文/陈 颖
数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式，是对一类数学对象的本质属性的反映。数学概念是数学知识中最基本的内容，是数学认知结构的重要组成部分，它还是建构数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是数学学科系统的精髓和灵魂。在高中数学教学中具有举足轻重的地位。APOS理论作为一种建构主义的学习理论，是依据数学学科特点而建立起来的数学理论．强调在学习数学概念中首先处理的数学问题要具有社会现实背景，并要求学生开展各种各样的数学活动，活动中学生在已有的知识和经验基础上通过思维运算和反省抽象，对概念所具有的直观背景和形式定义进行必要的综合，从而达到建构数学概念的目的。因此，APOS理论应用于数学概念教学具有重要的意义。
一、APOS理论指导下的教学策略
“操作”阶段是学生通过操作来感知事物，感受所学的数学概念的知识的发生、发展过程和背景，加深学生对知识的理解，培养学生的数学探究能力和抽象概括能力，操作阶段只是感性认识阶段。
在“操作”阶段，教师应该提供典型的、适度的感性素材，设计合理的数学活动，为观察、联想、归纳、概括等活动提供固着点。指导学生亲自参与到活动中去，体验感受知识产生的过程，同时还要考虑学生的“最近发展区”，找准知识的“生长点”提高学生学习的主动性。
“过程”阶段是学生对操作活动进行思考，经历思维的内化压缩过程。学生能够在头脑中对数学活动进行描述和反思，抽象出概念的特有性质。“过程”阶段是学生对感性认识的处理、组织、顿悟，是思维飞跃的关键，通常也是概念学习的难点与关键。
在“过程”阶段，教师的引导很关键，需要启发学生对“操作”阶段进行反思。需要教师提出有针对性的，符合学生思维特点的问题驱使学生思考，设计递进性的问题，使学生的思考不断深入，并对素材进行归纳和概括。同时，教师要给学生反思“操作”的时间，保证真正意义上的参与，因为“过程”的感悟更为重要，是对素材的升华。
“对象”阶段是对“过程”阶段的提升，归纳抽象得到了事物的本质属性，并用恰当严谨的语言表述出定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象。是概括的结束，也是新的概括的开始。
在“对象”阶段，要教师及时总结、提炼、归纳出属性。学生对概念的掌握只是初步的阶段，或许某些特征还不清晰，教学中需要用对“操作”阶段和“过程”阶段进行反复的实施，达到有意义教学，促使学生的认识从“对象”上升到“概型”阶段。
“概型”阶段是对概念有关的所有操作、过程和对象以及与这个概念有关的所有知识形成的认知结构或认知框架，其作用和特点就是决定某些刺激是否属于这个图式。
在“概型”阶段，教师可以利用变式教学把概念的本质属性和非本质属性分离。并且用例题的教学、学生自我总结等多种方式丰富学生对“对象”的理解，帮助学生的认识上升到“概型”的层次。同时，不仅要形成本概念的图式，还要前后知识的连贯，注重概念在整个体系中的位置和重要性，促使学生形成完整的认知结构。
二、基于APOS理论的指数函数的教学设计
指数函数是超越函数，学生第一次遇到，学习面临着挑战。其学习过程充满着观察、分析、抽象、概括等方法，蕴含着从特殊到一般、数形结合、函数的思想。因此，学习指数函数是学生认识函数的又一次飞跃。《普通高中数学课标》指出“通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景”。下面是基于APOS理论指数函数教学过程的设计。
1.“操作”阶段——创设问题情境 感知指数函数
问题情境1 折纸问题，让学生动手折纸，观察：①对折的次数x与所得的层数y之间的关系；②对折的次数x与折后面积y之间的关系（记折前纸张面积为1）。
问题情境2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%。求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系。设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示。
结合学生已有的知识结构，选取生活中熟悉的场景让学生通过动手操作，归纳概括两个变量之间的关系，感悟到生活中指数函数，形成感性认识，认识到指数函数的现实意义，同时激发学习的求知欲。例如通过折纸活动产生2，22，23，…,最后抽象出y=2x，整个过程由学生自主完成。
2.“过程”阶段——展示探究过程 内化指数概念
学生活动 学生自主分析问题情境，探究得到两个变量之间的函数关系式是y=2x,y=(1/2)x，y=0.84x。
观察前面得到的函数解析式在形式上与函数y=x2有什么区别。引导学生从自变量位置的角度考虑。学生观察可以发现前面函数的自变量都在指数的位置上,而y=x2的自变量在底上。除此之外，这些个函数还有什么共同特征。发现底数都是常数，自变量都在指数的位置。
通过反思比较，归纳出对象的共同特征，通过同化和顺应纳入原有的认知结构中。这个过程需要学生积极主动探究，因此要激发学生学习的主动性。在学生无从下手的时候可以借助函数y=x2来提示学生。通过有意义的接受学习和“操作”“过程”反复的实行,形成新的认知结构，这是对象操作内化的过程，也是思维压缩与提取的过程。
3.“对象”阶段——建构对象实体 把握运算性质
若用a来表示常数，可以抽象出一个数学模型y=ax。板书指数函数的概念，一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，它的定义域是R。
思考:为什么要限制a>0且a≠1?当时a<0时，不妨取a=-3，这时y=(-3)x，当x=1/2，1/4…时，函数没意义；当a=0时，这时y=0x，当x≤0时，函数没意义；当a=1时，这时y=1x=1是常量，没有研究的价值。
指数函数是形式定义，指研究满足这样形式的定义ax的系数为1；指数上只有唯一的自变量x；底是一个常数且必须满足a>0且a≠1。
提问：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？
让学生选择讨论的内容，提高课堂的参与程度，体现学生是学习的主体。根据学生的回答，先研究图像再研究性质。通过描点法展现函数的图像，并探讨函数的性质。
探究活动 选取函数y=2x，首先画出函数的图像，类比第二章函数，数形结合研究函数的定义域，值域，图像以及性质。借助几何画板归纳a>1的函数特征。这里函数的严格的证明过程不做统一要求。
类比y=2x，选取y=(1/2)x，学生独立探究0<a<1的情况。
最终教师和学生共同总结两种情况。
本阶段的设计注重引导学生用从特殊到一般的方法探究指数函数图象及性质，加深学生的理性认识。同时，帮助学生确定探究的问题、步骤，确保探究的有效性。这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强学生的直观感受。
4.“概型”阶段——建立深层图式 形成概念体系
在形成对象基础上，我们通过例题，练习达到对知识进一步深化认识，形成指数函数的整体认识，构建心理图式。
例1判断下列函数是否为指数函数
（1）y=(0.2)x，（2）y=(-2)x，（3）y=1x，（4）y=2.3x，（5）y=22x。
例2 比较下列各组数的大小：
（1）1.52.5,1.53.2 （2）0.5-1.2,0.5-1.5 (3)a1/3,1/2(a>0,且a≠1) （4）1.50.3,0.81.2。
小结指数函数，作出总结表格。
一方面巩固指数函数的定义，另一方面再与单调性等知识相结合，通过应用建立联系，在反复比较基础上形成了一个新的认识，建构一个新的图式。
三、教学反思
本节课基于APOS理论设计了四个具体的教学流程对指数函数作出了分析。APOS理论强调学习是需要学生主动构建的，所以首先考虑学生的“最近发展区”设计合理的问题情境，一方面引导学生进入指数函数的情景中，感受学习指数函数的重要性，另一方面激发学生的探索欲，调动原有的认知结构。当然，概念学习不能停留在“操作”阶段，也要重视“过程”阶段，学生得到特殊的指数函数，抽象得到一般的指数函数，层层递进，由感性认识上升到理性认识。对象的建立要注意简练的文字形式和符号表示,使学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象。从“过程”到“对象”是反复，螺旋上升的，阶段之间没有清晰的界限。最后通过辨析，帮助学生理解本质和非本质属性，并在此基础上灵活运用概念，优化知识结构，形成完整的图式。
基于APOS理论的教学设计把数学问题与实际生活紧密联系起来，让学生感受到数学就在身边，培养学生在现实中发现问题的能力。同时调动学生的积极性，让学生自主探索，增强了课堂开放性，真正成为知识的发现者、探索者。可见APOS理论可以为数学教学提供一个有效的范式参照。
（作者单位：南京师范大学教师教育学院）