基于“构造法”的高中数学解题思路探索

文/丁冰

【摘要】随着教学改革的不断深化，对高中数学教学提出了更高的要求。尤其针对现阶段数学课程难度的不断增加，使学生在解决数学问题过程中面临许多困难。因此在长期教学实践中引入构造法，在数学解题过程中得到有效的应用。本文主要对构造法的基本概述、高中数学解题中应用构造法的意义以及构造法的实际应用进行探析。

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关键词构造法；高中数学；解题思路

前言

在新课程改革背景下，高中数学教学过程中应注重帮助学生从数学学习中发现其中的数学思维与方式。因此对高中数学解题思路中构造法的应用研究具有十分重要的意义。

一、构造法的基本概述

（一）构造法的概念界定

关于构造法的概念界定，以往许多数学家与学者对其理解为以固定方式通过一定的步骤便可获取结果的方式。换言之，高中数学解题过程中学生的思考方式多以正向思维为主，在给定的条件下进行问题的解决。但这种正向思维的方式并不适用于所有问题的解决，所以通过思考角度或思维方向的转换，使问题中的障碍得以跨过，这种方式便为解题中应用的构造法。相比一般逻辑方法，构造法作为非常规思维，要求学生具备基本的知识结构基础并具有敏锐的洞察力。

（二）高中数学解题中构造法应用的意义

构造法应用过程中通常会将原有题型作为基础，通过假设相应的结论或条件使数学中的理论知识、方程公式等能够形成与问题相对应的数学模型。因此这种能够用“已知”代替“未知”的化归手段为数学解题过程带来新的路径。

二、高中数学解题中构造法的实际应用策略

（一）从方程构造角度

作为高中数学中较为重要的内容，方程式学习过程中多与函数知识保持一定的关系。由此可引入常用的构造方法，即方程构造。具体应用过程中主要根据问题中体现的结构特征与数量关系，构建等量性方程式，以此实现对方程式等量的关系以及未知量间存在的关系。而且通过恒等式的变形，可将问题中的内容由抽象化向特殊化、实质化过度，促进学生解题质量以及解题速度的提高，对学生的思维与观察能力进行培养。以具体习题为例，设a>b>c且a+b+c=1,a2+b2+c2=1，求a+b的范围。

解：由a+b+c=1得a+b=1-c (1)

将(1)的两边平方并将a2+b2+c2=1代入得ab=c2-c (2)

由(1)(2)可知，a,b是方程x2+(c-1)x+(c2-c)=0的两个不等的实根

于是△=(c-1)2-4(c2-c)=-3c2+2c+1>0

（二）从函数构造的角度

高中数学题中的函数属于较为基本的知识内容，不仅与方程存在较为密切的关系，而且在许多集合类型或代数类型等习题出中可发现函数思想。因此利用函数构造的方式能够利用简单函数问题代替复杂的数学难题，而且在转化的过程中也可培养学生的创造性思维。以2011年南京数学学校“紫金杯”数学竞赛以题为例：已知f(x)=x2+(a2+b2-1)x+a2+2ab-b2是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是___。

分析：由已知f(x)是偶函数可知，a2+b2-1=0，故可联想到三角函数关系式并构造a=cosθ,b=sinθ，函数图象与y轴交点的纵坐标为a2+2ab-b2，则