黄汝广
摘要：我们重点考察康托尔对角线法无效的根本原因，并对“理查德悖论”及哥德尔不完全定理进行尝试性分析。结果表明，由于概念缺乏操作性而无意引入的隐性假设，常会导致反证法论证的无效，这也正是悖论产生的一个主要根源。
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关键词 ：康托尔对角线；理查德悖论；不完全定理；反证法；可操作性
笔者曾撰文，通过悖论来探讨概念的可操作性，认为悖论的根源是其概念缺乏可操作性。这里，我们主要考察康托尔对角线反证法，有些文献也称为对角线法、逆对角线法或反对角线法。据张建军《逻辑悖论研究引论》介绍，该方法在悖论研究领域有重要应用，如“哥德尔对角线定理”、汤姆逊“对角线引理”、蒋星耀“悖论统一模式定理”等。
但很可惜，康托尔关于实数集不可数的对角线反证法是无效的，文献[2][3]都曾对此作过一定论述，并正确指出了其漏项问题。下面我们先对该方法作一简单介绍与分析，并给出一个实数集可数的构造性证明，再重点考察其无效的根本原因，最后对“理查德悖论”及哥德尔不完全定理，进行尝试性的探讨。事实上，这些问题也一直是争议不断，更早如维特根斯坦，就既不承认康托尔的证明，也不承认哥德尔的不完全定理。
一、康托尔对角线反证法
康托尔的论证大致如下：假设（0，1）
可数，使之与自然数集建立一一对应关系，可得一无穷序列——
1→0.a11 a12 a13 a14 …a1n …
2→0.a21 a22 a23 a24 …a2n …
……
n→0.an1 an2 an3 an4 …ann …
……
然后构造数b=0.b1 b2 a3 b4 …bn …,
其中bn 这样取值：当ann等于1时bn等于2，当ann不等于1时，bn等于1。康托尔认为，数b属于（0，1）却又不是上面序列中的任何一个，因此（0，1）不可数。既然实数子集（0，1）不可数，实数集也必然不可数。
但问题是，假如康托尔方法有效，有理数集也将不可数：假设（0，1）内的有理数可数，将其与自然数集建立一一对应关系，可得一形式完全同上的无穷序列，只是其中的每一个都是有理数而已。但是，我们另外还要求a11=…=ann=…=1：通过位置调整这是可以做到的，且不会造成序列的增减，因此不影响序列的可数性。仍依据前面的取值规则，可得数b=0.222…；显然，按康托尔的逻辑，b=0.222…属于（0，1）内的有理数却又不是上面序列中的任何一个！因此，（0，1）内的有理数不可数，进而整个有理数集不可数!
如此一来，康托尔对角线法的荒谬性就凸显出来了，因为在康托尔理论中，有理数集可数，是千真万确的[5]：有理数集的另一等价定义是全体分数的集合，也即
为整数，q为正整数，且p与q无公因子}；全体有理数可按∣p∣+q的顺序由小到大排列，∣p∣+q相同的再按p的顺序排列，这样就有：
每个有理数必在此序列中。故有理数集可数。
可是这个论证并不严谨，在上述定义下，完整的论证要点应该如下：首先，∣p∣+q相同而按p排序的任何一个序列，都是有理数集的子集，且一定可数；其次，∣p∣+q不相同，则序列不同，子集不同，有理数集是所有子集的并集；再次，虽然子集有无穷多，但却是可数个；最后，按康托尔的理论，可数个可数集的并集仍为可数集。故有理数集可数。
二、实数集可数的构造性证明
不过，否定康托尔对角线法的有效性，并不能否定实数集不可数的结论。虽然文献[3]给出了一个实数集可数的证明，但与上述有理数集可数的证明一样，论证并不严谨，下面我们给出一个严谨且更简洁的构造性证明。
对于任一自然数n，把“0.”添加在其前面，就可以构造一个对应的小数，比如“1”对应小数“0.10000……”。对所有自然数如法炮制，则可构造出实数子集[0.1，1）。当然，有些小数会有重复，比如“1”和“10”都对应“0.10000……”，但我们只保留一个：也即，[0.1，1）可以与自然数子集，建立一一对应关系。因自然数集可数，其子集必然可数，从而[0.1，1）也必然可数。
如果把[0.1，1）内所有数的第一位小数均减1，可得[0，0.9），它显然可数，则（0，0.1）也必可数。而有限个可数集的并集仍为可数集，所以（0，1）=（0，0.1）∪[0.1，1）可数。通过函数y=tg[(x-0.5)π]，实数集R与（0，1）可建立一一对应关系，因此实数集R可数，那么康托尔的连续统假设，实际上也就没有意义了。
当然，这个论证是以康托尔的“可数”定义为基础，如果要否定上述结论，就必须重新思考康托尔定义的合理性；实际上，康托尔的定义是颇有争议的，可以一直追溯到“伽利略悖论”。
三、康托尔对角线反证法无效的根源
很显然，一个集合不可能既可数又不可数，因此结论相互矛盾的两种方法，不可能同时有效，问题出在哪里呢？实际上，至少有两篇文献曾正确地指出了康托尔对角线法漏项的问题，但可惜康托尔没有意识到。我们猜测，康托尔也许是被其“对角线”的无限延伸性给蒙蔽了：乍看之下，无限延伸的对角线似乎可以贯穿上面序列的任何一个，但实际上并不是这么回事。
依据康托尔的论证不难看出，上面无穷序列的关键部分是一个无穷矩阵；同时，由构造数b的过程还可看出，只有当矩阵是正方矩阵的时候，其“对角线”才是真正的对角线，即可以贯穿矩阵的每一列每一行。但对于十进制小数，每一个数位上有10种可能性，上述无穷矩阵并不是正方矩阵。
要考察无穷矩阵，一种比较可行的方法是从有限矩阵开始，然后对其取极限：对于（0，1）内所有的n位有限小数，其对应矩阵只有n列，但远不止n行，而康托尔“对角线”，仅能贯穿n列n行，占矩阵总行数的比例很小；当n趋于无穷大时，极限矩阵即前面的无穷矩阵，不过与此同时，也得到了上述比例的极限——0！换言之，当康托尔“对角线”无限延伸时，绝大多数的行都没有被贯穿的，而上面构造的数b，不过代表其中的一行而已。
但是，问题并没有就此结束，我们要问：会不会存在其它方法，能够构造出数b=0.b1 b2 b3 b4 …bn …，它“属于（0，1）却又不是上面序列中的任何一个”呢？答案是不可能。因为在现有理论中，康托尔的无穷序列与（0，1）其实是同一回事，“属于（0，1）却又不是上面序列中的任何一个”是违反同一律的固有矛盾；要避开矛盾，唯有否定数b的上述存在性。
当然，还可以继续问：如果消除上述矛盾，数b是否可能存在呢？答案仍然是不可能。因为要消除上述矛盾，小数集必须是实数集的真子集，也即数b必定不是小数；但以“0.b1 b2 a3 b4 …bn …”形式构造的数b，又必定是小数。
事实上，单纯从形式看，康托尔无穷序列必包含了（0，1）内的一切小数，怎么还可能构造出一个属于（0，1）却又不属于该序列的小数呢？一句话，康托尔的根本矛盾，其实在于他想以小数形式来构造出一个非小数！
现在，康托尔证明的整个脉络就清晰了，原来在其论证中，实际上存在两个假设：一个是明显但不相关的——实数集可数，一个是隐藏但非常根本的——符合要求的数b存在。由于没能发现对角线法的漏洞，康托尔误以为自己构造出了符合要求的数b，从而把最根本的假设当作了事实，结果另一个不相关的假设成了替罪羊！
四、理查德悖论，及哥德尔不完全定理
有意思的是，虽然康托尔对角线法无效，但蒋星耀利用该方法得到的“悖论统一模式定理”，在结论上却是正确的[6]：产生悖论的原因是“误会”,即错误地把一种东西当成了另一种东西。或者说，悖论是由于无意识地偷换概念，而违反同一律的结果，这实际上是对悖论的一个完全否定。
既然是想要一揽子解决所有悖论，对于有名的“理查德悖论”，当然不会避而不谈：把自然数的性质一条条写下来,并用自然数给它们编号，如果编号与所标性质内容不符合，该编号即称为“理查德数”，否则称为“非理查德数”；再对“理查德数”编号, 问这个编号是不是“理查德数”？
无论回答是还是否，都将得出矛盾。
蒋先生认为，是否“理查德数”并不是原始意义下的自然数性质，基本上触及到了本质，不过其具体分析存在一些问题。
比如，江育奇就曾撰文进行质疑，认为有些论述让人莫名其妙，并追问什么是自然数的性质。
首先要牢记，“理查德数”本质上只是一种数字形式的名称标签，与单纯的“自然数”是两个完全不同的概念，因而算术性质对于“理查德数”是没有意义的：比如对编号数字进行运算“1+2=3”，这表示什么意思呢？难道编号3对应的自然数性质是编号1与编号2对应的自然数性质的复合？
其次，性质是需要载体的，并且应该是其固有属性，比如“自然数1是奇数”，在任何时候都如此。而按悖论中的定义，把“1”作为“偶数”的编号，则“编号1是理查德数”，但若作为“奇数”的编号，则“编号1不是理查德数”。因此，是否理查德数，还与编号的指派方式有关，它不可能成为任何一个自然数的固有属性。
第三，悖论中交叉否定的定义方式也很成问题。事实上，如果把与所标性质内容相符合的编号称为“理查德数”，不符合的称为“非理查德数”，同样的问题就不再产生矛盾；否则的话，理查德完全可以采用这种定义来构造悖论。因此，根据归谬法，我们有理由怀疑交叉否定式定义的正当性。
关于哥德尔不完全定理的证明，与“理查德悖论”其实很相似，而且与“理查德悖论”将“算术性质”随意泛化一样，哥德尔也有一种将“函数”“公式”“性质”等概念随意泛化的倾向：比如哥德尔定义的“SUB函数”，并不是一个真正数学意义上的函数。当然，“哥德尔数”也与“理查德数”一样，只是一种数字形式的名称标签，其迭代计算实质上没有意义。而且，并非所有的自然数都是“哥德尔数”，或者说“哥德尔数”本身相对于自然数就是“不完全”的，那么，哥德尔不完全定理会是一个同义反复么？
同时，哥德尔定义的不可判定公式，也同样是交叉否定式的，而且他还混淆了“可定义”性与“存在”性：似乎凡能用符号书写出来的，就是可定义的，就一定存在；但正如文献[9]所说，不可判定公式是违反同一律的，因而它不可能存在（实际上，塔斯基正是利用“A≠A”来定义空集的）。一个逻辑上根本不存在的东西，其“哥德尔数”又如何计算呢？哥德尔的技巧，是用符号代替具体计算，但这实际上就隐含地假设了其存在性。
因此，我们也许可以更直白地说,哥德尔不过是把自己构造的逻辑矛盾，嫁“祸”于公理体系，声称它“不完全”而已。
但据哥德尔辩解说，其证明的一个关键是“可证”与“真”的严格区分，一个真的命题，在表达它的公理体系内可能是不可证的。那么，判定这样一个命题为真，必然要利用体系外的东西，而哥德尔并没有说清楚这体系外的东西到底是什么。
更何况，根据哥德尔的“ 可证”定义，任给两个哥德尔数对（m，n），可以判断是否是“ 证明对”—— 如果（m，n）是“证明对”，也即哥德尔数为m 的序列是哥德尔为n 的序列的一个证明；但是任给一个哥德尔数n，却没有有效的方法来判断是否存在哥德尔数m，使得（m，n）是“ 证明对”。因此，哥德尔所谓的“可证”，只不过是一种事后诸葛亮式的说明而已，并不是一个基于方法学意义上的判断。
另外，哥德尔证明与“说谎者悖论”也密切相关，仿照文献[12]的分析，我们可以得出结论：所谓“不可判定命题”，实际上应该是“不可根据自身判定的命题”。
五、结论：小心隐性假设陷阱
总之，由于概念缺乏操作性而无意引入的隐性假设，常常是反证法的陷阱，也是悖论产生的主要根源。当然，这样的悖论都是“伪悖论”，一旦隐性假设暴露出来，它们其实可以转化为一个反证法证明。但也不要忘记，布劳威尔等直觉主义者并不承认反证法，换句话说，使用反证法本身就包含了一个隐性假设——反证法是有效的！
很显然，哥德尔的证明也运用了反证法，因此即使其各论证环节无懈可击，也不一定是公理体系不完全，还可能是反证法自身的局限性！实际上，如果不完全定理成立，在一个体系内命题会有三种情况——真、假、无法判断真假，排中律不再成立，反证法无效！
最后，哥德尔的证明实际上还利用了所谓的定理“从一个矛盾出发，结果可以是任何东西”，但正如侯世达指出的那样，如果按照安德森和贝尔纳普的“相关蕴涵”原则，这个定理根本推导不出来。而且，即使不考虑“相关蕴涵”，该定理也很成问题：因为其推导的一个前提是“P∧～P”，这个前提在逻辑上必然为假，而前提为假的推理是不可靠的！
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参考文献
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[5]杜珣.现代数学引论[M].北京：北京大学出版社，1998.
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[11]侯世达.哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成[M]本书翻译组译.北京：商务印书馆，2014.
[12]黄汝广.由悖论看概念的可操作性[J].改革与开放，2014（6）：69-70.
（作者单位：深圳南天电力有限公司）