文/崔 路
【摘 要】通过控制习题难度，可以向不同学生提供不同水平的习题，符合因材施教与循序渐进的原则。使用习题难度模型和点数法对全等三角形的证明一节的习题进行分析，发现习题难度模型适用性不强，可以与点数法结合来控制习题难度。
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关键词 全等三角形的证明；习题难度
因材施教、循序渐进，是中国传统教学的重要思想。在教学实践中发现，数学作业在数量、形式与难易程度上难以照顾所有学生的需求。已有研究建议教师之间可以加强合作，每个教师设计一个层次的作业，建立作业题库，可供教师在题库中选择适合本班学生的作业。但没有解决习题难度上的问题。
1.习题难度模型
鲍建生在对中英两国的课程难度进行比较时，提出了“数学习题课程综合难度模型”。该模型含有五个难度的因素，分别为知识含量、运算水平、背景水平、探究水平和推理水平五个因素，其中因素又分为不同的层次。吴立宝、王建波、曹一鸣认为：习题难度=0.38 知识水平+0.36 知识点个数+0.26背景。
2.点数法
点数法主要应用于几何题，把推理的每一个条件或结果算作一点，一个条件推出多个结论或多个条件推出一个结论时，每个条件再加一点。对于图形复杂的情况再增加点数，如：必须做辅助线加两点，由图可知得出条件加一点。使用最终结论处点数和作为证明难度的指标。
3.难度分析
全等三角形的证明是初中几何的重要组成部分，是轴对称图形、四边形的重要基础。对人民教育出版社2013版八年级上第12章第二节全等三角形中例题（L）、练习（按顺序分为练习1到4）和习题（X）的题号（TH）、探究水平（S）、背景（B）、运算（Y）、推理（T）、知识点数量（Z）进行分析，得出每道题的点数（D）和难度（N）。部分题目分析如下：
全等三角形的证明部分的习题各维度中的各个水平比重明显不均，作业分层可能存在问题，在一个维度上水平明显聚集的习题，难度计算可能存在较大误差。
使用spss对点数和探究水平、背景、推理、知识点做回归分析，发现探究水平、背景的系数均为负数，也就是探究水平、背景越高习题的点数越低，这明显违背常识，推理与知识点数量系数为正。使用SPSS对点数和难度进行相关分析，发现存在相关性，但相关度为0.384，属于低相关。对点数和其他各项做相关分析，点数与推理水平相关系数为0.645，与知识点个数相关系数为0.773，与探究水平相关系数为0.526，与背景相关系数为0.26，另外知识点与推理水平相关系数为0.748。点数法的计数方法主要受推理水平和知识点数量影响，全等三角形部分的背景对点数影响不足，而探究水平与推理水平的分析方法接近。吴立宝等人的习题难度模型考虑题目的探究水平、知识点数量、背景，鲍建生将证明分为3个层次并不适用于几何证明题。习题3仅比例3，练习1.1多1步，难度却是2.62和1.36，例4的点数是练习1.1的两倍，比练习1.1多了知识点“三角形内角和为180°”，推理步骤“三角形内两对角相等则第三个角也相等”。点数法中应该减少同理可得的点数，习题难度模型在几何部分也要增加推理的层次。
4.习题难度控制
三角形部分的习题，从习题难度模型考虑，难度主要是通过知识点数量、背景的有无来控制，探究水平可能控制不够精细，从点数法考虑，难度主要由推理的长度、知识点数量控制。几何部分复杂的背景较少，在学习勾股定理之后的四边形部分时，计算维度就会明显影响习题的难度，探究水平要在高难度的综合题出现时才会有较大的区分度。全等三角形部分，难度主要由知识点数量、推理长度、背景的有无来控制。
如例3与例4都是考察ASA，例4比例3增加了知识点“三角形内角和”和推理步骤“三角形内两对角相等则第三个角也相等”；习题11比例3增加了知识点“两直线平行内错角相等”及相应的证明步骤；练习3.2比例3增加了情境。
5.小结与建议
对教材全等三角形证明部分的习题整理发现，习题难度模型并不适用于全等证明这样的维度偏向明显的章节，可以结合点数法来考虑几何部分的习题难度，增加同一难度的习题数量或调整习题难度。
该研究不足在于：选择全等三角形证明一节的教材习题，范围较小，由于条件限制，没有对学生进行测试以获取实践的正确率，来确定点数法和难度模型的效果。后续可以对点数法进行优化，修改现有难度模型以适应不同知识模块。
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参考文献
[1]鲍建生.中英两国初中数学课程综合难度的比较研究[D].上海：华东师范大学博士学位论文，2002
[2]吴立宝，王建波，曹一鸣.初中数学教科书习题国际比较研究[J].课程教材教法，2014，02.第34卷第2期：112-117
[3](日)中西知真纪等.几何证明的难度分析—难度的点数化表示法[J].数学教学研究，1983，03:26-28
（作者单位：辽宁师范大学数学学院）