齐玉录（1991-），男，山东聊城人，硕士研究生，主要从事金融工程研究。
罗卫星（1970-），男，辽宁大连人，博士研究生，主要从事金融工程研究。
(东北财经大学金融学院，辽宁 大连 116025)
摘要：本文从最小方差组合的视角，采用对比分析方法，考察了中国股市中低波动率组合策略的绩效。经验研究结果发现：最小方差组合具有明显的相对绩效优势，最小方差组合的夏普比率不仅显著高于相应的等权重组合和市值加权组合的夏普比率，而且远远高于同类指数组合的夏普比率；最小方差组合表现出的这种相对绩效优势在控制价值因素后仍然存在，在控制规模因素后消失，说明它与价值异象无关，与规模异象有关。进一步研究发现，采用波动率加权的方法构建组合无助于提升组合的绩效，而简单用部分低波动率股票构建组合就能够显著提升组合的绩效。
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关键词 ：中国股市；低波动率策略；最小方差组合；波动率异象
中图分类号：F830.91 文献标识码：A
文章编号：1000-176X（2015）09-0035-09
王志强，齐玉录，罗卫星
收稿日期：2015-07-31
基金项目：辽宁省教育厅人文社会科学重点研究基地专项项目“中国股市的波动率效应与低波动率策略研究”（ZJ2013038）
作者简介：王志强（1965-），男（蒙古族），内蒙古乌海人，教授，博士生导师，主要从事金融学、数量经济学等方面的研究。E-mail：wangzhiqiang@dufe.edu.cn
一、引言
就单个股票而言，Ang等［1-2］的经验证据显示，波动率或异质波动率较高的股票其未来收益率较低，他们将这种负向关系称为波动率异象。为了降低组合换手率，Blitz和Vliet［3］采用长期波动率度量指标代替短期波动率度量指标，结果发现不仅高波动率股票具有较低的未来收益率，而且低波动率股票具有特别高的未来收益率，并将其称之为低波动率效应。
在股票组合方面，由于组合可以对单只股票的风险起到分散作用，即单只股票的波动率不能通过线性组合构成投资组合的风险，更多的研究采用协方差矩阵作为风险的度量进行进一步的分析［4］。根据马科维茨资产组合理论，当给定资产组合的期望收益时，可以通过调整组合内单个资产的权重使风险最小化，但是在将该方法引入资产组合特质波动率与组合收益率研究时，存在着预期收益难以准确估计和最优权重对预期收益敏感的问题。为了解决这一问题，人们将研究的重点转向具有组合权重与预期收益无关的最小方差组合。结果显示，最小方差组合中存在波动率异象。
对于中国股市，大部分研究结果表明中国股市中存在股票收益与其波动率之间的负相关关系，即存在波动率异象。然而，这些研究主要集中于个股收益与其波动率之间的关系研究上，而对于最小方差组合的构造也仅限于理论上的推导，并未给出最小方差组合的构造方法和组合收益与风险的分析。鉴于此，本文尝试通过构造中国股票市场中最小方差组合，研究该组合是否存在波动率异象并探讨异象存在的原因。
二、相关文献综述
股票收益与其特质波动率之间的相关关系在理论上是有争议的。Miller［5］认为，股票的特质波动率越高，股票超出市场均衡价格的可能性和幅度越大，在卖空限制和投资者具有意见分歧的条件下，股票超出市场均衡价格后，乐观者还是会买入，悲观者却由于做空限制而无法卖空以纠正被高估的股价，股价就会被高估，日后的收益率应该越低，因此，股票收益与其特质波动率之间呈现负相关关系。与此相反，Merton［6］从供求关系角度研究了股票收益与其特质波动率之间的相关性，他认为，由于各种原因导致非系统性风险不能被充分分散，故而投资者不仅对系统性风险要求风险溢价，同时也会对非系统性风险要求相应溢价，因此，股票收益与其特质波动率之间呈现正相关关系。
理论上的分歧得到了很多经验证据的证实。支持股票收益与其特质波动率之间呈现正相关关系的经验证据有：Goyal和Santa-Clara［7］以CAPM模型为判断基准，发现特质波动率与股票收益率之间正相关；Fu［8］采用EGARCH模型估计特质波动率，也得到了股票收益与其特质波动率之间具有明显的正相关关系。支持股票收益与其特质波动率之间呈现负相关关系的经验证据有：Bali等［9］认为Goyal和Santa-Clara的结果与其样本选择有关，若将样本区间延长或采用不同类的股票进行分析，则股票收益与其特质波动率之间不存在正相关关系；Ang等［2］采用Fama-French三因子模型的估计残差序列的标准差作为波动率的度量指标，结果发现特质波动率与股票预期收益之间有显著的负相关关系，高特质波动率组合未来有低收益，低特质波动率组合未来有高收益，并且市场波动风险、流动性、动量、偏度和杠杆等因素都不能解释这一现象；Bali等［10］以投资者偏好彩票类股票的现实情况为依据，研究发现过去一个月中最大日收益率与股票预期收益之间存在显著的负向相关关系，即若以最大日收益率作为波动率的度量指标，则波动率与预期收益之间表现为负相关关系。
对于特质波动率之谜的检验与分析，Bali和Cakici［11］从度量特质波动率的方法、数据频率、形成组合的分组方式等角度检验特质波动率之谜存在的稳健性。Jiang等［12］研究了特质波动率、公司未来的利润冲击、股票预期收益三者之间的关系，发现特质波动率与公司未来的利润冲击及股票预期收益之间均存在负向关系，并且特质波动率对收益的预测能力由未来利润相关的信息决定，即特质波动率之谜由公司选择性的披露经营信息导致的。Huang等［13］以收益的短期反转现象来分析特质波动率之谜，认为月收益率的一阶负自相关可能导致了波动率与收益之间的负向关系。Chabi-Yo［14］利用随机贴现因子解释特质波动率溢价的来源，在控制了非系统偏斜度因子后，特质波动率与预期收益之间不再存在显著的负相关关系。
对于股票组合收益率与其波动率之间的关系，Haugen和Baker［15］的实证结果表明，按照市值加权计算的市场组合并非是有效的，换言之，存在一个异于市场组合的其它组合，在收益率相同的前提下，波动率小于市场组合。Clarke等［4］用美国股票市场1968年1月—2005年12月的月度数据构造最小方差组合，通过与市场组合（Russsll1000大盘指数）比较，结果发现最小方差组合收益略高于市场组合，但最小方差组合的风险（收益的标准差）却远小于市场组合，约为市场组合的75%，这表明最小方差组合中存在波动率异象。
对于中国股市，相关问题的研究主要集中在两个方面：一是个股收益与其波动率之间关系的经验分析；二是最小方差组合边界的理论推导。在股票收益与其波动率之间关系方面，多数的研究表明中国股市股票收益与其特质波动率之间存在明显的负相关关系。左浩苗等［16］对中国股市特质波动率与横截面收益率的关系进行了经验探讨，发现二者存在明显的负相关关系，但是控制了表征异质信念的换手率后，这种负相关关系消失了。张玉龙和李怡宗［17］研究发现，中国市场中特质波动率与收益率存在显著的负向关系，进一步通过对流动性静态和动态两个渠道的分析，发现流动性是驱动特质波动率与收益率负相关系的重要因素。王志强等［18］采用组合价差比较分析法和回归分析方法，考察中国股票市场中股票收益率与其波动率之间的关系，经验证据显示中国股票市场存在明显的波动率异象，即低波动率的股票未来收益显著大于高波动率股票的未来收益，持续时间长达36个月，且这种波动率异象是有别于规模、价值异象、反转异象和换手率异象的另一种股市异象。
在最小方差组合边界方面，朱玉旭和黄洁纲［19］从分析最小方差组合证券入手研究了均值方差有效组合证券的精确边界，推出了N种风险证券的有效均值方差组合及投资选择数学模型。张丹松和李馨［20］则从分析最小方差组合证券集入手，研究了均值方差有效组合证券边界的性质，并且对有效组合证券结构的统计特性进行了分析验证。苏咪咪和叶中行［21］讨论了在方差—协方差矩阵半正定条件下，马科维茨均值—方差最优化投资组合模型的求解问题，利用主成分分析法得到了解析解。同样面对收益的协方差矩阵为奇异矩阵时，安中华［22］通过利用收益率的主成分和二次凸规划的求解方法，给出了问题的解析表达式。
综上，中国现有的相关研究存在以下不足：第一，仅从理论角度推导了最小方差组合的构造和分析了最小方差组合的性质，但是并没有从经验上对组合的收益率与其波动率进行分析，无法确认最小方差组合的实际收益和风险。第二，现有文献对于最小方差组合的构造仅给出了理论的解析解，但并未给出具体的构造方法。第三，仅考察了个股收益与其特质波动率或波动率之间的相关关系，考虑到构造组合之后会分散掉部分个股的风险，因此，现有的研究结论并不适用于股票组合收益与其波动率之间关系。
三、数据与方法
1.样本选择
本文研究所需要的数据有：A股股票的月度收益率、月初市值和账面市值比，月度无风险收益率和上证180指数月度收益率等数据。为了与上证180指数组合进行比较，本文中我们选取的样本区间为2002年7月至2014年7月。同时，为了能估计样本股票收益的协方差矩阵，需要选择出的股票在每个月均有之前50个月的历史月度收益数据，因此，要剔除不满足该数据要求的股票。其中，A股股票月度收益率、月度无风险收益率和上证180指数月度收益率等数据来自国泰安CSMAR数据库，而股票市值和账面市值比财务数据来自Wind数据库。
2.数据处理
样本区间内每个月，我们按照如下四个步骤处理相关数据：
第一步，将上市A股所有股票按照市值从大到小排序，选出市值最大的180只股票，按照市值加权构建组合，用该组合代替市场组合。由于下文估计协方差矩阵需要每只股票在每个月份的超额收益率，为此我们计算每只股票的超额收益率（实际收益率-无风险收益率）以及组合的超额收益率。
第二步，基于这180只股票的前50个月历史超额收益率R=［rit－fit］180×50，计算样本协方差矩阵Ω=RR′。与一般意义上的样本协方差的计算不同，这里我们没有在每只股票的超额收益率中减去其时间序列均值，也没有除以其样本观测值个数，根据French等［23］的研究结论，这种计算方法不影响最终结果。
第三步，使用主成分分析法和贝叶斯减缩法，估计样本的调整协方差矩阵。众所周知，构建最小方差组合中的最优化问题需要样本协方差矩阵具有可逆性，但是上述方法求得的Ω并不满足可逆性的要求，因为收益率观测值个数（T=50）远小于组合中股票个数（N=180）。为此，我们需要对协方差矩阵Ω进一步处理，使其满足可逆性的要求。本文中，我们采用主成分分析法和贝叶斯减缩法两种方法估计调整协方差矩阵。
第四步，将估计得出的调整协方差矩阵代入最优化模型中，计算得到不同约束条件下最小方差组合的最优权重。
3. 协方差矩阵估计方法：主成分分析法和贝叶斯减缩法
主成分分析方法（Principal Components，PC）。本文中，我们采用Connor和Korajczyk［24］提出的渐近主成分分析方法。首先，基于T×T阶的股票收益交叉乘积矩阵R′R（而非样本协方差矩阵RR′）的特征值分解，选取K个最大特征值对应的特征向量，构成K×T阶的因子收益矩阵F；其次，基于回归方程R=B′F+E，估计K×N阶的因子风险暴露矩阵B，并计算N×T阶的残差矩阵E；最后，基于K个风险因素模型计算主成分分析方法版的调整协方差矩阵ΩPC。
根据回归分析，因子风险暴露矩阵B和残差矩阵E分别为：
4. 最小方差组合构建法：马科维茨组合法
马科维茨资产组合理论应用的一个前提是在求各资产的权重之前需要估计资产的期望收益率，但是理论研究和实证研究均表明最优权重对期望收益率预测的微小扰动十分敏感，换言之，期望收益率的预测值与实际值的微小差距，会造成权重与真实值差别巨大。然而，最小方差组合处于均值方差有效前沿的最左端，具有资产在组合中所占的权重与其期望收益率无关的特殊性质，因而可以保证计算出的最小方差组合具有较高的可靠性。
不允许卖空条件下的最小方差组合优化问题的数学表示如下：
其中，∑表示股票组合内各资产收益间的协方差矩阵，x表示组合中各股票所占权重的纵向量，约束条件x′ι=1（ι为单位纵向量）表示各资产权重之和等于1，约束条件x≥0表示各资产权重均为非负（即不允许卖空）。
将采用主成分分析法和贝叶斯减缩法估计得到的调整协方差矩阵ΩPC和ΩBS分别替代∑，求解式（7）即可得出不允许卖空条件下的最小方差组合权重。据此，我们可以计算最小方差组合的未来收益以及收益的时间序列均值、标准差和夏普比率。
四、经验结果与分析
1.最小方差组合策略的收益与风险
在样本区间内的每个月初，我们挑选出符合数据条件的180只最大市值的股票，分别运用主成分分析方法和贝叶斯减缩方法，估计得到调整的协方差矩阵，在此基础上根据马科维茨的投资组合模型，构造最小方差投资组合，并计算出该组合在未来一个月超额收益率的均值、标准差和夏普比率。为了便于比较和对照，我们同时计算出这180只最大市值股票的等权重组合和市值加权组合收益的均值、标准差和夏普比率，以及由规模大、流动性好、行业代表性强的股票构成的上证180指数组合的均值、标准差和夏普比率。具体结果如表1所示。
表1中的结果显示，第一，180只最大市值股票组合（包括等权重和市值加权）策略的绩效明显好于上证180指数组合。180只最大市值股票组合（包括等权重和市值加权）的夏普比率（0.33）显著高于上证180指数组合的夏普比率（0.19），夏普比率提高了74%，原因在于相对于上证180指数组合，180只最大市值股票组合的收益（等权重和市值加权分别为0.85%和0.84%）显著提高而风险却没有明显增加（保持在30%的水平）。第二，基于180只最大市值股票的最小方差组合的绩效又进一步得到提升。基于180只最大市值股票的最小方差组合（主成分分析法PC和贝叶斯减缩法BS两种估计法下）的夏普比率（0.51）显著高于180只最大市值股票组合（包括等权重和市值加权）的夏普比率（0.33），夏普比率提高了55%，这一绩效的提高不仅是来自于收益的增加（从10.20%、10.10%增加到13.80%、13.40%），而且还来自于风险的下降（从30.80%、30.40%下降到26.80%、26.10%），尽管风险下降的幅度（大约16%）小于收益增加的幅度（大约34%）。
表1中的经验结果显示的是组合在短期内（1个月）的表现，下面考察组合收益和风险的长期表现。图1左半部分显示了最小方差组合与市场组合（上证180指数）自2002年7月至2014年7月共145个月内累计超额收益。样本期期初，两者的累计收益率相差不大，但是随着时间的推移，最小方差组合的累计超额收益率逐渐高于市场组合，并且收益的差距呈现扩大的趋势，说明最小方差组合的持续盈利能力是要高于市场组合的。
图1左半部分显示了最小方差组合与市场组合（上证180指数）在4年（48个月）内超额收益的标准差的比较。从图1中可以看出，最小方差组合的标准差在绝大多数月份都小于市场组合，而且随着时间的推移，标准差的差距呈现出扩大的趋势，截至2014年7月，最小方差组合的标准差（5%）与市场组合的标准差（6%）相比降低了约17%。由此可以说明，长期内最小方差组合的风险低于市场组合的风险。
2.最小方差组合与市场组合的差异性分析：基于市值和价值因子的视角
众多国内外相关经验证据显示［26-27］，股票的异常收益主要与市值、价值（账面市值比）和动量三个因素有关。考虑到中国股票市场并不存在月度动量效应［28］，因此，本文仅从市值和价值两个方面考察最小方差组合与市场组合的差异性。
为了分析最小方差组合与市场组合的差异性，需要比较两个股票组合的市值和账面市值比。我们之前选择上证180指数作为市场组合，但是由于该指数的成分股一直处于变动之中，变动周期短且幅度较大，对其市值和账面市值比的分析较为困难，因此，我们选择180只最大市值股票的市值加权组合作为市场组合的替代组合进行分析。
首先，采用标准化赋分方法比较最小方差组合与市场组合在市值和账面市值比两个方面的差异。以市值为例，标准化赋分方法将组合的市值赋分值zscore定义组合的加权市值与等权重市值之差除以组合的市值标准差，即：
类似地，可以计算组合的账面市值比的标准化赋分值。最小方差组合与市值组合的市值和账面市值比的标准化赋分值如图2所示。根据图2左半部分，最小方差组合的市值小于市场组合的市值，最小方差组合的高收益低风险可能与其市值小于市场组合的市值有关，由此可以初步推断中国股票市场中存在的波动率效应可能与规模效应有关。根据图2右半部分，在2008年之前最小方差组合的账面市值比高于市场组合，但是在2008年之后最小方差组合的账面市值比却比市场组合小，这种大小的不一致性说明最小方差组合的高收益低风险可能与其账面市值比因子无关。
其次，采用有约束最优化方法比较最小方差组合与市场组合在市值和账面市值比两个方面的差异。为了剔除市值和账面市值比对最小方差组合的影响，我们分别将市值约束和账面市值比约束加入到构造最小方差组合的优化算法中，考察重新构造的最小方差组合是否存在高收益低风险的波动率异象。如果剔除某个因素之后，波动率异象消失，则说明波动率异象是由该因素引起的。
加入市值或账面市值比的约束条件之后，最优化问题的数学表示如下：
其中，Y’为组合中个股的市值或账面市值比；Ymarket为市场组合的加权平均市值或账面市值比。
据此，我们可以构建出市值约束和账面市值比约束下的最小方差组合，并计算出约束条件下最小方差组合收益的均值、标准差和夏普比率，具体结果如表2所示。
从表2可以看出，当对账面市值比进行约束时，也就是剔除账面市值比的影响后，最小方差组合的收益率依然明显高于市场组合收益，标准差也明显低于市场组合的标准差，说明了账面市值比因素并不是波动率异象的原因，这与上一部分得到的结论是一致的；而当对组合进行市值约束时，即剔除了市值因素的影响之后，最小方差组合的收益均值与标准差均略低于市场组合，夏普比率与市场组合基本一致，也就是说，剔除市值因素之后，波动率异象不复存在，市值因素是波动率异象存在的主要原因，这与上一部分得到的结论也是一致的。
3．最小方差组合与低波动率组合的比较分析
理论上，Clarke等（2011）基于一个单因素模型，推导得出不允许卖空条件下最小方差组合的解析解，其结果显示是股票的市场p值而不是股票的异质波动波决定股票在最小方差组合的权重，最小方差组合中股票的最优权重与其市场p值呈反向相关。这一结论为我们构建低波动率组合提供了重要思路和方法。考虑到本文主要关注于低波动率组合策略，以及股票的市场p值与其波动率正相关，我们采用两种波动率加权方法构建部分低波动率组合：一是用波动率的倒数（1／标准差）的占比进行加权：二是用市值／标准差的占比进行加权。根据Clarke等（2011）的研究结论，理论上这种波动率加权组合策略的绩效应该与最小方差组合策略的绩效一致。
经验上，王志强等发现中国股票市场中存在非常明显的波动率异象，即低波动率股票的未来收益显著大于高波动率股票的未来收益。因此，采用部分低波动率股票构建的低波波动组合相对于全部股票构建的组合应该具有更优的绩效。为了便于比较和对照，我们从180只最大市值股票中选出90只低波动率股票，用三种方法构建低波动率组合：一是等权重组合；二是波动率倒数加权组合；三是市值／标准差加权组合。
表3中的结果显示，第一，相对于等权重组合和市值加权组合而言波动率加权组合的绩效没有显著提升。两个180只最大市值股票波动率加权组合的夏普比率分别为0.37和0.32，而180只最大市值股票等权重组合和市值加权组合的夏普比率都是0.33．两者之间没有明显差异：两个90只小波动率股票波动率加权组合的夏普比率分别为0.50和0.47，而90只小波动率股票等权重组合的夏普比率分别为0.49，两者之间也没有明显差异。第二，相对于等权重组合和市值加权组合而言部分低波动率股票组合的绩效有显著提升。相对于180只最大市值股票等权重组合，90只小波动率股票等权重组合的夏普比率提升了48%（从0.33提高到0.49），基本上接近于180只最大市值股票最小方差组合的夏普比率0.51。
五、总结与讨论
针对当股票个数大于收益率观测个数时样本协方差矩阵奇异的现实问题，首先，本文分别运用主成分分析法和贝叶斯减缩法估计出调整的样本协方差矩阵，在此基础上构建最小方差组合：其次，通过对比分析，分别比较了最小方差组合与市场组合（包括等权重组合和市值加权组合）、指数组合（上证180指数组合）在收益和风险方面的差异性，并分别采用标准化赋分方法和有约束最优化方法，探讨了最小方差组合的绩效优势来源；最后，采用比较分析方法，考察了波动率加权组合策略和部分低波动率股票组合策略与最小方差组合策略的绩效差异性。结果发现：
第一，最小方差组合具有明显的相对绩效优势，最小方差组合的夏普比率不仅显著高于相应的等权重组合和市值加权组合的夏普比率，而且远远高于同类指数组合（上证180指数组合）的夏普比率。这一结果与Clarke等得到的经验证据一致，它表明中国股市中最小方差组合表现出一定的波动率效应。因此，本文的经验结果与该马科维茨的投资组合理论相悖，不支持股票组合的收益与其风险具有正相关关系的结论。
第二，最小方差组合的相对绩效优势与规模异象有关。在控制价值因素后最小方差组合的夏普比率仍然相对较高，在控制规模因素后最小方差组合的相对较高的夏普比率不复存在，这说明最小方差组合表现出的波动率异象与价值异象无关，与规模异象有关。这一结果与Clarke等得到的经验证据不完全一致。Clarke等的经验证据显示，最小方差组合的高夏普比率与价值异象和规模异象有关，在控制价值因素和控制规模因素后最小方差组合的夏普比率有所下降，但是仍然高于市场组合（市值加权组合）的夏普比率，说明美国股市中最小方差组合表现出的波动率异象不完全由价值异象和规模异象解释。我们认为，中国股市中最小方差组合表现出的波动率异象与价值异象无关、与规模异象有关可以理解，因为很多经验证据显示价值因素对股票收益的影响作用很小、规模因素对股票收益的影响作用很大；但是中国股市中最小方差组合表现出的波动率异象是否能够完全被规模异象解释还需要进一步深入仔细研究。
第三，波动率加权无助于提升组合的绩效，而部分低波动率股票组合能够显著提升组合的绩效。
波动率加权没有提升组合的夏普比率，说明我们的经验证据不支持Clarke等的理论结论，其原因是否在于波动率不能替代市场β值，有待进一步研究；部分低波动率股票组合能够显著提升组合的夏普比率，且与全部样本股票的最小方差组合的夏普比率较为接近，这与王志强等得到的经验证据较为一致。考虑到最小方差组合的构建存在协方差矩阵估计困难、最小方差组合面临较大的各种风险因素等问题，我们建议，构建低波动率股票组合代替最小方差组合在可操作性方面更具有现实性。
（责任编辑：孟耀）