周生宝1，王雪标2，刘书舟3
（1.大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009；2．东北财经大学数学与数量经济学院，辽宁大连116025；3．西北政法大学经济学院，陕西西安710122）
摘要：本文从波动率角度建立了含水平效应和跳跃项的异方差GARCHU短期利率模型。研究结果表明，我国短期利率的异方差主要是由水平效应和跳跃成分造成的。GARCHU模型能解释我国短期利率的异方差性、均值回复、尖峰厚尾性以及波动的连续和非连续变动的统计特征，结果显示了较好的拟合与预测效果。
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关键词 ：短期利率；水平效应；跳跃效应
中图分类号：F830. 33
文献标识码：A 文章编号：1000-176X（2015）07-0047-05
收稿日期：2015 -02-18
基金项目：国家自然科学基金项目“我国通胀预期和通胀风险溢价与宏观因子作用机制的计量研究”（71273044）；大同大学博士科研启动基金项目“我国利率期限结构、通胀预期与风险溢价关联的计量研究”（2013 -B-03）；东北财经大学重点研究基地项目（2014029）
作者简介：周生宝（1979 -），男，山西闻喜人，讲师，博士，主要从事金融风险与管理研究。E-mEul： zhouguo haiushi@163.com
一、问题提出与研究综述
作为资金价格的利率受到多种因素影响，反过来其变动亦影响整个宏观经济。市场参与者把短期利率作为政策与市场风向标，而政策制定者把短期利率作为影响经济的最主要的有效工具。然而由于短期利率不仅表现出具有水平相依性、波动性，以及均值回复性、尖峰厚尾性，而且有时其波动具有集簇现象，即条件异方差性。这种条件异方差波动有时会有水平效应，同时由于诸如货币政策调节、标普评级的改变等较大事件的冲击，又表现出不同程度的突变特征——跳跃效应。因此，如何建立合适的短期利率模型刻画其动态行为及统计特征，找出这些动态特征的影响因素及其隐含信息，受到了央行与学者的广泛关注。
欧美国家市场经济较为发达，利率市场化早，相关研究比较丰富。Chan等采用广义矩法对比了能反映水平效应的CKLS模型和MERTON、CIR、BRENNAN-SCHWARTZ等传统短期利率模型，认为没有参数限制的CKLS模型在利率数据拟合和预测上更优，同时发现美国利率水平效应值为1. 5000。Bali着重研究了美联储短期利率的波动问题，认为利率随机波动中有跳跃成分，突发的跳是利率波动的风险来源。Johannes分析研究了美国的利率数据，认为加入跳后的连续扩散模型能提高对数据的拟合优度，跳跃项反映了宏观经济对短期利率的冲击影响，是形成短期利率尖峰厚尾性的重要原因之一。Dahlquist研究了丹麦、德国、瑞典和英国的利率期限结构，认为利率水平效应和波动率具有正相关性，波动的水平效应都介于0-2之间；同时均值回复性是利率模型应该反映的基本特征，研究亦指出在1985年由于货币政策的变化导致了丹麦利率序列中发生突变行为，但他并没有用含有跳的利率模型做进一步研究。Bali和Wu分别基于线性和非线性扩散项的异方差模型综合分析了美国短期利率的动态行为，认为含有GARCH波动率项和非正态分布的干扰项将能弱化漂移项的非线性设定要求，而含非线性漂移项的模型在利率水平较高时才具有一定优势，其表面利率波动中确实有异方差行为。Sanjiv应用含有泊松跳的高斯利率模型考察了美国短期利率数据，认为泊松跳可以刻画原高斯模型难以刻画的数据特征，在一般高斯模型中加入跳跃项或者ARCH项将增强模型对数据的拟合能力，如果模型含有跳跃项同时也含有区制转换过程，这将有助于提高模型对短期利率的动态行为预测。Tugba借助分别含有t分布、正态分布扰动项的 GARCH、 EGARCH、GJR - GARCH 和APARCH模型研究了美国和土耳其隔夜利率的波动率问题，认为在2000年1月至2011年6月的数据有尖峰厚尾性，同时存在水平效应，波动率具有异方差性，非对称的GARCH模型能较好刻画和预测利率波动率。
在国内，郑尧天和杜子平采用GARCH模型族对中国银行间同业拆借利率进行了研究，认为EGARCH模型有较好的拟合效果，异方差的精确刻画有助于预测CHIBOR的走势。刘凤琴和戈晓菲借助含有跳的CIR模型分别刻画了由利率市场变动导致的利率扩散过程和由于宏观政策变动导致的利率跳跃行为，揭示了利率均值回复的原因。潘婉彬等用扩散模型研究了我国银行间7天拆借利率，认为我国利率的水平效应值为1.4213，均值回复对利率水平较敏感。赵静娴和詹原瑞借助连续短期利率模型估计出我国同业拆借、银行间国债回购和交易所国债回购利率的水平效应系数分别为0. 4860、0. 5800和1.0215．同时认为这三个市场中的利率存在极为显著的均值回复性。刘薇和范龙振采用广义矩法借助只含水平效应的CKLS模型研究了银行间和上交所国债回购利率，表明银行间市场的回购利率其波动有更加显著的水平效应，且此市场中利率均值回复速度要明显小于交易所回购市场，但这种简单的CKLS模型对两市场中的利率及其波动的变化预测能力较差。陈辉和谢赤对比分析了JUMP-ARCH模型、跳扩散模型、ARCH扩散模型和一般扩散模型，认为JUMP -ARCH模型在解释利率波动时占优，跳跃是利率波动和均值回复的主要原因，而且此模型能解释国债回购市场中的周一、周五效应。周生宝等用含泊松跳的CKLS模型研究了我国短期利率的行为特征，认为短期利率均值在2.1100%左右，均值回复速度为0.0800，每年大约有21. 3300次跳跃行为。
二、数据选择分析
同业拆借利率是市场的重要参考指标，本文选择近4年IB0007日985个数据作为对象。利率及其一阶差分序列的图像如图1和图2所示。
从图1和图2可以看出，利率的前期波动相对后期波动的要小，较大利率值对应着较大的波动，长期有回复到均值的趋势：差分序列有波动集簇现象，利率可能具有异方差效应和水平效应。
自相关和偏自相关与单位根检验如表1和表2所示。
可见利率自相关性较高，一阶偏自相关也显著且一阶滞后偏自相关较小；一阶差分序列有自相关和偏相关性。ADF单位根检验表明，在5%和1%的显著水平上序列平稳。
三、构建模型
1．GARCH模型分析
拟合ARMR和AR模型表明AR （1）相对较好，但其残差不服从正态分布、残差平方和自相关显著，以此为基础拟合①GARCH （0，1）和GARCH（1，1），均值方程和方差方程分别为：
其中，ε为AR （1）的回归残差；et为正态分布扰动项。估计结果如表3所示。
两个模型系数都通过了显著性检验，方差方程稳定。拟合优度、残差平方、标准差、对数似然值、AIC、BIC准则表明GARCH（1，1）较优。GARCH（0，1）的残差正态性检验Jarque -β值为1402. 8000，p值为0.0000；GARCH（1，1）的残差正态性检验Jarque-β值为176.7200，p值为0.0000。虽然后者更接近正态分布，正态性检验结果均被拒绝。GARCH（1，1）模型的异方差检验F统计量值为1.7975，p值为0.1662，LM统计量为3.5930，p值为0.1658，这表明模型能够部分消除异方差，但两模型拟合优度和对数似然值都不大。
本文认为，模型GARCH（0，1）的效果不如GARCH（1，1）的原因可能是利率波动集簇除受新息影响外，还受波动的记忆性影响。GARCH（0，1）只能刻画新息冲击的影响，而GARCH（1，1）却能同时刻画新息与前期波动影响。
2．含水平效应的GARCH模型
冲击具有持续性致使利率波动有水平效应，方差方程中加入利率水平是较好选择，简称GARCHL。现有研究表明水平效应系数在0-2之间是合理的。因此，在GARCHL中，令0≤γ≤3采用迭代算法逐步以步长0. 1000增加γ的值来拟合模型异方差项
结果表明当γ=1.1000时模型拟合较好，且此时GARCHL（1，1）的AIC、BIC、拟合残差平方和标准差明显低于GARCHL（0，1）模型；而其拟合优度R2和调整的Rz及对数似然函数值都显著较高。GARCHL（1，1）估计结果为：
由0.2721+0.6210+0.0047<1可知，协方差平稳。R2=0.8553、残差平方和为113. 3400、对数似然值76.4300、AIC值为0.0134、BIC值为0.0374，这也优于单纯的GARCH模型，表明含有水平效应的异方差模型是可行的。对残差平方做相关性检验，所有系数显著为0；异方差检验时F统计量值为1.2223，p值为0.2691，LM统计量值为1. 2233，相应p值为0.2687，模型消除了异方差。按此模型利率均值为2. 3744，回复速度为0. 0780。从新息ε1和方差h1的系数看，加入水平效应后前期新息与方差对回归方差的影响降低了，从而佐证了水平效应对异方差有显著影响，利率水平是异方差的来源之一。但是GARCHL类模型只能刻画利率的连续性变化，对突发的跳跃特征是无法捕捉的。
3．含跳跃效应的GARCHL模型
在GARCHL（1，1）模型中加入跳，简称GARCHLJ模型，具体为：
所有参数估计值显著不为零，用对数似然值、AIC值、BIC值与GARCHL的相应值进行比较表明GARCHLJ模型更优。GARCHL可作为GARCHLJ中J=0而得到，能视做包含关系，这样可用似然比检验他们之间是否有显著性差异。LR= 168. 4765，而0. 5%显著水平、自由度为1的卡方分布临界值为5. 0239，即模型有显著区别。对残差平方做相关性检验，系数显著为0；异方差检验F统计量值为1. 3521，p值为0.3152，LM统计量值为1.2832，p值为0.2972，显著消除了异方差。具体GARCHLJ模型为：
前期rt-1对方差h1的影响显著从GARCHL模型的0. 0047降到0.0290，水平效应从1.1000减小到0.5783，这表明突变的跳是异方差的来源，加入跳跃变量能解释短期利率的突变行为。
因此，GARCHLJ既能捕获利率的连续变化又能刻画其非连续的变化，是此类中最优的。这样利率理论均值为2.2105，回复速度0.0823，每年大约发生9.0500次突变行为。
4．蒙特卡罗模拟及样本外预测
一个模型是否有广泛的适应性，要看它能否刻画数据的典型特征，下面用蒙特卡罗模拟方法考察模型对数据尖峰、厚尾特征的刻画能力，同时考察模型的样本外预测能力。
利率初始值从原始利率的前20个中随机抽取，以减少对初始值的依赖。由拟合的GARCHLJ模型重复模拟5000次生成利率路径。采用均匀核函数的核密度估计出峰度和偏度的分布密度，模拟结果如图3和图4所示（阴影是一个标准差范围，其间实线是利率数据的峰度和偏度值）。
峰度值的模拟结果集中在均值周围，峰度的方差较大，标准差10. 8884，均值15. 7488，实际峰度值为17. 3048，位于模拟结果的一个标准差之内。偏度分布较分散，标准差1.3821，均值为2. 6344，利率实际偏度3.0343，同样位于模拟值的一个标准差之内。表明模型对数据峰度和偏度刻画能力较强。
模型一步预测采用如下方法：对容量为985的整体来说，先用前970个估计模型，然后用估计的模型对第971个数据预测，用同样的方法分别对其余数据估计新模型并预测，结果表明，预测值的标准差0. 6595，均值为3.2673，真实值标准差为0. 6124，均值为3.3555。预测值有60%在一个标准差之内，表明模型有较强的预测能力。
四、结论
我国货币政策基本已经从直接调控转变为间接调控，面对日益复杂的国内外经济形势，非常规的货币政策对利率的形成和传导产生着重大影响。特别是股市的崩盘、金融危机爆发、货币政策的实施引发了利率市场中出现非连续的跳跃行为，同时我国利率数据具有较强的波动集簇现象，这又说明其波动可能含有水平效应。常规异方差模型可以有效地刻画金融市场中连续性波动的时变特征，但难以捕获时间序列中间断的跳跃性波动和波动的水平效应。因此，本文以具有代表性的同业拆借利率为研究对象，从波动率建模的角度构建了含有水平效应、泊松跳跃项的GARCHU异方差短期利率模型。
研究认为，只用ARMA模型完全不能消除异方差，GARCH模型能够部分消除异方差，但不能刻画利率波动的水平效应。GARCHL模型兼顾了GARCH的特点并刻画了波动的水平效应，但是拟合效果不如GARCHU模型好，原因在于最优GARCHLJ中跳变量捕获了利率的不连续行为，而这种不连续性恰恰是异方差的来源之一。GARCHLJ模型对我国短期利率数据拟合较好、能够反映利率数据的尖峰后尾性，有较强的预测能力。本文构建的GARCHLJ模型能较好地刻画我国短期利率的动态行为、捕获其演化特征，这不仅有助于更好地把握我国利率变化的规律，为风险管理和利率市场化的深度改革提供参考，而且模型能直接应用于衍生产品的定价中，得到更加精确的资产价格，从而为金融衍生品创新与资产定价提供新依据。
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参考文献：
[1]Chan，K C.，Karoli，G A.，Longstaff， F.A.，Saunders， A.B.An Empirical Comparison of Altemative Models of the Short Term Interest Rate[J]. The Journal of Finance， 1992， 47 （3）： 1209-1227.
[2]Bali，T.G.Modeling the Stochastic Behavior of Short-Term Interest Rate： Pricing Implications for DiscountBonds[J]. Journal of Banking and Finance， 2003，27（2）：201-228.
[3] Johannes， M.The Statistical and Economic Role of Jumps in Time Interest Rate Models[J].The Journal ofFinance， 2004，59（1）：227-260.
[4]Dahlquist，M.On Altemative Interest Rate Processes[J].Journal of Banking and Finance， 1996，20（6）：1093 -1119.
[5]Bali，T.G.，Wu，L R.A Comprehensive Analysis ofthe Short-Term Interest-Rate Dynamics[J].Journal of Banking and Finance，2006，30（1）：1269-1290.
[6]Sanjiv，R D.The Surprise Element： Jumps in InterestRates[J]. Journal of Econometrics， 2002， 106（1）：27-65.
[7] Tugba， D.Forecasting Ovemight Interest RatesVolatility with Asymmetric GARCH Models [J].Journal of Applied Finance and Banking， 2012，6（2）：151-162.
[8]郑尧天，杜子平．EGARCH模型在同业拆借利率预测中的应用[J].湖北民族学院学报（自然科学版），2007，（2）：31-36.
[9]刘凤琴，戈晓菲．利率跳跃扩散模型的理论估计与蒙特卡罗模拟检验[J]．管理工程学报，2009，（4）：91-95.
[10]潘婉彬，陶利斌，缪柏其，中国银行间拆借利率扩散模型的极大似然估计[J].数理统计与管理，2007，（1）：158-163.
[11]赵静娴．詹原瑞．CKLS框架下短期利率模型的比较分析[J].山西财经大学学报，2007， （4）：33-37.
[12]刘薇，范龙振．基于CKLS模型的银行间与上交所债券市场国债回购利率行为的比较分析[J].预测，2006，（2）：54-58.
[13]陈辉，谢赤．包含Jump-Arch过程的利率模型及其应用[J].管理科学学报，2008，（2）：80-90.
[14]周生宝，王雪标，郭俊芳，基于含异方差的CKLS模型的利率特征研究[J].科技管理研究，2013，（2）：218-223.
（责任编辑：孟耀）