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2015年安徽高考数学理科18题第(Ⅱ)问解法探究

  • 投稿少林
  • 更新时间2015-08-30
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安徽省宣城中学(242000)项卫华

题目设n∈N*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标。

(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式;

(Ⅱ)记Tn=x21x23…x22n-1,证明Tn≥14n。

本题综合考查了函数导数、数列、数列不等式的证明,入口较宽,解法多样。笔者对第(Ⅱ)小题进行了探究,得到如下几种证法,供读者参考

由(Ⅰ)可知,xn=nn+1,Tn=x21x23…x22n-1=(12)2(34)2…(2n-12n)2。

证法1:当n=1时,T1=14。

当n≥2时,因为x22n-1=(2n-12n)2=(2n-1)2(2n)2>(2n-1)2-1(2n)2=2n-22n=n-1n,

所以Tn>(12)2×12×23×…×n-1n=14n。综上可得Tn≥14n。

证法2:当n=1时,T1=14。

当n≥2时,x22n-1=(2n-12n)2=(2n-2+2n2)2(2n)2>

[2n(2n-2)]2(2n)2=2n-22n=n-1n。以下同证法1。

证法3:(数学归纳法)①当n=1时,T1=14,显然不等式成立。

②假设n=k(k≥1)时,不等式成立,即Tk≥14k,则

Tk+1=(12)2(34)2…(2k-12k)2(2k+12k+2)2≥14k×(

2k+12k+2)2=(2k+1)24k(k+1)×14(k+1)=4k2+4k+14k2+4k×14(k+1)>14(k+1),所以当n=k+1时,不等式也成立。综上①②可知,Tn≥14n。

证法4:令An=(12)2(34)2…(2n-12n)2×4n,则

An+1An=(12)2(34)2…(2n+12n+2)2×4(n+1)(12)2(34)2…(2n-12n)2×4n=(2n+12n+2)2×n+1n=(2n+1)24n(n+1)=4n2+4n+14n2+4n>1,所以数列{An}是单调递增数列,故An≥A1=1,即Tn≥14n成立。

证法5:当n=1时,T1=14。

当n≥2时,因为2n-12n>2n-22n-1,所以(2n-12n)2>2n-22n-1×2n-12n,则

Tn=(12)2(34)2…(2n-12n)2>14×(23·34)×(45·56)×…×(2n-22n-1·2n-12n)=14n。综上可得Tn≥14n。

最后,希望读者参照以上证法对“n+1<(32)2(54)2…(2n+12n)2<2n+1”给予论证,以期对类似问题有所感悟。