江苏张家港市泗港小学（２１５６００） 高 燕
［摘 要］“找规律”是一个让学生探究事物之间的内在联系或变化趋势的过程。数学思想是数学学习目标之一，因此应特别关注学生在探索规律过程中对数学思想的感悟，在教学中增加数学思维的渗透。
［关键词］探索 规律 感悟 思想
［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（201５）02-056
数学课程标准修订稿把“四基”：基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验作为目标体系。数学基本思想是数学学习目标之一，其重要性不言而喻。“找规律”是一个让学生探究事物之间的内在联系或变化趋势的过程。随着新课程研究的深入，人们越来越深刻地认识到这一内容所蕴含的丰富内涵和教育价值。但在实际教学中，普遍存在着“重规律的获得，轻过程的寻找；重规律的运用，轻思想的探寻”。“找规律”不仅要关注学生是否能理解并尝试运用规律，还应特别关注学生在探索规律过程中对数学思想的感悟。笔者结合苏教版五年级下册“简单图形覆盖现象的规律”的教学实践，谈谈对小学生数学思想的渗透。
一、有效亲历发现的过程，感悟数学思想
数学思想方法是一种基于数学知识又高于数学知识的隐性知识，它比数学知识更抽象。因此，需要为学生设计一些生动、有趣的数学活动，在活动中展开观察、操作、实验、猜测、推理与交流，充分感悟数学思想方法的奇妙与作用。那么，我们在设计活动时该如何关注数学思想呢？
找规律，重在“找”，找就得让学生亲历“找”的过程。教师应帮助学生在找规律的过程中学会探究规律的方法，积累数学活动经验，感悟数学思想方法，才能充分彰显找规律的教育价值。为此，在教学“找规律”的新授环节，我着重引导学生进行三次探索：
第一次探索：了解平移，感知规律
找出图形覆盖现象中的规律，难点是根据平移的次数，推算出被图形覆盖的总次数。在引导学生寻找“张数”与“拿法”关系时，我将电影票用数进行编号，通过“符号化”，抽象成框数字问题，将一个现实问题转化成数学问题，为渗透数学建模思想做准备。“头脑不是一个等待填满的容器，而是一支等待燃烧的火把。”在探究规律过程中，教师要注意充分调动学生的生活经验，引导学生用多种方法寻找规律，鼓励学习方式多样化，使学生的主体地位得到真正的回归与确立。比如，在寻找“从１０张电影票中拿两张连号票，共有多少种不同的拿法”时，有的学生用连线，有的用圈数，有的用一一列举，有的用框数字的方法。魅力源自生活提炼，教师鼓励学生用自己的生活经验表达对规律的理解，让学生充分亲历规律的发现过程，体会有序思考的价值。学生在操作的基础上清楚地了解了“平移”的方法，为后面的探究过程扫除了认知障碍，并初步感知“平移的次数”和“一共有几种拿法”之间的关系。
第二次探索：猜想验证，发现规律
首先，注重体验感悟，逐步抽象。“每次拿３张连号的票，会有多少种不同的拿法”是学生在本节课中的第二次操作，至此学生已隐隐感觉到有一种内在规律，但还处于“口欲言而不能达”的不确定状态。教师结合课件形象化的动态演示，引导学生观察前面两次操作得到的拿法和平移的次数、每次拿票张数之间的变化关系。接着顺势提出“如果每次拿４张或５张连号的票，能分别得到多少种不同的拿法”后，并没有让学生进行操作，而是让学生先猜想，顺应学生的学习状态，符合学生的认知规律，再通过演示平移验证发现的规律。接着教师引导学生在有序思考的基础上观察表格，用数学语言表达发现的规律，再逐级抽象成数学符号，即用“算式计算”，能用数学语言表达算式内涵，初步感知数学模型思想。其次，利用数形结合，发展思维。著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少自觉，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔断分家万事难。”数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。“算法”的抽象，应建立在形象的模型的基础之上。如：在用课件验证学生的猜想后，教师引导学生回顾用框平移的过程，再观察表格中的数据，此时学生的形象思维与抽象思维齐头并进，有助于学生用更准确的数学语言表达发现的规律。相信如果没有形象的支撑，学生的理解也许最终会演变为套模式解题。
第三次探索：归纳类推，完善认知
在学生用数学语言总结出发现的规律后，我设计了如下的教学环节：
（一）试一试
１．如果将电影券的总张数由１０张增加到１５张，你能用刚才发现的规律直接说说每次拿两张连号券，一共有多少种拿法吗？
２．如果每次拿３张或４张呢？
（二）练一练
１．下面是小红设计的一条花边，每次给相邻两个方格盖上红色透明纸，一共有多少种不同的盖法？
２．这道题和刚才的题目有区别吗？
３．书上也有一条红色的花边，试着独立解答。
４．如果给紧连的３个方格盖上红色透明纸，一共有多少种不同的盖法？每次盖上５个方格呢？
（三）完善认知，深化思维
１．如果方格不是１３个，而是ｎ个，每次给相邻的两个方格盖上红色透明纸后，一共有多少种不同的盖法？用字母列式表示。
２．如果一共有ｎ个方格，每次给相邻的ａ个方格盖上红色透明纸，一共有多少种不同的盖法？你会用字母列式表示吗？
３．揭示课题：简单图形覆盖的规律。（板书：图形覆盖）
【思考】著名数学教育家弗兰登塔尔曾说：“任何熔岩将凝固，任何思辨的新生事物都在其自身中包含着算法的萌芽，这是数学的特点……算法化意味着巩固，意味着由一个平台向更高点的跳跃。”经过前面两次探索，学生对规律有了感性的了解，初步感知“算法化”。在进行第三次探索过程中，教师很快把学生的目光由１０个数引向１５、１３个数，学生的思维也不断被引向深入。从用“框数字”平移的方法找规律，到将规律“算法化”，再到用“字母式子“概括规律，学生初步体会建立数学模型的过程，即从具体到抽象，从特殊到一般，逐步揭示数量之间的内在联系，并用数学化的形式表示规律，从而把思维和推理提高到一个更高的层次。
二、在实践反思、灵活应用中提炼数学思想
数学思想方法的获得，一是来自于教师有意识的渗透和训练，二是靠学生自身反思过程中的领悟。在数学教学中，教师应该关注问题解决的一般过程，培养学生应用数学思想方法解决问题的策略，更应该在解决问题以后有意识地“引导学生表述解决问题的思路”“重视引导学生交流与反思”，逐步形成反思的习惯，“促进学生将解决问题的方法策略内化为个人的数学素养”。只有这样，才能对数学思想方法有所认识，由此对数学的理解一定会由量的积累发展到质的飞跃。
比如在揭示出图形覆盖的规律后，我让学生回过头来用发现的规律解决课一开始提出的问题：“从１００张连号票中，每次拿两张连号票，有多少种不同的拿法？”在验证学生的猜测之后，组织学生反思解决问题的思维过程，并以图文结合的方法清晰地展现出来：明确问题——猜测——探究规律——建立模型——验证——解决问题。紧接着我又抛出一个问题：“同学们，回顾我们解决问题的过程，我们还从中学到了什么？”沉默一会，有学生领会了，说：“我主要学会了研究问题的方法。”我点点头说：“是呀，究竟一共有多少种拿法并不重要，重要的是我们共同经历了研究问题的过程，对于复杂的图形覆盖的规律问题，我们可以通过猜测，采用化繁为简的方法将其转化成比较简单的问题，再通过探究，发现规律，解决问题，验证我们的猜测，这是解决科学问题的一个重要方法。”有了这样的反思，将图形覆盖问题中蕴含的数学方法和策略直观呈现，强化了学生的认知，拓展解决问题的策略和方法，形成策略意识。
在让学生感受了图形覆盖问题的解决策略后，我设计了一系列座位的变式问题：
（１）同学们，我们学校的礼堂一排有１３个座位。要让唐明雨和茆雪她俩坐在一起，并且唐明雨在茆雪的右边，在同一排有多少种不同的坐法？
（２）高老师坐在她俩的中间，有多少种不同的坐法？
（３）还是让她俩坐在一块，去掉一个条件“唐明雨在茆雪的右边”，其他条件不变，有多少种不同的坐法？为什么？
（４）当唐明雨和茆雪来到礼堂时，这一排已经坐了另一名同学。（课件演示）如果１号座位已经有人坐了，唐明雨还是在茆雪的右边，一共有多少种不同的坐法？
（５）如果这一排６号位置已经有人坐了，唐明雨还是在茆雪的右边，一共有多少种不同的坐法？
教师引导学生不断进行变式训练，进一步运用“化归思想”迁移解决类似图形覆盖问题，在解决问题的过程中进一步体会数学模型的价值，增强学生的建模意识和应用规律的能力。
“数学思想方法是自然而平和的，我们不能把活生生的数学思考变成一堆符号让学生去死记，以至让美丽的数学淹没在形式化的海洋里。”（张奠宙）从数学思想方法的特点和形成过程来说，对学生数学思想方法的渗透不是立竿见影的，而是一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。要真正发挥数学教材渗透数学思想方法的作用，需要数学教师进一步更新观念，加强学习，促进自身数学素养的不断提升；深入研读教材，提高思想方法渗透的自觉性，把握渗透的可行性，注重渗透的反复性，让学生的数学思维能力得到切实、有效的发展，进而“通过数学学习帮助学生学会数学思维”。
（责编 罗 艳）