郑红 ZHENG Hong
（温州职业技术学院，温州 325035）
（Wenzhou Vocational & Technical College，Wenzhou 325035，China）
摘要： 优化设计是将最优化理论和计算技术应用于机械设计领域，为工程设计提供优化设计的方法。MATLAB优化工具箱具有编程工作量少、语法符合工程设计习惯的特点，本文应用MATLAB软件，以RV减速器一级齿轮传动体积最小为目标函数进行优化设计，并给出了优化设计实例，与原设计方案相比，取得了良好的优化效果。
Abstract： Optimization design is to apply optimum theory and computing technology into the field of mechanical design to provide the optimization design methods for engineering design. MATLAB optimization toolbox has many characteristics， such as the programming workload is less， the grammar conforms to engineering design practice and so on. MATLAB software is applied in this article， the minimum transmission volume of the first RV reducer gear as the objective function to optimize design and put forward the optimal design example. Compared with the original design scheme， it achieves good optimization effect.
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关键词 ： MATLAB优化设计；目标函数；约束函数；RV减速器
Key words： MATLAB optimization design；objective function；constraint function；RV reducer
中图分类号：TG457.23文献标识码：A文章编号：1006-4311（2015）25-0085-03
基金项目：温州市科技计划项目（项目编号：G20120011）“基于救援机器人的RV减速器研发”的阶段研究成果。
作者简介：郑红（1968-），女，江西南昌人，温州职业技术学院机械系副教授，研究方向为机械设计制造及自动化。
0 引言
机械优化设计是最优化方法与机械设计的结合，设计工具是计算机软件及计算程序，设计方法是最优化数学方法。机械优化设计，就是在给定载荷及工作环境条件基础上，在机械产品的性态、几何尺寸关系或其他因素的限制（约束）的范围内，根据设计要求及目标，选定设计变量、建立目标函数，并使其获得最优值，设计出经济可靠的机械产品。
换句话说，也就是在满足一定约束的前提下，寻找一组设计参数，使机械产品单项或多项设计指标达到最优。机械优化设计因其目标函数和约束函数普遍呈非线性的特点，设计步骤为先根据实际的设计问题建立相应的数学模型，在建立数学模型时需要应用专业知识确定设计的限制条件和所追求的目标，确定设计变量之间的相互关系等，并使之满足强度、刚度及运动学等约束条件。数学模型一旦建立，优化设计问题就变成了一个数学求解问题，应用优化理论，设计优化程序，以计算机为载体计算得到最优化设计参数。
美国可口可乐公司是全球最大的饮料公司，拥有全球市场48%的占有率，为降低生产成本，提升品牌竞争力，可口可乐瓶有一段优化设计的佳话，优化处理后的可口可乐瓶重只有原重量的80%，而瓶子的容量、性能却丝毫未受影响，仅此一举就节省了可观的材料费用，带来了可观的利润。
近年来制造业转型升级、国家推出“机器换人”工程，把机器人、高端数控设备的应用推向了高潮，但基于机器人的RV减速器一直是个技术难题，直接影响到机器人的工作性能指标。
RV减速器产品在结构上由一级渐开线齿轮传动和一级摆线针轮行星传动串联构成，渐开线齿轮传动构成第一级传动，摆线齿轮行星传动构成第二级传动。RV减速器是一款刚度最高、振动最低的机器人用减速器，能够提高机器人工作时的动态特性，减小传动回差，而且还具有体积小重量轻、结构紧凑、传动比范围大、承载能力大、运动精度高、传动效率高等优点。
RV减速器广泛应用在机器人、数控机床行业，传统设计全由设计人员手工完成，但在性能更好、使用更可靠方便、成本更低、体积或质量更小的指标要求下，希望能从一系列可行的设计方案中精选最优，传统的设计方法做不到，因而有必要采用优化方法来确定其设计参数。
RV减速器优化设计要解决的问题，与其使用场合的具体要求有关。在保证传动能力的条件下要求齿轮传动及针摆传动体积最小或质量最小；在润滑要求较高时，需要优选齿轮的几何参数使齿轮副具有形成油膜的最佳条件；优化齿轮传动的惯性质量分配，以便最大限度地减少工作时间的振动和噪声，以及传动功率最大和工作寿命最长等。
对于不同类型的RV减速器，其优化设计具有各自的特点，设计变量一般选择齿轮传动的基本几何参数或性能参数，如齿数、模数、齿宽系数、传动比、螺旋角、变位系数和中心距等。
根据优化目标的不同，RV减速器设计可以有多种最优化方案，本文讨论的是在满足齿轮传动强度、刚度和寿命条件下，使RV减速器转矩最大、体积最小或质量最小。
基于RV减速器的机器人抓握机械手工况条件，8小时工作，正反转，轻载平稳，空载起动，室内工作，使用寿命5年，在温州职业技术学院工业中心单件生产，机器人机械手转矩T3=20 N·m，转速n3=5rpm，为优化设计对象，要求在保证齿根弯曲疲劳强度和齿面接触疲劳强度的条件下，获得转矩最大、体积最小、重量最轻的传动装置。应用MATLAB软件优化工具箱对电机转矩做最大值优化，即应用fmincon函数对电机转矩的倒数求最小值优化，优化的目的是求出在转矩最大的情况下，齿轮传动体积最小，实际上就是求齿轮齿数的取值。因此以转矩最大为优化目标，建立优化设计数学模型。
1 目标函数
①工作载荷计算功率P3。
因为T3=9550*P3′/n3 ，代入得20=9550*P3′/5，所以P3′=0.01kW，把P3′打上机器工作载荷系数K=1.5，得
P3=P3′*K=0.01*1.5=0.015kW
②应用针摆传动效率η2=97%，计算第二级针摆传动功率P2，得
P2=P3/η2=0.015/0.97=0.016kW
③应用渐开线齿轮传动效率η1=95%，计算第一级齿轮传动功率P1，得
P1=P2/η1=0.016/0.95=0.017kW
④应用电机传动效率η=99%，计算电机功率P，得
P= P1/η=0.017/0.99=0.018 kW
⑤计算电机转矩。
因为RV减速器总传动比为i=-Z2/Z1*Zb，则电机转速为n=i*n3=5*（-Z2/Z1*Zb），
所以电机转矩为T=9550*P/n=（9550*0.018）/（5*（（Z2/Z1）*Zb））N·m
对于第二级针摆传动，设计采用一齿差摆线针轮行星传动，因此针齿齿数Zb必须为偶数，Zb用数学表达式来表达，即Zb=2*k，而10≤k≤50，则电机转矩表达式为
T=（9550*0.018）/（5*（（Z2/Z1）*（2*k）））N·m。
所以，电机转矩表达式有3个变量Z1、Z2、k，即X=[x1，x2，x3]T=[Z1，Z2，k]T，表达式变为T=（9550*0.018）/（5*（（x（2）/x（1））*（2*x（3））））。
机械手的工作要求是转矩足够大，而MATLAB软件的fmincon函数只能进行最小值优化，所以对电机转矩求倒数，对电机转矩的倒数作最小值优化，即
1/T=（5*（（x（2）/x（1））*（2*x（3））））/（9550*0.018），
所以在MATLAB中，目标函数f（x）=（5*（（x（2）/x（1））*（2*x（3））））/（9550*0.018）。
2 非线性约束条件
①非线性约束条件1。
根据机器人抓握机械手工况条件、载荷条件，可以判定齿轮几何尺寸不大，模数较小，初定为0.5或1mm；转矩也不大，约为20N·m，电机转矩理论上应该可以控制在1 N·m以内，即T=（9550*0.018）/（5*（（x（2）/x（1））*（2*x（3））））≤1，则
1/T=（5*（（x（2）/x（1））*（2*x（3））））/（9550*0.018）≥1
所以1-（5*（（x（2）/x（1））*（2*x（3））））/（9550*0.018）≤0构成非线性约束条件1。
②非线性约束条件2、非线性约束条件3。
RV减速器对总传动比有范围要求，140≤i≤180，即
140≤（（x（2）/x（1））*2*x（3））≤180，展成两个表达式，即
140-（（x（2）/x（1））*2*x（3））≤0，（（x（2）/x（1））*2*x（3））-180≤0，整理后140-（x（2）/x（1））*2*x（3）≤0及（x（2）/x（1））*2*x（3）-180≤0构成非线性约束条件2、3。
综上，非线性约束条件共3个，
1-（5*（（x（2）/x（1））*（2*x（3））））/（9550*0.018）≤0
140- （x（2）/x（1））*2*x（3）≤0
（x（2）/x（1））*2*x（3）-180≤0
3 线性约束条件
①线性约束条件1、线性约束条件2。
为使RV减速器偏心轴轴承与摆线轮之间的作用力不至过大，渐开线齿轮传动中心距a应是针齿基圆半径R的0.35~0.65倍，这个可归为结构尺寸条件。
因为要设计出在转矩最大前提下，体积最小质量最轻的RV减速器，必须使齿轮传动的中心距最小，RV减速器的结构紧凑，所以初定针齿基圆半径R=（30~40）mm，所以
a=（0.35~0.65）*R=（0.35~0.65）*（30~40）=（10.5~26）mm，取整后11≤a≤26。因为
a=1/2*m*（Z2+Z1），因为模数越小，齿轮的几何尺寸就越小，所以模数取0.5，则
a=1/2*0.5*（Z2+Z1）=0.25*（Z2+Z1），所以11≤0.25*（Z2+Z1）≤26，即
11≤0.25*（x（2）+x（1））≤26，展成两个表达式，
-0.25*x（1）-0.25*x（2）≤11及0.25*x（1）+0.25*x（2）≤26构成线性约束条件1、2。
②线性约束条件3、线性约束条件4。
为使第二级摆线针轮行星传动部分输入转矩不至过大，第一级渐开线齿轮传动的传动比必须控制为i≥1.5，但单级齿轮传动比又不宜大于5，所以1.5≤Z2/Z1≤5，即
1.5≤x（2）/x（1）≤5，展成两个表达式，
1.5*x（1）-x（2）≤0及-5*x（1）+x（2）≤0构成线性约束条件3、4。
③线性约束条件5、6、7。
小齿轮齿数的取值范围8≤Z1≤20，展成两个表达式，-Z1≤-8，Z1≤20，即
-x（1）≤-8及x（1）≤20构成线性约束条件5、6。
大齿轮齿数的取值范围Z2≤100，即x（2）≤100构成线性约束条件7。
④线性约束条件8、9。
因为Zb必须为偶数，所以Zb用数学表达式来表达，即Zb=2*k，10≤k≤50，展成两个表达式，-k≤-10，k≤50，即-x（3）≤-10及x（3）≤50构成线性约束条件8、9。
把9个线性约束条件写矩阵表达式，即
-0.25 * x（1）- 0.25 * x（2） ≤-11
0.25 * x（1）+ 0.25 * x（2） ≤26
1.5 * x（1）- x（2） ≤0
-5 * x（1）+ x（2） ≤0
-x（1） ≤-8
x（1） ≤20
x（2） ≤100
-x（3）≤-10
x（3） ≤50
4 MATLAB编程
把上述计算过程编写成MATLAB程序，应用MATLAB软件优化工具箱对电机转矩做最大值优化，即应用fmincon函数对电机转矩的倒数求最小值优化，优化的目的是求出在转矩最大的情况下，RV减速器中心距最小，实际上就是求齿轮齿数的取值。
该数学模型为3个设计变量、12个约束条件的多元函数最小值问题，采用MATLAB软件优化工具箱求解最优结果，进行非线性有约束多元函数最小值计算，命令函数为fmincon，主程序如图1，非线性约束条件如图2，程序运行结果如图3。
程序经过6次迭代计算，MATLAB计算优化结果：
Z1 =9.7009，Z2=34.8305，k=19.4962，1/T=4.0721，
即T=0.24 N·m。
5 数据优化处理
因为齿数一定为整数，所以取Z1=10，Z2=36，i1=36/9=4。
又因为Z1<17，齿轮会产生根切现象，但齿轮传动的中心距又必须控制，所以略加大齿数，采用变位齿轮，取Z1=12，所以Z2=i1*Z1=4*12=48。
因为齿轮模数m=0.5mm，所以齿轮传动中心距a=0.5*m*（Z2+Z1）=0.5*0.5*（48+12）=15mm，满足初定的齿轮传动中心距取值范围11~26mm。
用优化处理的参数计算电机转矩的最大值T=0.24 N·m。
6 比较与结论
RV减速器齿轮传动原设计电机转矩为0.2N·m，中心距为20mm，经过MATLAB软件优化工具箱优化处理，电机转矩增至0.24N·m，中心距降为15mm，满足齿根弯曲疲劳强度条件和齿面接触疲劳强度条件，在保证传动能力的前提下减速器体积减少了约30%，效能非常可观。
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参考文献：
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