安徽省枞阳县宏实中学(246700)吴利华 江保兵
数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法,用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。而圆的应用一直又是数形结合中的热门话题，本文结合笔者的解题经历，谈谈用圆的相关知识解决数学难题的方法，供大家参考。
1.发现隐藏的圆
例1（2014年浙江高中数学夏令营测试题）已知ti(i=1,2,3)为实数，则三条直线xcosti+ysinti=1围成的正三角形面积的最大值为。
分析：我们知道，过圆(x－a)2+(y－b)2=r2(r>0)上的一点P(x0,y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=r2，所有的切线构成的直线系M为λ(x－a)+μ(y－b)=rλ2+μ2，其中λ,μ为参数。
反之，也可由直线系M找到隐藏的圆方程。在本题中，这三条直线隐藏着一个圆，它的方程为x2+y2=1，又因为三条直线围成的三角形为正三角形，故它们所对应的图形有二种，分别为图1所示。显然这时Smax=SΔABC=33。
图1
无独有偶，我们再来看看下面这道题，分析与解答的过程留给读者。
（2009年高考江西理科题）设有直线系M:xcosθ+(y－2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：
A。 M中所有直线均经过一个定点；
B。 存在定点P不在M中的任何一条直线上；
C。 对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；
D。 M中直线所能围成的正三角形面积都相等。
其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）。
例2（阿波罗尼斯圆）满足条件AB=2,AC=2BC的ΔABC的面积的最大值是。
解：以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系。
设C(x,y)，由AC=2BC，得(x+1)2+y2=2(x－1)2+y2，化简得(x－3)2+y2=8(y≠0)?|y|max=22，(SΔABC)max=22。
评析：本题若用常规方法求解，使用余弦定理、正弦定理和面积公式，再利用函数的单调性求解，则计算过程非常复杂。本题解题的关键是找出隐藏在问题中间的圆——阿波罗尼斯圆。一般地，若动点M与相异两定点A(x1,y1),B(x2,y2)的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)，则动点M的轨迹为圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。
2.运用四点共圆
例3（2011年全国高考题）设向量a→、b→、c→满足|a→|=|b→|=1，a→·b→=－12，<a→－c→,b→－c→>=60°，则|c→|的最大值等于（）。
A.2B. 3C.2D.1
解：在平面上任选一点A，作 AB→=a→，AC→=b→，AD→=c→。由题意知∠CDB=60°，∠BAC=120°，由平几知识， A、B、C、D四点共圆，c→所对应线段AD为四边形ABCD外接圆的一条弦，它的最大值为圆的直径2。如图2所示。
本题可作一个简单的推广：设向量a→、b→、c→满足|a→|=m,|b→|=n，<a→,b→>=α，<a→－c→,b→－c→>=π－α，则|c→|的最大值等于2R。（其中2R是四边形ABCD外接圆的直径）
图2图3
例4（2014年安庆市重点中学联考题）已知点F1(0,－3),F2(0,3)，动点H满足|HF1→|=2|HF2→|。记动点H的轨迹为曲线C，过A(－1,0)的动直线l与曲线C相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m:x+5y+7=0相交于N。
（1）求曲线C的方程；
（2）探索AM→·AN→是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由。
分析：由题意曲线C为一个阿波罗尼斯圆 x2+(y－5)2=16， 不妨设它的圆心为C，连接AC交直线m于D点，则AC⊥ND,于是N
、D、C、M四点共圆，由相交弦定理知|AM|·|AN|=|AC|·|AD|，所以AM→·AN→=－6，与直线l的倾斜角无关。如图3所示。
评析：本题如果按照常规的解析方法处理，也能解决问题，但运算量过大。运用四点共圆的知识，不但能简化运算过程，而且突出试题的本质。
3.巧妙构圆
例5（2014年全国高中数学联赛贵州预赛题）
已知函数f(x)=x2+ax+1x2+ax+b(x∈R且x≠0)，若实数a,b使得f(x)=0有实根，求a2+b2的最小值。
解：设t为函数f(x)=0的实根，则t2+at+1t2+at+b=0，设a2+b2=r2。
把代数式t2+at+1t2+at+b=0变形为(t+1t)a+b+t2+1t2=0，它表示以a,b为变量的直线方程，而a2+b2=r2表示以a,b为变量的圆的方程，直线和圆至少有一个交点，所以
r≥t2+1t2(t+1t)2+1=mm+3≥22+3=25
(m=t2+1t2)， 所以a2+b2≥45，经检验，等号可以取得，即a2+b2的最小值为45。
注：运用同样的技巧，可以解决下面两道试题：
1.设二次函数f(x)=ax2+(2b+1)x－a－2(a,b∈R,a≠0)在［3,4］上至少有一个零点，求a2+b2的最小值。（2013年全国高中数学联赛浙江预赛题）。
2.关于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一个实根，求a2+b2的最小值。（2011年全国高中数学联赛湖北预赛题）。
例6（2014年内蒙古自治区高中数学联赛预赛）已知|a→|=|b→|=2,|c→|=1,(a→－c→)·(b→－c→)=0
，求|a→－b→|的取值范围。
解：建立平面直角坐标系，设c→=(m,n),a→－c→=α→=(a,0),b→－c→=β→=(0,b)，则m2+n2=1,a→=(a+m,n),b→=(m,n+b),a→－b→=(a,－b)，(a+m)2+n2=4,m2+(n+b)2=4，得到(a+m)2+n2+m2+(n+b)2=8，a2+b2+2am+2bn－6=0，做到这一步，怎么办了？从形式上看，a2+b2+2am+2bn－6=0表示以m,n为变量的直线方程，而m2+n2=1表示以m,n为变量的单位圆，直线和圆至少有一个交点，所以
|a2+b2+2a·0+2b·0－6|4a2+4b2≤1，解得7－1≤a2+b2≤7+1，|a→－b→|=a2+b2∈［7－1,7+1］。
评析：本题解题的关键是对向量的坐标处理，在解题的过程中要理解m2+n2=1的几何本质：它是一个实实在在的单位圆，并理解这个单位圆m2+n2=1对直线a2+b2+2am+2bn－6=0的制约作用。
美国数学家斯蒂恩曾说过：“如果能够发现一个特定的问题隐藏的几何图形，那么思维就整体地把握了问题，而且能创造性地思索问题的解法。”舍弃问题中的干扰因素，用圆来揭示问题的本质关系，是解题的需要，也是优化知识结构、训练思维、提高数学素养的需要，这也是素质教育的需要之一吧！
\[1\]波利亚。怎样解题\[M\]。上海教育出版社，2001。
\[2\]罗增儒。 数学解题学引论\[M\]。陕西师范大学出版社，2008。
\[3\]梁昌金。由加菲尔德构图引发的思考\[J\]。数学通讯(教师刊)，2014(8)。
\[4\]姚建明。道是无圆却有圆\[J\]。数学通讯(教师刊)，2013(5)。