浅谈数学教师的“问题储备”

石明磊

贵州省平塘县者密中学558300

【摘要】数学必须探寻其本体性，即要探究"形而上"：首先，明确一个教师的"问题储备"的基础性意义；其次通过举例初步定义形而上概念；其三，根据案例确定如何从海量的数学问题中去伪存真、抽象整合、形成理论。

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关键词问题储备方法封闭性要素域研发问题

数学是自然科学的"哲学"，因此必须探寻其本体性，即要探究"形而上"。在数学教学上，这形而上可定义为抽象的"逻辑建构体系"。下面本人把"教师应如何建构数学问题背后的形而上的逻辑体系"做一个浅显的分析，供读者参考。

都说学数学需要方法，那么教数学更得需要恰如其分的方法、途径、策略。而这所谓的方法教学，必须以系统的、分层的问题为依托进行合理的"建构"。可以说"掌握了方法"就是"记住了问题"，"记住问题"是手段，而"掌握方法"是目的。

我们在教学中：要让学生明白"解题"并不是学习数学的重点目标，学数学的重点是挖掘和归纳一个个问题背后的思路方法，并以此作为突破"远期问题"的预备知识；同时，要让学生学会分析各种数学思想方法之间的联系与区别，还有它们的承接、互证、互补等关系，并自我建构个性化的"数学思想方法体系"。其实，对于数学里的概念、定理等基础知识来说，其目的都是为了"建构方法"而定义的。因此，那些基础知识是稳定的，而思想方法是灵活的，更是可创新的。

离开了问题，就没有数学，更谈不上方法。作为教师来讲，首先要广泛的、大量的收集和整理问题并解决它们，可以说是搞题海战术，使得自己的问题史料汗牛充陈。这需要教师的吃苦耐劳精神，要经得住寂寞。一个教师只有具备不计其数的问题史料，才能相对的穷尽数学的思想方法，也才能更好的引导学生进行高效学习，毕竟教师的视野要远高于学生才能把握住方向。教师的命题能力有四个层次：组题、编题、研题、评题。对于教师来说搞题海战术就是逐步实现这"四个层阶"的基础。

那么，一个教师如何才能有效地整合"问题资源"呢？其中，最基本的策略就是分类问题和重组问题，以便初步勾勒出问题系统。对此，本人结合自我的教学经验和观摩，浅显的总结了一些体会。我曾经听过如下三位教师的观摩课，觉得颇有收获。值得欣喜的是：在他们的教学中也印证核实了我的教学策略并产生了共鸣。这三位教师讲的几乎都是偏重于几何内容的初三复习课，两位都是对分类方法的教学探索。总的感觉，这三位教师的"问题储备"都相当丰富，这也奠定了他们游刃有余地把控教学的基础。下面，我把观后感用问题的形式表达出来。

1.在复习课中如何编排"分类探索"的问题

其实，分类探索的问题是有其"要素域"（是我自己定义的，不一定严谨）的，就像九年级的有关"垂径定理"，它是由5个要素构成要素域，只要挑出其中的两个就能证明剩下的三个一样。说这"要素域"，类似于高等代数里边的封闭性，可以把其中的部分要素作为条件，就能合理完整地推导出所剩要素。教师在编排时，要抓住这要素域里边的"条件的秩"，然后适当的赋予其变量，就可以研究出"可分类讨论"的标杆来了。比如，那"弦切角定理"的要素域里有这么几个要素：弦切角、圆周角、圆心，还有他们的位置关系（类似于映射里的对应关系f）。这里相对于他们的位置关系可赋予圆心一个"变量"，即：圆心在弦切角的外部、圆心在弦切角的边上、圆心在弦切角的内部，这样就能达到分类的目的。但是值得注意的是初中数学只涉及"一元函数变量"，也就是说在编题时只能让其中一个要素产生分类效果，这等于限定了难度。再举例的话，她抓住了其中的一个变量。问题如下：

如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点。∠AEF=90度，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF。

（其实，这道题是曾经流行过的老题）

她在明确了全等的基本方法之后，提出了"当点E在直线BC上自由移动，且其他条件不变的时候，AE=EF仍然成立吗？"的假设，并引导学生探索。这也类似于锁定"一元变量"的编题方式。这堂课，这位教师并没有明确点出"证明一组线段相等的基本方法是全等"的概念，而且"如何建构待定三角形"的方法也没能及时总结，致使后续的讨论不太顺畅，并且也没能明确点出"如何分段"来确定点E的位置。

2.如何研发"综合性"问题

在初中数学中最富魅力的问题，我觉得应该是"数形结合"的问题，因为它是感性与理性的复合，充满着定性与定量的科学内涵，因而她显得那样的丰满得体、美轮美奂。要想编排数形结合的问题，就得根据不同的教学目的锁定图形与数理（也可叫做函数）契合点，即"数形交集"。要想准确把握这数形交集，不但要"对教材的掌握做到一个´熟´字、对课程标准的理解做到一个´透´字、对教学内容的处理做到一个´细´字、对学生的要求做到一个´严´字"，还要不断地扩充自己的问题储备，也就是要厚积薄发。下面感受一下老师的组题方式吧：

如图1，点A(0，－1)，点P，Q在抛物线上，PQ∥x轴，M是抛物线的顶点，四边形PABQ是平行四边形。

1)当点P在y轴上时，四边形PABQ是否是正方形？请说明理由；

2)如图2，直线过点M，且∥x轴，当平行四边形PABQ的中心在直线上时，

求平行四边形PABQ的面积。

那么，他何以加了这个问题？难点在哪里？它的难点是：能不能确定"平行四边形ABQP的面积为⊿PMQ面积的4倍关系"。要让学生领会，学生们就必须有相关的知识储备。要让学生们具备这种犀利的眼光，就得靠常规教学中的对"基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验"的贯彻落实。

总之，在数学教学中，教师要擅于优化整理各类问题，并要勤于抽象概括、分类各种数学思想与方法，以此作为提升职业水准的基础。

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参考文献?