江西省九江市第一中学(332000)江民杰
笔者在一次偶然机会，发现一特殊的直角梯形，可以迁移至圆锥曲线，并且可以解决一类问题，现与大家分享如下：
图1结论如图1所示，直角梯形PP1Q1Q中，FK⊥P1Q1，
P1Q1的延长线与PQ交于A点。若|AQ||AP|=|FQ||FP|，
则KF平分∠PKQ。
证明：由QQ1∥PP1可得
|AQ||AP|=|QQ1||PP1|,|FQ||FP|=|KQ1||KP1|，从而RtΔPP1K～RtΔQQ1K。
∴∠P1KP=∠Q1KQ。又FK⊥P1Q1，∴∠PKF=∠QKF，即KF平分∠PKQ。
下面将满足条件|AQ||AP|=|FQ||FP|的直角梯形迁移至圆锥曲线，可以得到一系列有趣的结论。
结论1过曲线y2=2px（p>0）的焦点F(p2,0)作弦PQ，准线x=－p2与x轴交于K点，则KF平分∠PKQ。
图2分析：如图2，过P，Q分别作准线x=－p2的垂线，
垂足分别为P1，Q1，由抛物线定义可知|PF||QF|=|PP1||QQ1|，
而|PF||QF|=|P1K||KQ1|，不难得到RtΔPP1K～RtΔQQ1K，
故|PK||QK|=|PP1||QQ1|，∴|PK||QK|=|PF||QF|，∴∠PKF=∠QKF。
该结论说明：过抛物线焦点F的弦PQ，存在另一个定点K，使KF平分∠PKQ。该结论可否改为更一般比呢？为达到研究的目的，我们对结论进行再分析。
图3再分析：当PQ⊥x轴时，由对称性可知，故可猜测K在x轴上；
当PQ与x轴不垂直时，延长PQ与准线交于A点。（如图3）假设KF平分∠PKQ，则有|PF||QF|=|PK||QK|，又|PF||QF|=|P1K||Q1K|，∴|P1K||Q1K|=|PK||QK|,
可知RtΔPP1K～RtΔQQ1K，从而|PP1||QQ1|=|P1K||Q1K|。
又由PP1∥QQ1,知|PP1||QQ1|=|AP||AQ|，又|PF||QF|=|P1K||Q1K|,∴|AP||AQ|=|PF||QF|。
当直线PQ绕F点旋转时，PQ与准线l的交点A满足|AP||AQ|=|FP||FQ|，故准线l可以看成满足条件|AP||AQ|=|FP||FQ|的动点A的轨迹。故K点在动点A的轨迹l上，又在过F点与l垂直的垂线上。
由于整个过程未涉及抛物线的定义，故结论１可以一般化。
结论2过曲线y2=2px（p>0）开口内一定点R（x0，y0）的动弦PQ，存在另一个定点K，使KR平分∠PKQ。
图4分析：如图4，假设存在K，使得KR平分∠PKQ，过K点作直线l，使l⊥RK。分别过P,Q两点作l的垂线，垂足分别为P1，Q1。借助于结论1的再分析知K点既在满足条件|AP||AQ|=|PR||QR|的直线l上，又在过R点与l垂直的垂线上。
下面先求满足条件|AP||AQ|=|PR||QR|的动点A的轨迹l的方程。
设P（x1,y1），Q（x2,y2），R（x0，y0），A（x,y）。
由|AP||AQ|=|RP||RQ|,知|AP||PR|=|AQ||QR|。令AP→=λPR→，则AQ→=－λQR→。
由AP→=λPR→,知x1=x+λx01+λ,
y1=y+λy01+λ,①
由AQ→=－λQR→,知x2=x－λx01－λ,
y2=y－λy01－λ,②
又y21=2px1③，y22=2px2④，
将①代入③得（y+λy0）2=2p（1+λ）（x+λx0）⑤，
将②代入④得（y－λy0）2=2p（1－λ）（x－λx0）⑥，
⑤-⑥得4y0yλ=4pλ（x+x0）,即y0y=p（x+x0）,
故l的方程为y0y=p（x+x0）。
再求过R（x0，y0）与l垂直的垂线y=－y0p（x－x0）+y0，由
y0y=p（x+x0），
y=－y0p（x－x0）+y0可求出定点K的坐标。
注意到l的方程为y0y=p（x+x0）恰为R（x0,y0）为极点时相对应的极线，故K点为极线l与过R与极线l垂直的垂线的交点。以此为背景可以命制数学试题。
如2013陕西高考21：已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得弦MN长为8，
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知B（－1，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点，若x轴是∠PBQ的角平分线，求证l过定点。
答案:（1）y2=8x；（2）l过定点（1,0）（该题实际上就是结论2的逆命题）
结论2的这种分析，对于圆、椭圆、双曲线可否类比？
结论3过曲线C：mx2+ny2=1（m,n≠0）开口内一定点R（x0,y0）的动弦PQ，存在定点K，使KR平分∠PKQ。
分析:由于结论2的分析未涉及抛物线定义，故结论2的分析过程可以迁移到结论3中，K点既在满足条件|AP||AQ|=|PR||QR|的动点A的轨迹l上，又要满足PK⊥l。
先求满足条件|AP||AQ|=|PR||QR|的动点A的轨迹l的方程。
设P（x1,y1），Q（x2,y2），R（x0，y0），A（x,y）。
由|AP||AQ|=|PR||QR|，知|AP||PR|=|AQ||QR|。令AP→=λPR→，则AQ→=－λQR→。
由AP→=λPR→，知x1=x+λx01+λ，
y1=y+λy01+λ。①
由AQ→=－λQR→，知x2=x－λx01－λ
y2=y－λy01－λ②
又mx21+ny21=1③，mx22+ny22=1④。
将①代入③得m（x+λx0）2（1+λ）2+n（y+λy0）2（1+λ）2=1，
即m（x+λx0）2+n（y+λy0）2=（1+λ）2⑤,
将②代入④得m（x－λx0）2（1－λ）2+n（y－λy0）2（1－λ）2=1,
即m（x－λx0）2+n（y－λy0）2=（1－λ）2⑥,
⑤-⑥得4mλx0x+4nλy0y=4λ，即l：mx0x+ny0y=1。
故A点轨迹就是R（x0,y0）相应的极线l，故K就是过R点的l的垂线与l的交点。
新编题R（1，0）是椭圆x24+y2=1内一点，过R的动弦PQ，是否存在K点，使KR平分∠PKR。若存在,求出K点；若不存在，说明理由。
分析：R（1，0）相应的极线l为1·x4+y·0=1，即x=4。过R点与l的垂线恰为x轴，故K点坐标为（4,0）。
综合结论1、2、3可得如下结论：
R（x0,y0）为曲线：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0（A,B不全为0）内（开口内）一点，过R的动弦PQ，总存在一点K，使KR平分∠PKQ。则点K在极线l：Ax0x+By0y+D·x+x02+E·y+y02+F=0上，又在过R点的l的垂线上。