何开胜
分类讨论思想，是一种对特定题型可能出现的不同情况分不同条件分析讨论进而得出结论的思想，即当题目不能在唯一的情况下进行讨论时，这时就要根据特定的标准将此题人为地划分为若干部分，然后再对各个部分分别求解，最后综合部分解题过程得到答案。在一些题目中，特别是涉及函数、数列、几何等的题型，只针对一方面进行思考无法得出完整的答案，这就需要学生们进行分类讨论。其实质是一种逻辑划分的思想，是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，属于思维的范畴，体现出的是一种对数学问题的认识、处理和解决的能力。
分类讨论的具体步骤：1．准确识别出所要讨论的对象，同时明确它的范围；2．确定分类依据，并在此基础上分类，使之不重复也不遗漏；3．逐个攻坚，获取阶段性的结论；4．进行归纳总结，得出完整答案。
一、分类讨论的基本原则
能得出完整答案的前提条件是要能准确地利用分类讨论方法，在运用此法分析题目的思考过程中，应确保分类依据的统一性、互斥性、代表性，做到不重、不漏，然后再考虑如何使分类变得更精简，更易于我们下一步的操作。为了确保分类的准确性，需要遵循如下原则。
1．分类标准的统一性。分类讨论的难点在于学生不好把握开始讨论的时机，即心中不清楚为何讨论、又从哪方面开始进行，等等。这就要求我们需要完全理解吃透所用的概念、定理、定义，全面地考虑题目给的条件。通常情况下，含参数的一元二次不等式的判别式、项的系数、根的大小等，常常是分类讨论划分的依据，学生们也要善于总结这些划分的关键点。
举个例子，根据角的特点把三角形分为锐角、直角、钝角三角形是完全符合要求的。但是假如把锐角三角形、直角三角形、等边三角形、等腰三角形、钝角三角形等划分在一起，此种分类方法同时用了按边、按角分类两种方法。要不就按边分，要不就按角分，应该只用一种标准，因此这种分类方法是不正确的。
2．分类标准的互斥性。各个分类的集合应该彼此互相排斥，即避免各个分类中出现相重合的部分，要不然会造成重复讨论，违背分类讨论的原则。
如：某小学一个班级有9个学生在运动会期间参加了跳高和100米短跑两个比赛项目，其中有6人参加跳高比赛，5人报名了100米短跑，倘若把这9个人分成参加跳高项目和参加100米短跑项目两类，就陷入了所谓的子项相容的误区。因为我们很容易判断出来，一定有2人既报名参加跳高，又参加了100米短跑。
3．分类标准的代表性。每次进行分类讨论时．要做到让对象不漏、不重，具有层次性、没有越级。当题目中同时存在多个类似的、不确定的划分因素时，我们要以占主导作用的因素为依据，然后对划分的每一类别分别求解，最后求出完整契合的答案。
二、分类讨论思想的运用
数学是逻辑性很强的学科，这取决于数学知识结构的严密性与延续性。因此，无论利用“分类”的办法总结归纳数学知识，还是指导课堂教学思路都具有重要的现实意义，它都渗透分类讨论思想。
1．在函数当中的运用。定义域内不能用一个解析式表达时，就要根据两个变量之间的关系将定义域分类讨论，这样，在不同的范围内就会有不同的解析式，这种表达两个变量之间关系的形式就是分段函数。严格来讲，分段函数的定义域分段必须遵循分类讨论的原则。比如，在讲解n次方根时，应该向学生们强调一点：正数的偶次方根有两个，这两个数互为相反数。在讲解根式的公式时，要向学生强调分类讨论。指数函数与对数函数中底数a的取值范围是一个重点，而它们的单调性则是由底数a来决定的，这点要加以强调。
2．在向量学习中的作用。用分类讨论思想指导教学，会使向量各知识点之间的脉络清晰，结构明了；用分类讨论思想解决向量问题，会使问题化繁为简，化难为易。我们可以用分类讨论思想来系统地认识向量：比如，向量的表示方法有：几何表示法（有向线段）、字母表示法(B，a)，坐标表示法(x，y)。两个向量之间的关系有共线、不共线，共线又分为共线且方向相同、共线且方向相反两种情况。向量的运算分为线性运算、数量积运算两种，其中线性运算包括加法运算、减法运算和数乘运算，结果都为向量，数量积运算的结果都为实数（可正可负）。
3．在几何中的运用。有些几何问题，因图形的位置不能确定或形状不能确定，就必须进行分类讨论。例如，写出终边在直线y=x上的角的集合A．分析：与45。终边相同的角和与225°终边相同的角。分好类以后还要注意观察一下这两类几何能不能合并。当然，一般情况下是能够合并的。