[关键词]学生 数学 生长 本质 活动 思考 智慧
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）05-012
我认为，数学教学的根本目的是促进学生智慧的自主生长。生长，意味着对话、顿悟和应用，是学生经历朦胧、混沌、积聚、清晰、连接的过程。这就需要我们教师充分激发学生的主体性和生长性，使学生能根据已有的知识储备和思考，完成自己的再创造、再建构。其中，把握数学本质和巧设数学活动是帮助学生实现激发思维、促进智慧生长的关键。只有抓住数学的本质，设计好的活动，才能使学生轻松地理解抽象的数学知识，促进智慧的生长。
那么，教师在教学实践中应如何正确把握数学的本质？应该设计怎样的数学活动，使学生真正理解抽象的数学知识呢？最近，我教学“体积与容积”一课，感悟颇深，现说说自己的思考和探索，与大家一同分享。
一、对本堂课中数学本质的重新认识
“体积与容积”是北师大版小学数学教材五年级下册的教学内容，教材是这样定义这两个概念的：“物体所占空间的大小，叫做物体的体积。”“容器所能容纳物体的体积，叫做它的容积。”可见，容积也是体积，它们的内涵核心是“所占空间的大小”。因此，有的教师认为“要理解体积的含义，就必须先理解什么是空间”，于是教师会围绕空间的概念展开教学。张奠宙教授在《从体积的定义说起》一文中指出：“‘所占空间的大小’的说法，并非是体积严格的定义，充其量不过是对体积教学的一种解释，并不会对学生理解体积有多少帮助，因此不要在这里大做文章。”
那么，这一节课应该教给学生什么呢？它的数学本质是什么？我认为，应该在体积的特征上下工夫。如：（1）体积和面积的区别。面积是表示面或封闭图形的大小，而体积是表示物体的大小，它不仅受长度和宽度的影响，还受高度的影响。（2）体积是度量物体的量，它的大小可以用数来表示。（3）体积具有运动不变性。也就是说，一个物体或多个物体在运动后，其体积不变。（4）体积可以叠加。两个同样的物体放在一起，它们的体积就是其中一个的2倍；如果有这样的3个物体放在一起，它们的体积就是其中一个的3倍，以此类推。（5）体积与容积的联系和区别。比如一块砖头，它有体积，那它有容积吗？当然是没有容积的，或者说它的容积可以看做是0。但是如果我们在砖的中间挖掉一块，那它有容积了吗？能不能使它的容积变得更大一些呢？它的体积有变化吗？
大家都知道，数学学科的本质即数学味。我们的课堂只有触及数学的本质，才会荡漾出浓郁的“数学味”，因为具有“数学味”的课堂才是有内涵、有思维、有生长的课堂。
二、对当前教学本课的一些“热”现象的“冷”思考
1.排水实验一定要做吗？
教师为了让学生体会抽象的空间，一般都会在教学伊始演示排水实验，试图引导学生通过观察土豆和红薯占了水的有限空间，使水面上升来感知空间。我认为，课堂教学中过早地运用排水实验来帮助学生理解物体所占空间的大小并不合适。首先，正如张奠宙教授所言：“空间比体积更费解、更难懂。”课堂教学中，如果要先通过探究空间再来理解体积，学生会越听越糊涂，从而把本来简单的事情变复杂了。其次，这样的排水实验学生很熟悉，并不陌生。而且，《乌鸦喝水》的童话故事学生早就耳熟能详了，再加上三年级科学上册《空气占据空间吗》一课中已提出“占据空间”，学生已有过相关的科学实验操作。如果这样的实验活动再放在五年级数学“体积和容积”教学中，不仅会耗费很多宝贵的时间，还会分散学生的注意力，弱化学生的思考力。其实，空间大小是人的直观感知，体积也是能直观感知的，教师不需要花费过多的时间和精力来进行实验。我们都知道，学生在幼儿期甚至牙牙学语时就能判断哪个苹果大、哪个苹果小，更何况五年级的学生。再次，排水实验是物理学的实验方法，它侧重于观测，如果我们试图通过观察水面的上升变化来帮助学生联想到空间大小，本身也不是很妥当。
2.不死扣定义教学行吗？
在这节课的很多教学展示中，教师都会试图解释并让学生理解空间、大小、容器、容纳等词语的意思，紧紧扣住书上的定义做文章。这节课的教学非得这样死扣定义吗？前面已经分析过，书上的定义只是对概念的一种解释。所以，我认为这节课不必死扣定义进行教学，可以从学生已有的生活经验入手，通过看一看、说一说、比一比等活动，引导学生排除干扰，规范自己的语言。教师应该多在空间、大小等概念的特征上下工夫，力求触及数学的本质，增进学生对体积意义的深刻理解。
3.怎样更好地帮助学生理解体积和容积的差别？
我发现，很多课堂因为在做实验和教学定义上花了过多的时间，以至于没有太多的时间来帮助学生理解体积和容积的差别。又或者说，由于容积是体积的下位概念，教师只是把容积概念建立在体积概念同化的过程中，缺失了引导学生对这两者差别的讨论和探究。当然，也有一些教师会引导学生理解体积和容积的差别。例如，有的教师会安排同一个物体体积和容积大小比较的活动，让学生讨论“冰箱的体积和容积哪个大”等问题。我发现这样教学的效果不太好，学生越学越糊涂。其实，我们一般进行的是同概念之间的比较，即体积之间或容积之间的大小比较，在初学时就把体积和容积进行大小比较，不但不能促进学生对概念的理解，反而会误导学生混淆概念，增加学习负担。还有一些教师通过体积差不多的物体的容积大小比较（如“两个差不多的茶杯的容积一样大吗”等），或者通过在一个长方体木块中间挖出小长方体的活动，让学生经历容积从无到有的过程，由此来帮助学生体会它们之间的差别。这样教学虽有一定的借鉴价值，但总觉得还是比较复杂，不能简单明了地揭示体积和容积的差别。怎样可以让学生能轻松自在地理解体积和容积的差别？这需要我们做进一步的思考和探索。 三、教学实践与思考
活动1：先学后议，结合例子认识体积。
（1）揭示学习主题。
师：今天我们来研究“体积”（板书）。哪里有体积？
生：铅笔盒有体积，空调有体积，人有体积……（课堂气氛热烈）
师：老师也带来了一些物体，它们有体积吗？（出示教具：一只箱子，两本书，一个茶杯，一个木块，一个红薯，一块石头）它们的体积一样大吗？（生争先恐后地发言）
（2）学生尝试描述体积。
师：刚才说的都是有体积的，那什么是体积呢？谁能用一句话来概括一下？（课堂一下子安静下来了，学生紧锁眉头思考）
生1：体积就是一个物体所占的面积。
生2：体积就是物体的大小……（说不清楚）
（3）自学课本。
师：到底什么是体积？书上是怎么说的呢？我们翻开书本来自学一下。（生自学书本第36页）
（4）规范学生对体积的表述。
师：你能不能用学到的知识来介绍一下一个物体的体积？（生表述）
（5）理解意义。
师：现在我们来反思一下刚开始同学们对体积的描述。谁来发表一下你现在的看法？
生3：体积不是面积。
生4：面积是面的大小。
师：体积是面的大小吗？
生5：面积是面的大小。体积是物体所占空间的大小。
……
在这个教学活动中，我充分尊重学生已有的知识经验，在“热闹地”暴露他们的认知基础后，引导学生“冷静地”思考数学概念的意义，因为只有当学生遇到困难时才会有进一步探索的需要，这样的阅读和交流才会显得更有意义。其实，学生的生活与他们的数学理解是交织发展的，所以教师可让已经具备感性经验的学生通过自学、交流、反思等活动，进行自我纠正、排除干扰和加深理解。“什么是体积”从某种程度上来说是一种人为的规定，不需要探究，只需要学生结合实际例子能规范地解释和运用即可。通过对“体积是面积吗”这个问题的讨论，学生有了一个基于自己理解的合理思辨，在思考和分享中慢慢明白这两者的不同，经历了从模糊到清晰、从浅显到深刻、从经验到数学的生长过程。
活动2：比较大小，通过对比理解本质。
（1）提出问题。
师：你能选两样物体来比较一下它们体积的大小吗？（生操作思考）
（2）交流汇报。
生1：纸箱和茶杯比，茶杯的体积小，纸箱的体积大。
师：你们同意吗？你是怎么想的？
生1：一眼就能看出来了。
师：他是直接观察判断的。其他同学呢？
生2：橡皮能放进盒子里，所以它的体积一定比这个盒子小。
师：他的方法你们听明白了吗？真棒！
生3（举起书本）：这两本书的封面是一样大的，那就看高度，越高的体积就越大。
师：这说明体积的大小除了跟长和宽有关外，还要看什么？（课堂气氛热烈）
生：还要看高度。
师：说得真好！那你们能想个好办法，比较出这块石头和这个红薯谁的体积大吗？
生4：拿两个同样大小的烧杯，倒入同样多的水，再把这两样物体放进去，谁的水面高，谁的体积就大。（不做实验，生通过想象和推理也明白了实验的意义）
（3）小结。
师：刚才我们比较体积的大小，其实就是在比它们的什么？
生5：所占的空间谁大。
生6：因为体积就是物体所占空间的大小。
……
我们知道，比较体积大小的过程是学生理解体积概念的重要途径，因此比较体积大小的活动一定不能流于形式，而要注重实质，紧扣本质，层层递进。最后在比较两个差不多大小的不规则物体的体积时，我没有做实验，而是通过对比和想象，引导学生理解体积概念的本质，使学生在现有的体验中进行自我感悟、自我发现、自我创造。事实上，学生的数学思维可以很好地帮助他们将日常生活经验向数学本质递进，这才是数学活动的价值。课堂上，学生列举出多种方法来比较体积的大小，可见这个问题已经很好地引领学生进行数学思维和空间想象，既有利于学生对概念的深入理解，建立认知的深刻表象，又有助于他们活动经验的积累和空间观念的发展。
活动3：装套箱子，展开想象体会差别。
（1）实验操作。
师：体积和容积有什么不同呢？下面，我们以纸箱为例（如下图），请大家一边观察一边思考。假如我们把这只纸箱的箱壁加厚（多媒体演示贴缝装进一只小箱子），再这样加厚（多媒体演示又贴缝装进一只小箱子），请你想象一下，如果一直这样加厚下去，它的什么变了，什么没有变？（课堂气氛热烈）
生1：箱子的容积变小了，体积没有变。
师：为什么？
生2：箱子里面的空间（可容纳的空间）越来越小，所以箱子的容积就越来越小。
生3：因为箱子外面没有加厚过，所以它的体积没有变。（其他学生都点头赞同）
师：那如果我们不是往里面加厚箱壁，而是在这个箱子的外面加厚它的箱壁（多媒体演示在箱外不断套上新的箱子），如果也是一直这样加厚下去，请你想象一下，这时它的什么变了，什么没有变？（生都跃跃欲试）
生4：箱子的体积变大了，容积没有变。
师：为什么？谁能说明道理？
生5：因为箱子里面的空间大小没有发生变化，但一直在外面加厚的话，整个箱子所占的空间就变大了，所以体积变大。
（2）概括小结。
师：说得太好了。现在你理解体积和容积的差别了吗？谁来概括一下？
生6：容积是指里面（内部）的空间大小，体积是整体所占的空间大小。
……
设计这一活动的主要目的，是使学生能简单明了地知道体积和容积的差别。我用很普通的材料（几个纸箱子）进行叠加演示，引导学生通过观察想象、思考交流，很轻松地感悟出体积和容积这两者间的差别，即容积是指里面的空间大小，体积是整体所占的空间大小。需要指出的是，这里的操作演示并不是为了形式上的生动，而是更多地关注知识的本质和学生的抽象思考。这样的活动过程虽简单，但能让学生印象深刻，理解到位。可见，课堂教学中的活动要为学生的数学理解服务，要为学生认知的生长、思维的发展服务。如此，教师才会会教得简简单单，学生才会学得明明白白。
活动4：应用拓展，利用比较深化理解。
（1）出示问题。
思考：谁的体积大，谁的体积小？
①数量相同（10枚）的硬币分别垒成下面的形状。
②淘气和笑笑各搭了一个长方体。
（2）学生汇报交流。
生1：因为每一枚5角硬币的体积比1元硬币的体积小，所以A的体积最小。
生2：因为B和C都是由1元硬币垒成的，每一枚硬币的体积相等，所以它们的体积是一样大的。
生3：只要是10枚一元硬币，怎么摆体积都不会变。
师：那你有办法让B的体积最大吗？
生4：在B这里再加一枚硬币就可以了。
生5：也可以在C上减少硬币。
生6：笑笑搭的长方体体积大，因为她用了30个小正方体，而淘气只用了28个小正方体。
……
这个活动的开展，不仅很好地突出了概念的本质属性，使学生知道了体积的有限可加性、运动不变性等特点，还让学生学会用数值来刻画体积的大小。我发现，学生能运用所学知识比较物体体积的大小，很自然地开展了观察、想象、比较、推理、创造等思维活动。同时，这个活动能很好地从认识的增长、思维的发展、情感的提升等方面，帮助学生将所学的数学概念内化为自己的理解。
总之，数学教学中，教师应把握数学的本质，巧设数学活动，使学生真正理解所学知识，获得不同的发展。