南昌大学附属中学（330047）王文江
在数学竞赛中，证明两数互素是数论问题证明中经常遇到的问题，裴蜀定理的一个推论为这类问题的证明提供一个重要方法。
裴蜀定理设a,b,d是整数，则(a,b)=d的充要条件是d|a,d|b，存在整数u,v，使得ua+vb=d。其中(a,b)表示整数a,b的最大公约数。定理证明在各类数学竞赛数论参考书都有提及，这里不再重复了。特别的，(a,b)=1的充要条件是存在整数u,v使得ua+vb=1，这就是裴蜀定理的一个重要推论，它为证明两数互素提供了有力工具，下面通过几个例题予以说明。
例1（第一届国际数学奥林匹克题）对任意整数n，证明分数21n+414n+3是既约分数。
证明：问题等价于要证21n+4与14n+3互素而3(14n+3)－2(21n+4)=1，
由裴蜀定理推论可知命题得证。
评注：要说明整数a与b互素，只需找到整数u,v使得ua+vb=1即可。
例2（2015年全国高中数学联赛江西省预赛题）正整数数列{an}满足a1=2,an+1=a2n－an+1，证明：数列的任何两项皆互素。
证明：an+1=a2n－an+1可化为an+1－1=an(an－1)，
从而an－1=an－1(an－1－1)，据此迭代得
an+1－1=an(an－1)=anan－1(an－1－1)=anan－1an－2(an－2－1)=…=anan－1…a1(a1－1)
=anan－1…a1。所以an+1－anan－1…a1=1，即an－an－1…a1=1。
由裴蜀定理推论可知k<n，(an,ak)=1，证毕。
评注：本题通过数列迭代构造出ua+vb=1，从而说明数列任意两项互素。
例3200个盒子，每个盒子中有一些球（球的个数不一定相等），选107个盒子，并在这些盒子中各放一个球，完成一次操作，证明：可以通过有限多次操作，使得所有盒子中球的个数都相同。
证明：因为200与107互素，故存在整数u,v，使得200u+107v=1（u=－130,v=243就是其中一组），107×243=200×130+1，将200个盒子排成一圈，从某个盒子A开始，按固定方向顺序进行243次操作，A盒子增加了131个球，其余的每个盒子增加了130个球，若我们开始选定的A盒子的球个数最少，通过有限次操作，可使所有盒子中的球个数相等。
评注：本题是裴蜀定理推论在组合数论中的一个应用，其巧妙解决了组合中的操作问题。