——例析反比例函数与面积问题
文/薛钧东
【摘 要】在初中数学中数与形的完美结合体现在函数及其图像上，尤其是反比例函数图像中有关面积和的关系的基本图形。可以利用形来确立解题的方向，明确目标，在找不到目标时找关键点（特殊点），利用其坐标构建与面积的联系，以点带面解决问题。这样可以有的放矢，减少探索过程和节省解题时间。
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关键词 初中数学；反比例函数；面积问题；思维目标
《义务教育数学课程标准》提出了“知识技能、数学思考、问题解决、情感态度”的四维课程目标，这也是数学学科中考（学业考试）评价学生的主要依据。近年来，几何图形与函数的结合已成为中考的热点和难点。在初中数学中数与形的完美结合体现在函数及其图像上。相对而言，在一次函数、反比例函数、二次函数中与面积结合得比较完美的要算反比例函数。反比例函数与面积结合的难点是如何让学生确立解题思维目标，而不被思维定势所局限，其关键在于熟练运用反比例函数点与形的关系来解决问题。下面以近年各地中考试题为例作如下剖析。
一、立思维目标——点与形的关系
反比例函数的图像是双曲线,在反比例函数y=
（k≠0）的图像上（如图1），任取一点P，过这点向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、B，可得S矩形APBO=｜k｜；连结OP，进而可得SΔAOP=
｜k｜；同时它既是中心对称图形又是轴对称图形，因此双曲线上的每一点可通过对称性找到其对称点。特别是｜k｜与面积的数形关系，在解题中往往能起到奇效，使人产生柳暗花明又一村的感觉。因此引导学生养成先找基本图形再求面积的思维模式，可以有效确立解题思维目标，从而有的放矢，缩短思考问题的时间，提高解题效率。
1.形的简单运用
【例1】如图2,已知A是反比例函数y=(k≠0)的图像上的一点,AB⊥x轴于点B，且△ABO的面积是3,则k的值是()A.3 B.-3 C.6 D.-6
【分析】通过基本图形找到SΔAOB=｜k｜，可得｜k｜=6，因为双曲线经过一、三象限，所以k=6。
2.形的组合运用
【例2】如图3，点A在双曲线y=
上，点B在双曲线y=
上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为_____。
【分析】矩形ABCD的面积可看成由基本图形（1）面积减去基本图形（2）面积，即3-1=2。
二、破思维定势——点
思维定势是一种按常规处理问题的思维方式。它可以省去许多摸索、试探的步骤，缩短思考时间，提高效率。但任何事物都有两面性，思维定势对问题解决既有积极的一面，也有消极的一面，它容易使我们产生思想上的防性，养成一种呆板、机械、千篇一律的解题习惯。由思维定势带来的解题快捷便利的同时，也对解题思路带来束缚。当一个问题的条件发生质的变化时，解题者如果墨守成规，就会钻入死胡同，而难得其解。此时突破思维桎梏的关键在于点，寻找关键点，运用好关键点的坐标往往成为问题解决的突破口。
【例3】如图6，双曲线y=经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA＝2AN，△OAB的面积为5，则k的值是____。
【分析】基本图形的简单运用、组合运用对本题似乎不起作用时，就要寻找关键点（特殊点），本题中涉及条件最多的点是点A，因此点A是本题的突破口。设A点坐标为(a,b)，由条件知 OA＝2AN，即OA:ON＝2:3，利用放缩得到N点坐
得ab＝12，即可得到k的值为12。
由例3可以得到启示：在平时的教学中，不能片面强化反比例函数图像与面积相关的基本图形的思维训练，让学生形成思维定势；同时应使学生学会在具有对称性的反比例函数图像这一背景下，找到关键点，运用点坐标构建数量关系从而顺利解决问题。关键是要引导学生面对与反比例函数图像有关的面积问题时，能从容应对，灵活运用。
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参考文献
[1]教育部.义务教育数学课程标准[S].北京:北京师范大学出版社,2011
【作者简介】
薛钧东,男(1976-),汉族,江苏苏州人,苏州市一中分校一级教师,数学学科教育硕士,从事初中数学教学研究。
（作者单位：苏州市一中分校三元中学）