文/徐 斌
【摘 要】《信号与系统》中的系统时域分析时，系统响应在0时刻具有不连续性的特点。冲激函数匹配法是0-状态（起始状态）求0+状态（初始条件）的有效方法之一。针对目前教材和教学参考书中关于冲激函数匹配法的介绍不系统，学生对该法的学习感到困难的问题。本文对冲激函数匹配法在求解系统响应时的应用进行系统研究。
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关键词 冲击函数；教学；信号与系统
1.引言
《信号与系统》课程中，时域经典方法求解线性时不变系统响应比较繁琐，很多教材淡化了该部分内容。如果不将时域求解系统响应上升到物理层面，对后面三大变换的学习和理解有困难。系统响应求解离不开系统初始状态（0-状态）到初始条件（0+状态）的跳变这一问题，而解决这一问题的最有效方法即为冲激函数匹配法。该方法是一种数学的通用解法，具有广泛应用价值。但笔者在多年教学中发现，关于冲激函匹配法的介绍都比较繁琐，逻辑分析不严谨，导致教师对该法的教和学生的学均感到困难。一些教材为了绕过这一教学障碍，淡化甚至回避这一内容，因此如何让冲激函数匹配法的教学浅显易懂在《信号与系统》课程教学中具有重要意义。
2.系统响应的划分和初始条件的跳变情况
2.1零输入响应
零输入响应是激励为零，起始状态单独作用时引起的响应分量。既然输入为零，那么，系统就没有冲激或者阶跃信号作用。因此，系统零输入响应rzi(t)及其各阶导数项在零时刻都不会跳变，rzi(0+)=rzi(0-)。
2.2零状态响应
零状态响应是初始状态为零，单独由激励源作用时引起的。既然起始状态为零，那么rzs(0-)=rzs′(0-)=…=rzs(n)(0-)=0。此时，系统响应及其各阶导数在零时刻可能会发生跳变。
2.3全响应
求全响应时，系统初始状态不为零，激励源也不为零，因此系统响应在0时刻可能有跳变，但该跳变与求零状态响应时的跳变不一样，是在初始状态(不为零)的基础上跳变。
3.冲击函数配备法的数学描述
如果系统的数学模型抽象为
r′(t)+2r(t)=δ(t) （1）
由方程可知，右端δ(t)不是属于r′(t)就是属于2r(t)。由于讨论的是系统响应从0-状态（起始状态）求0+状态（初始条件）的跳变，因此将讨论区间定义在邻域[0-,0+]上。不妨假设右端δ(t)属于2r(t)。既然r(t)含有δ(t)，那么r′(t)就含有δ′(t)；但是方程右端又没有δ′(t)，为了平衡r′(t)中的δ′(t)，r(t)中应该含有负的δ′(t)，这样r′(t)中就必须含有δ″(t)。同样的道理，方程右端又没有δ″(t)，为了平衡r′(t)中的δ″(t)，r(t)中应该含有负的δ″(t)，这样r′(t)中就必须含有δ?苁(t)。这样循环下去，就成了一个死循环。
显然上述假设是不成立的，即右端自由项δ(t)应该属于r′(t)。定义函数△u(t)为函数u(t)上截取区间[0-,0+]这一部分。既然r′(t)中含有δ(t)，那么r(t)就应该含有△u(t)，方程右端又没有△u(t)，所以r′(t)中必有与之相消的负△u(t)；这样的话，r(t)中应该还有△u(t)的积分项△tu(t)；二方程右端又没有△tu(t)，所以也应该r′(t)中必定有与之相消的负△tu(t)；按这样分析下去的话，好像也陷入了死循环。但是我们是在区间[0-,0+]上讨论系统响应r(t)及其导数项在零时刻的跳变情况，而函数t及其各次幂函数在该区间上连续，且恒等于零。因此△tu(t)及其后面的各项不会影响r(t)及其导数项在零时刻的跳变情况。因此，只需要讨论到△u(t)这一项即可，函数在零时刻有没有跳变取决于其表达式是否存在△u(t)，跳变的大小等于△u(t)的系数。
针对上述方程，不妨设
r′(t)=aδ(t)+b△u(t) （2）
对上式积分得
r′(t)=a△u(t) （3）
由于跳变量取决于△u(t)的系数，因此系统响应r(t)就有a个单位的跳变，r′(t)有b个单位的跳变。将（2）和（3）式代入（1）式比较系数得a=1,b=-2，那么r(0+)=r(0-)+1;r′(0+)=r′(0-)-1。
4.实例分析
假设某一系统初始状态r(0-)=1;r′(0-)=0其微分方程表示如下：
r″(t)+3r(t)+2r(t)=e(t)+2e′(t) （4）
求激励e(t)=u(t)，时系统全响应及零输入响应和零状态响应分量。
先求零输入响应。激励e(t)=0，则：
rzi″(t)+3rzi(t)+2rzi(t)=0 （5）
其解为rzi(t)=[Ae-t+Be-2t]u(t)，因为没有激励作用，其响应及其导数项在零时刻不会跳变。则有rzi(0+)=rzi(0-)=1；rzi′(0+)=rzi′(0-)=0。将该初始条件代入（5）式可求得
rzi(t)=[2e-t-e-2t]u(t) （6）
再求零状态响应。此时系统状态r(0-)=r′(0-)=0将激励e(t)=u(t)代入（4）式得
rzs″(t)+3rzs(t)+2rzs(t)=u(t)+2δ(t) （7）
t>0时，上述方程的通解为：
rzs=[Ce-t+De-2t+0.5]u(t) （8）
设
rzs″(t)=aδ(t)+b△u(t) rzs′(t)=a△u(t) rzs(t)在零时刻连续 （9）
将（9）式代入（7）式比较系数得a=1,因此r′zs(0+)=rzs′(0-)+a=1。rzs(0+)=rzs(0-)+0=0将此条件代入（8）式得，其零状态响应：
rzs(t)=0.5e-2tu(t) （10）
求全响应时。微分方程的形式（8）式完全相同，因此其通解的形式如（8）式相同，全响应初始条件是在r(0-)=1;r′(0-)=0的基础上跳变，因此，r(0+)=r(0-)+0=1;r′(0+)=r′(0-)+a=1将该条件代入（8）式得
r(t)=[2e-t-1.5e-2t+0.5]ut(t) （11）
5.总结
经典法是分析系统响应的基本方法，也是学习其他方法的基础。本文运用冲击函数匹配法的原理介绍和数学分析，解释了系统响应在0时刻发生跳变的本质和跳变的基础，解决了求不同响应所代初始条件不同的问题。该研究对于深入认识系统响应的起因及其分类具有重要的意义。
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参考文献
[1]郑君里，应启珩，杨为理.信号与系统.北京:高等教育出版社，第2版
（作者单位：湖北工业大学）