浙江杭州市余杭区良渚第一小学（３１１１１３） 沈国梁
［摘 要］数学广角中的数学思维含量非常高，它可以有效地发展学生的数学思想。面对这一新的内容，许多教师都不知道如何教学，出现了种种误区。教师要理清教学思路，探寻数学广角的有效教学策略，发展学生的数学思想，训练学生的数学思维，让数学广角教学之路更精彩。
［关键词］数学广角 误区 研究
［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（201５）05-020
人教版中高年级各册小学数学教材在最后都安排了一个单元——数学广角，其目的是为了培养学生的数学思维与数学思想，它对发展学生的数学素养起着非常重要的作用。所以，面对这一新的内容，许多教师都不知道如何来教学，出现了种种误区。下面，笔者就结合当前部分教师在教学数学广角时出现的误区，谈谈如何拨开这些误区的面纱，从头开始，研究数学广角的教学策略，促进学生数学素养的有效发展。
一、数学广角教学误区
１．数学广角教学重演示轻实践
【教学案例一】排列与组合
数学广角安排此内容的目的是让学生通过自主操作来发现如何才能进行有序的排列与组合，从而发展学生的抽象思维与逻辑思维，促进学生在思考问题时可以让自己的思维更有序、更全面。但是有位教师在教学时，为了节约时间，每一道例题的教学都是先多媒体演示，学生观看如何进行排列与组合，看看是如何进行连线的，然后再让学生进行模仿，从而让学生掌握正确的排列组合方法。
这样教学虽然学生通过观察与模仿也能形成正确的排列与组合方法，但是这种方法没有经过学生大脑的思考，学生没有真正投入思维活动当中，学生的思维脱离了自己的亲身体验，这是不利于发展学生抽象思维与逻辑思维的。所以，数学广角的教学不能以多媒体课件来代替学生的操作与实践。
２．数学广角教学重方法轻思想
【教学案例二】鸡兔同笼
数学广角安排这个内容的目的除了让学生掌握鸡兔同笼问题的解题策略，更重要的是想培养学生数学的基本思想，比如对应思想、假设思想、比较思想、转化思想、代换思想等方面的思想。教材的安排是先让学生通过列表来发现答案，然后通过假设的方法来让学生学着换一种思想来思考问题，最后是让学生用设未知数列方程的方法来逐步掌握这些数学思想。但是很多教师在教学这一数学广角内容时，却忽略了这些数学思想，就题解题，把本来是培养学生基本数学思想的教学内容变成了应用题教学或是奥赛教学。
数学广角的教学不能与应用题教学或者奥赛教学等同起来。因为应用题教学与奥赛教学的最终目的是培养学生的解题能力，而数学广角的教学重视的是学生数学基本思想的发展，它除了要帮助学生寻找解决问题的策略，还要为学生指明解决问题的方向。所以不能只重视方法教学而忽略思想的发展。
３．数学广角教学重教材轻拓展
【教学案例三】简单组合
“在２００２年世界杯Ｃ组的巴西、中国、土耳其、哥斯达黎加四个队，每两队踢一场，一共要踢多少场？”教材中安排的排列组合有两种方法，一种是把四个队放在正方形的四个角上，通过两两连线来确定场数，另外一种是把四个队放在一条线上，按照从左到右一一连线的方式来计算场数。某个课堂上，有一位学生提出一种方法——表格式，因为他平时看一些比赛就是用表格来表示的，这样也好写上积分，但授课的教师却以这种方法太复杂而制止了学生的表述。
教材受篇幅的限制，对某一知识点的安排往往是以点带面，特别是数学广角内容的安排，往往教材只是给学生的思路提供一个范例，其他的需要学生自主去探索。所以在教学时，教师不能以教材为中心，教材中有的就教，没有的就不讲，这样与编者安排这一版块内容的初衷就相违背了。教师应将内容进行系统处理，让学生有机会拓展相关的数学知识，形成更高层次的数学素养。
二、数学广角教学的研究
拨开了覆盖在数学广角外围的云雾，我们就要重新理清教学思路，探寻数学广角的有效教学策略，发展学生的数学思想，训练学生的数学思维。
１．数学广角教学深度要符合学生数学水平
【教学案例四】植树问题
教学完植树问题之后，教师应根据学生的数学水平，适度拓展解决问题的深度，让学生体会相同的问题在不同的情境下会有不同的结果，从而形成依据现实情况来寻找解决策略的习惯。
１．Ａ点到Ｂ点有１５０米，每３米植一棵树，两头都植，一共需要多少棵树苗？
２．从小明家楼房到小红家楼房１５０米，两家想在路的一边每隔３米植一棵树，一共需要多少棵树苗？
３．学校椭圆形操场长１５０米，学校想在操场周围每３米植一棵树，一共需要多少棵树苗？
这三道题目虽然都是植树问题，而且数据也是一样的，但是它们的解法却完全不一样，学生只有把它们放到具体的实际情境中才能灵活解决。而且，这三道题目都在学生的认知水平上，通过努力都可以解决。这样的内容设计是合理有效的。但是有的教师在教学这一数学广角时，安排给学生解决的植树问题却非常难，比如把１０棵树植成５行，每行要有４棵树；把７棵树植成６行，保证每行有３棵树；等等。这些题目都是奥赛题目，一般学生是解答不出来的，所以把这些教学内容安排到课堂上是十分不合适的。
所以，在教学数学广角时，适当拓展一下深度是可以的，但是这个深度要符合学生的数学水平，是让学生通过努力就可以解决的问题。如果学生面对那些有深度的问题一筹莫展，拓展的内容也就失去了它的意义。
２．数学广角广度要符合学生生活环境
【教学案例五】数字和编码
这一次数学广角是在学生已经对门牌号、教室号等编码有了一定认识的基础上，让学生从更广阔的角度来理解数字不仅可以表示数量，还可以用来编码，而本节课的教学也就是让学生可以进行一些简单的数字编码，培养学生的创新思维能力。教材的安排也是从邮政编码、身份证号等学生经常接触到的生活用品来入手，把教学置于学生的生活环境中。教材中所有的练习题也都是从学生的生活中选取的，这样就可以有效地激发学生的探究欲望。一位教师在安排学生课后进行编码练习时，所安排的任务是到学校图书室了解学校图书的编码规律，并设计一些新的编码进行交流。事实上，学生平时到图书室机会不是很多，对于图书的分类也不太了解，况且图书的编码远比教材中的一些编码复杂得多，离学生的生活环境也比较远，学生很难完成这样的任务。虽然教材中也安排学生了解图书编码，但是这种编码仅局限在班级的图书角，书的种类与数目不多，学生可以完成任务。因此如果让学生用学校图书室的图书进行编码，那么就已经脱离学生的能力水平了。所以，我们选取数学广角的教学内容要贴近学生的生活环境，只有这样，才能让学生的探究活动更有效。
数学广角中的有些内容离学生的生活很远，再加上学生没有生活经验作为基础，就很难全身心投入学习当中，其教学效果也会大打折扣。因此，在选择教学内容的广度方面要遵从学生的生活实际，要从学生的现实生活中找一些教学素材，根据需要对教材内容进行取舍，放弃一些不贴合学生生活环境的例子。在保证教学目标可以有效完成的情况下，从学生生活中挖掘一些教学案例，让教学内容与学生的生活联系更加紧密，促进学生有效调动自己的生活经验，激发学生探究的兴趣。
３．数学广角教学策略要以生为本
“学生是数学学习的主体”是新课标的精神，其深远意义也得到了广大教师的认可。下面要谈的是在数学广角教学中，如何落实以生为本的教学策略。
（１）以生为本，恰当设计教学目标
也许有许多教师认为，在教学数学广角时，教材挖掘得越深，教学目标设计得越高，学生的数学思维训练就越高效。其实，这种想法是错误的。教学目标完成的情况如何得看学生的具体情况，设计的教学目标要以学生的年龄特征与知识水平为基础，不能过深，也不能过浅，不能过窄，也不能过宽，一切要以生为本，要通过了解学生具体的数学经验水平来设计恰当的教学目标，不刻意拔高教学目标，也不随意降低教学目标，力求做到保证基础目标的完成，适当拓展教学目标。我们也可以制定分层次目标，在尊重学生差异的基础上让每一位学生都有所发展。
例如教学案例四中的植树问题，所设计的教学目标就是遵从学生的实际水平，没有设计过于复杂的目标，也没有局限于教材中的几个例题，而是在完成基本知识技能的基础之上，适当拓展学生对不同情况植树问题的解决策略，从而发展学生的数学思想。
（２）以生为本，关注思想形成过程
数学广角的教学不在于学生掌握了多少解题策略，而在于学生在学习过程中丰富了哪些数学经验，形成了哪些数学思想。但是数学思想是隐性的，它不像数学知识与技能那样，通过几道数学题的解答就可以发现学生是否掌握了，它比数学知识更抽象。人教版的数学广角中的内容都是把数学思想以直观的形式呈现在学生面前的，学生在学习的过程中就可以形成数学思想。所以，在教学时，要以生为本，关注每一位学生在学习过程中思想的形成，关注他们是如何形成思想的，从而及时调整教学策略，让每一个学生的数学思想都能在数学广角的教学中得以发展。
还是教学案例四中的植树问题，第一次我是让学生猜各种植树情况，然后再通过交流让学生形成解决植树问题的各种策略。其实在这一过程中，学生根本没有形成数学思想，只是形成了数学技能，所以，在第二次教学时，我让学生在草稿本上画出各种情况的草图，让学生交流自己的草图。这样，学生经历了知识的形成过程，数学思想得以有效渗透。
（３）以生为本，灵活处理教材内容
在教学案例一中，我没有运用多媒体来教学，也没有让学生严格按照教材的方法来教学，而是让学生自己想办法找到解决问题的方法。结果有的学生用文字来表述搭配方法，有的学生用字母来演示搭配方法，有的学生是用画图来表示的，有的学生是用数字来表示的，还有的学生用算式来计算有多少种搭配方法。但是，纵观这些搭配方法，都有一定的次序，学生把知识数学化的过程也非常清晰。这种教学方法体现了“大数学”的教材观，在以生为本的基础上，灵活处理教材内容，起到了非常好的效果。所以，在教学时，我们要仔细分析知识点之间的联系，跳出教材看教材，允许学生利用教材以外的方法来解决问题。这样，也就不会出现教学案例三中那位教师的尴尬了。
总之，数学广角中的数学思维含量是非常高的，它可以有效地发展学生的数学思想。所以在教学时，我们只有走出教学误区，研究更好的教学策略，才能让数学广角的教学拨开云雾见月明，才能让我们的数学广角教学之路更精彩。
（责编 金 铃）