江苏扬州市江都区教师进修学校附属小学（２２５２００） 莫正云
［摘 要］《数学课程标准》指出：“数学教学要让学生能根据解决问题的需要，收集有用的信息并进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力。”因此，课堂教学中，教师要引导学生经历数学思考的过程，使他们感悟合情推理的方法，培养与发展学生的合情推理能力。
［关键词］数学教学 数学思考 合情推理 培养
［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（201５）08-056
《数学课程标准》指出“数学教学要让学生能根据解决问题的需要，收集有用的信息并进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力”，这里说明了培养学生合情推理能力的重要性。而小学生的年龄和认知特点也决定他们不可能通过严密的逻辑推理去获取知识，数学猜想、列举归纳、类比迁移等合情推理的方法便成为他们重要的学习方式。
一、对合情推理的本质解读
推理主要有演绎推理、归纳推理、类比推理。其中，归纳推理有完全归纳和不完全归纳两种情况，完全归纳是确定性推理，不完全归纳是或然性推理。人们把结论具有或然性的不完全归纳推理和类比推理称为合情推理。数学合情推理是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动，思维者不是按部就班地进行推理，而是对思维对象从整体上进行考察，调动自身的全部知识经验，通过丰富的想象做出敏捷而迅速的假设、猜想或判断，这种思维过程是由特殊到一般的推理过程。科学家凯德洛夫明确指出：“没有任何一个创造性行为能离开合情推理。”也就是说，任何一个概念的建立，总是先猜测、发现一定的规律、内容，再进行检验、完善、修改，然后加以类比。其中一次次的尝试，需要充分运用的不是论证推理，而是合情推理，其实质是“发现——猜想”。
二、培养合情推理能力的方法
徐利治教授指出：“数学合情推理能力是可以后天培养的，实际上每个人的数学合情推理能力也是不断提高的。”那么，如何在课堂教学中使学生学会合情推理，掌握合情推理的方法，进而形成合情推理的能力呢？
１．创设问题情境，激发猜想的需要
一切探究活动都是从问题开始的，只有当学生自己感到问题的存在，不得不问“为什么”“是什么”“怎么办”时，思维活动才真正开始。因此，要使学生学会合情推理，教师要善于把教学内容改编成适合学生推理的内容，设计能够激发猜想的问题。
（１）增强生活趣味。
教师可根据教学内容、生活实际和学生的求知心理，把学生引入参与问题解决的情境中，激发他们的学习兴趣，使他们产生进行推理的动机。例如，教学圆锥的体积计算公式时，教师可创设这样的情境：“谁能猜猜圆锥容器中的果汁有多少？（提供选择的范围）猜对了就送给他。”第一杯猜对了，学生很想再猜第二次，教师马上拿出第二杯果汁——高度不变，但底面积变大。有学生猜出果汁比原来多，于是教师又送出第二杯果汁。这时，其他学生急了，嚷着还要猜，教师拿出第三杯果汁——体积变高，但底面积变小了。有学生猜果汁变多了，有学生猜果汁变少了，最后学生通过讨论一致认为不好猜。教师问：“看来，圆锥的体积和什么有关？（底面积和高）下面，让我们用实验一起验证我们的猜想。”……以游戏的形式创设与学生密切相关的生活情境，再引导学生合情推理圆锥的体积计算公式，教学自然水到渠成。
（２）增强数学思考性。
根据学生学习水平设计具有探索性、挑战性的数学问题，同样可以激发学生猜想的需要。例如，教学“圆面积”一课时，教师可先提供圆面积与半径的关系（如右图），让学生猜想圆面积和半径有怎样的关系、圆面积大约在什么范围内。学生边观察边猜想，从圆面积与外接正方形面积的估计中，从以半径为边的小正方形面积与圆面积的包容比较中，进行多种猜测和估计。这样就初步从整体上把握圆面积大小的本质，进一步理解与解决问题了。
２．结合教学内容，渗透合情推理的方法
（１）在不同知识领域中运用。
其实，学生合情推理能力的培养在“数与代数”“统计与概率”及“实践与综合应用”等课程内容中也有体现。例如，在“数与代数”的教学中，计算要依据一定的规则（如公式、法则、运算律等），而计算中的推理（算理）、现实世界中的数量关系等，往往有其自身的规律。如找６０的因数，不同的学生会得到不同的结果：６和１０；３和２０；１和６０……学生进行讨论交流时，会发现这几对因数之间的关系：６乘２得１２，１０除以２得５，６０的一对因数是１２和５……如果学生继续举例探究，会这样归纳：把一对因数中的一个因数除以某个数（商是整数），另一个因数乘以这个数，就能得到一对新的因数。在这样的过程中，学生实际上运用了合情推理中的简单归纳推理。
（２）在新旧知识联系中运用。
教师在教学中要将新知识与旧知识进行类比，既可以降低新知识的教学难度，起到化难为易的作用，又可以巩固学生已学的旧知识，沟通新旧知识间的联系。例如，教学“分数的基础性质”时，教师可以先让学生复习商不变的规律，然后引导学生：“如果把每个除法都改写成分数，推理一下，分数是不是也有什么性质呢？”经教师启发后，学生发现分数的分子、分母相当于除法里的被除数、除数，既然在除法中有商不变的规律，那么分数里也应该存在分数大小不变的规律，进而发现“分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（０除外），分数的大小不变”这一基本性质。
３．提供丰富的素材，搭建合情推理的阶梯
合情推理能力的培养，是以学生已有的数学知识和经验为基础的。因此，教师要为学生提供合适的学习素材，激活学生相关的知识与经验，为学生搭建、接近正确结论的阶梯。例如，教学“探索图形覆盖规律”一课时，教师为学生提供以下充足的探索素材：１～１０、１～１５、４～１５三种不同的数表，每次框２个数、每次框３个数及每次框４个数的数框。教师提问：“有几种不同的和可能与什么有关？”学生有的说与框的总数有关，有的说与每次框的个数有关，还有的说与数框平移的次数有关……然后教师组织学生根据猜想和提供的材料进行小组合作探究，学生通过多次实验比较及不完全归纳得出结论：数的总个数－每次框的个数＋１＝不同和的个数。试想：“如果教师不提供上述素材，直接提出猜测的问题，则学生的推理会变成没有任何思维含量的臆测。如果教师提供的只是一种数表或一种数框，学生的推理就显得片面、不完整，给人巧合的感觉，其结论当然不为学生所信服。”
４．分析验证结论，发展合情推理的能力
培养合情推理的能力，还可以选取一些典型的数学结论的创造过程，让学生通过模仿和实践验证，在实践活动中发展合情推理能力。例如，教师可以利用多边形内角和的公式，引导学生通过列举三角形、四边形、五边形、六边形等图形的内角和，经过计算明确内角和计算公式的来龙去脉，使学生的合情推理能力得到进一步发展。
三、合情推理能力的培养要明确几个问题
１．合情推理能力的培养不是孤立的
合情推理与演绎推理既不相同，又相辅相成，两者紧密结合。由合情推理得到的猜想，往往通过演绎推理得出证明；演绎推理需要建立在合情推理的“发现——猜想”之上。合情推理能力不是孤立发展的，必须与观察力、想象力、创造力、表达力等多种能力相互作用，才能得以发展。
２．合情推理能力的培养具有差异性、层次性
合情推理能力的培养必须考虑学生的身心特征与学习水平，注意层次性。同时，教师还要关注学生的个体差异，因为不同学生的知识水平、思维方式不同，思维能力的形成会存在较大差异。课堂教学中，教师应针对学生的个体差异，制定不同的要求，把学生掌握推理的过程变为学生的自觉要求。长此以往，学生获得的不仅仅是知识，更重要的是数学思维的发展与数学素养的提高。
（责编 杜 华）