以较好地反映决策者的主观推断，数据与预测结果的模糊表达更接近事物的本质。所以在寻找美式期权的最佳执行时间、求解定价问题时，可以考虑模糊优化方法和数值方法结合起来进行应用。
1.3 二叉树定价问题
在二叉树定价模型的发展过程中，虽然人们已在其中加入许多现实因素，如股价发生崩盘或股票在期权执行期间发放红利等，但对股价运动的不确定性却没有很好的方法进行描述。模糊二叉树模型可以对股价运动的不确定性进行描述，而且可通过求解期望值的方法得出清晰的结果以便决策者进行决策。单期情况下，模型可以求出数值解；多期情况下，则可通过模糊模拟的方法得到结果。所以将模糊理论应用于二叉树定价，成为了众多学者研究的方向。
首先介绍下单时期下的二叉树定价问题，Silvia Muzzioli和Costanza Torricelli[15]假设股票的价格是跳跃性的且投资者没有掌握完全的信息，并应用模糊集理论来测量不确定性，进而给出了单时期下的二叉树定价模型。然而更多市场中出现的情况并未考虑，这是值得继续研究和探讨的。之后又研究了多时期下的二叉树定价问题，在风险中性的假设条件下，将股票价格看作为一个模糊数字来进行衡量，这个模型相对于标准二叉树定价模型而言，能够提供更加精确的定价结果[16]。然而这仅做出了初步的探索，对于金融市场中风险来源的复杂性和多样性，并没有做出更加深入的研究。S. Muzzioli和H. Reynaerts[17]则研究了多时期下的美式期权的定价问题。
对于股票期权的定价问题，主要是股价的波动变化使得难以得到一个理想的定价结果。由于股价的无法预测性而带来的决策困难，陈怡[18]进而将可信性理论引入到传统二叉树模型中，建立了模糊二叉树定价模型。该模型不仅可以对股价变化的模糊性进行描述，还可以将结果中的模糊性消除以便决策之用，对股票期权的定价问题求解提供了一个新的思路。但是，不足的是：该模型建立在一些列的假设之上：如市场中无套利机会，市场中无交易成本、允许卖空、无税收以及资产是无限可分的，这些假设过多且较为严格，在现实中是不可能存在的。因此对于得出的结果，还有待进一步的研究和探讨。在股票期权方面，可以考虑更多现实中已出现的事件，如发生崩盘或股票在期权到期之前发放红利等情况。除此之外，还有一些应用其他方法来描述股价变动的研究，如李伟[19]将模糊理论引入到传统的二叉树定价模型中，将股价波动看成是一个模糊数，建立了基于抛物型模糊数的模糊二叉树期权定价模型，取得了较大的研究成果：模糊数能更好地捕捉股价过程的不确定性、推导出模糊期权价格赋权区间以便投资者进行更好的投资决策、能对期权市场价格进行较为精确的预测。在应用模糊理论与期权价格的制定过程中，这是一个很好的思路。然而文中有很多与现实不符的假设：所有投资者拥有相同的预期、市场无磨擦、无卖空限制、资产无限可分、所有的投资者是价格接受者、利率为正、不存在套利机会。这显然与事实不符，还有待改进和进一步的研究探讨。
二叉树模型虽然可以对标的资产的运动进行很好地描述，但随着期数的增加，其复杂程度也是急剧增加的，尤其是加入更多的模糊因素之后。即使是使用计算机对模型进行计算，如何改善其计算速度也是一个值得关注的问题。
1.4 实物期权的定价问题
由于模糊二叉树模型对于投资中的模糊性可以进行很好的模拟，并得到清晰值以供决策者参考，有研究将模糊二叉树模型应用于实物期权。赵振武[20]讨论了模糊环境下实物期权的估价方法，这能够为项目投资选择提供一个较为科学的分析框架。
实物期权作为一个新兴的研究领域，它的发展对管理者进行合理的项目投资和管理都有显著的意义，Christer Carlsson和Robert Fuller[21]讨论了模糊实物期权下的项目安排问题，用实物期权的理论来制定项目实施的最优路径，以保证在每期都能使得投资最大化。之后又讨论了在模糊环境下的实物期权的估值问题，用不规则的模糊数字来表示预期的现金流和成本费用的大小。这个结合主观判断和统计数据不确定性的模型使投资者在做投资决策时能够更好地理解实物期权的问题[22]。然而市场是有效的假设过于绝对，且市场上不可能所有的投资者都是理性的。其他研究方面，Mikael Collan和Robert Fuller[23]用模糊支付方法来对实物期权进行估价，然而由于这种方法在理论界还不被广泛地注意，所以具体的性能还有待进一步的研究实证。
由于实物期权的兴起历史较短，所以对于实物期权的定价研究既是难点也是热点。模糊理论应用于实物期权定价问题可以将客观信息和管理决策者的主观经验结合起来，更符合实际情况，便于管理决策者的理解和运用，从而在一定程度上缩小了理论和实际应用的差距。
2 总结
文章主要分析了不确定性市场条件下的期权定价研究现状，不确定性市场下的期权定价方法主要是通过模糊理论来推导，并阐述了用模糊理论于欧式期权定价、美式期权定价、二叉树定价和实物期权定价。
有关期权定价方法的研究在不断的探讨和发展中，从理论上讲，期权发展是无止境的，从实际上讲，期权是复杂多变和应用广泛的，因此研究探讨期权定价方法的共性和个性，对于深入研究复杂市场条件下的期权的定价有重要意义。对于完全市场条件下的期权定价研究已经日趋成熟，并形成了较为完整的定价系统。然而放松完全市场的部分假设条件，探讨在不确定市场条件下的期权定价问题：主要是进一步放松B-S定价模型的假设条件，引入更多的现实因素，深入研究不同市场状况下的期权定价问题，显然更具挑战性和现实价值。关于这方面的研究，还没有形成一个较为完整的理论体系，这值得我们深入研究和探讨。
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